wzmmmm/phycics_dataset · Datasets at Hugging Face

image imagewidth (px) 44 2.33k	text stringlengths 1 14.3k
	\(\phi(\vec{r'}) = \phi(\vec{r}) + l\frac{d\phi}{dl} + \cdots\)
	\frac{dA}{4\pi}\cos\theta \left[\phi(\vec{r}) - \frac{1}{\Sigma_s} \left.\frac{d\phi}{dl}\right\|_{r = r}\right]
	把\(\phi(\vec{r'})\)在\(P(\vec{r})\)点处按泰勒级数展开：
	沿$\vec{\Omega}$方向每秒穿过$dA$的中子数为：
	沿$\vec{\Omega}$方向每秒穿过$dA$的中子数便等于沿$l$方向从$-\infty$到$0$的积分：
	$\S 3.2$ 斐克定律
	随距离按指数迅速减小
	缓慢变化
	\(\\|x\\|_p := \left( \sum_{k = 1}^{n} \|x_k\|^p \right)^{1/p} \quad \\|x\\|_{\infty} := \max_{1 \leq k \leq n} \|x_k\|.\)
	$\left\\|y_{n}\right\\|_{2}<\frac{1}{n} \Rightarrow\left\\|y_{n}\right\\|_{2} \rightarrow 0 \Rightarrow\left\\|y_{n}\right\\|_{1}=1 \rightarrow 0 .$
	证明$\Rightarrow$：若不然，假设对任意$n$，存在$x_{n}\in X$使得$\\|x_{n}\\|_{1}>n\\|x_{n}\\|_{2}$，令$y_{n}=x_{n}/\\|x_{n}\\|_{1}$可得矛盾
	\(\\|f\\|_{k.p.} = \left( \sum_{\|\alpha\|\leq k} \int_{\Omega} \|\partial^{\alpha} f\|^{p} \right)^{1/p},\)
	则称$\\|\cdot\\|$ 为 $X$ 中的一个范数，$(X,\\|\cdot\\|)$ 称为赋范空间.
	\[\\|f\\|_* := \sum_{\|\alpha\|\leqslant k} \sup_{x\in\overline{\Omega}} \|\partial^{\alpha} f(x)\|,\]
	1. $\\|\cdot\\|_1 \lesssim \\|\cdot\\|_2 \Leftrightarrow \exists C > 0,\ s.t.\\|\cdot\\|_1 \leqslant C\\|\cdot\\|_2$. 2. $\\|\cdot\\|_1 \approx \\|\cdot\\|_2 \Leftrightarrow \exists C_1,C_2 > 0,\ s.t.C_1\\|\cdot\\|_2 \leqslant \\|\cdot\\|_1 \leqslant C_2\\|\cdot\\|_2$.
	注根据范数可以诱导度量 \(d(x,y):=\\|x - y\\|\)，称为 \(X\) 上的典则度量. 若 \(X\) 在典则度量下完备，则称 \((X,\\|\cdot\\|)\) 为 Banach 空间.
	因此任何 \(p\)-范数都是等价的（特别它们都与 \(\infty\)-范数等价）. 这并不是巧合，考虑下述定理.
	\[\partial^{\alpha} f = \frac{\partial^{\|\alpha\|}f}{\partial^{\alpha_1} x_1 \cdots \partial^{\alpha_n} x_n},\alpha = (\alpha_1,\cdots,\alpha_n),\|\alpha\| := \alpha_1 + \cdots + \alpha_n.\]
	$\frac{\partial}{\partial x}(\nabla \cdot \vec{v})=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} w}{\partial x \partial z}=0$
	$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v} = \vec{f} - \frac{1}{\rho}\nabla p + \nu\nabla^{2}\vec{v}$
	\(\rho\Delta x\Delta y\frac{D\vec{v}}{Dt}\)
	* 对不可压缩牛顿流体，由于 $\nabla \cdot \vec{v} = 0$，直接有 $P = -pI + 2\mu E$；对非牛顿流体，常见 $P$ 可写为 $E$ 的多项式形式，且最高次数超过一次。
	类似可得 \(y,z\) 方向成立的关系式。记 \(\nabla^{2}\vec{v}=(\nabla^{2}u,\nabla^{2}v,\nabla^{2}w)\)，动量方程即化为
	方程右侧分为质量力与表面力，由质量力定义可知其近似为 \(m\vec{f} = \rho\Delta x\Delta y\vec{f}\)。对于表面力，考虑 \(x\) 方向，其由左右的 \(p_{xx}\) 与上下的 \(\tau_{yx}\) 合成，为
	\(\left(p_{xx}+\frac{\partial p_{xx}}{\partial x}\Delta x\right)-p_{xx}\Delta y+\left(\tau_{yx}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}\Delta y\right)\Delta x-\tau_{yx}\Delta x = \left(\frac{\partial p_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}\right)\Delta x\Delta y = (\nabla\cdot P_x)\Delta x\Delta y\)
	* 反之，根据动力粘度定义有 \(p_{ij}=2\mu\varepsilon_{ij},i\neq j\)，进一步结合各向同性可得到 \(P = xI + 2\mu E\)，再根据左右迹相同即能解出 \(x=-p - \frac{2}{3}\mu\nabla\cdot\vec{v}\)。
	由此，记 $\nabla\cdot P = (\nabla\cdot P_x, \nabla\cdot P_y, \nabla\cdot P_z)$，可得方程
	* 根据之前的计算，$\varepsilon_{ij}$ 也可写成 $\frac{1}{2}(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i})$，由此计算可验证 $p_{11} + p_{22} + p_{33} = -3p$。 * 记应变速率矩阵为 $E$，则有
	左右同时相似仍成立，因此有各向同性；流体静止时 \(P\) 为对角阵，从而 \(E\) 为对角阵，角变形率为 0。 * 反之，根据动力粘度定义有 \(p_{ij}=2\mu\varepsilon_{ij},i\neq j\)，进一步结合各向同性可得到 \(P = xI + 2\mu E\)，再根据左右迹相同即能解出 \(x=-p-\frac{2}{3}\mu\nabla\cdot\vec{v}\)。
	\(\rho\frac{D\vec{v}}{Dt} = \rho\vec{f}+\nabla\cdot P\)
	由此，记 $\nabla \cdot P = (\nabla \cdot P_x, \nabla \cdot P_y, \nabla \cdot P_z)$，可得方程
	\[ 2\mu\nabla\cdot(\varepsilon_{xx},\varepsilon_{yx},\varepsilon_{zx}) = \mu\left(2\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}v}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{\partial^{2}w}{\partial x\partial z}\right) \]
	为方便，考虑二维情况下两边长\(\Delta x,\Delta y\)的流体元。其质量\(\delta m\)近似为\(\rho\Delta x\Delta y\)，根据牛顿第二定律，\(\delta m\vec{a} = \delta F\)，而由前文，\(\vec{a} = \frac{D\vec{v}}{Dt}\)，由此方程左侧为
	$\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)v = \vec{f}+\frac{1}{\rho}\nabla\cdot P$
	\[ P = -\left( p + \frac{2}{3} \mu \nabla \cdot \vec{v} \right) I + 2\mu E \]
	根据定义可得第一项为\(-\nabla p\)，而代入\(\varepsilon_{ij}\) 的表达式可得第二项的 \(x\) 分量为
	如果负载是开路的，那么阻抗是无限的，这会导致完全反射的波。假设输入幅值为 1 V，则可以检测到输出端口2v的幅值。
	如果负载是短路的，那么阻抗为零，这会导致波的完全吸收。假设输入波幅是 1V，则可以监视输出端口，即 0 V。另一方面，反射系数为-1。
	图 \ref{fig:11} 显示了 \(50\,\Omega\) 阻抗中的波注入到其他介质的反射系数。
	4 常见问题 FAQ
	热力学平衡态下，按照参量和粒子数\(N\)（或者摩尔数\(n = N/N_A\)）的关系，可以分为两类
	热力学参量的分类
	能够把物理量划分为广延量和强度量的条件是相互作用是短程的。这样把大系统划分成小系统时，只要考虑小系统之间界面的影响。在系统很大时（热力学极限），界面的影响相对可以忽略，大系统可以看成是小系统的简单叠加。如果有长程作用（例如重力）的话，就不能这么简单处理。这种系统称为非广延系统，典型例子包括星系等。
	磁场做功为 \(B\text{d}M = \mu_0\mathcal{H}\text{d}M\)，其中 \(\mathcal{H}\) 为磁场强度，再考虑体积功可得 \(\text{d}W = \mu_0\mathcal{H}\text{d}M - p\text{d}V\)，于是 \(\text{d}U = T\text{d}S+\mu_0\mathcal{H}\text{d}M - p\text{d}V\)。此时 \(U(S,V,M)\) 为特性函数，类似可知 \(G = U - TS + pV - \mu_0\mathcal{H}M\)，由可积性 [热力学第一定律保证] 得麦克斯韦关系：
	$\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{S}-\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{H}=\frac{V}{C_{p}}$
	于是绝热膨胀降温效率更高，但由于体积过大不易于工业化生产。
	绝热去磁效应：定义 \(C_{\mathcal{H}} = T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{\mathcal{H},p}\)，假设局里定律成立有
	在体积趋于无穷时$\frac{T^{2}}{C_V V^{2}}\to 0$，因此趋于 0，难以分辨是否为理想气体。
	\(\mathrm{d}W = \mu_0\mathcal{H}\mathrm{d}M + \mathrm{d}(-\mu\mathcal{H} \cdot M) = -\mu M\mathrm{d}\mathcal{H} = -M\mathrm{d}B\)
	对正常热力学系统有\((\frac{\partial p}{\partial T})_V > 0\)，于是\((\frac{\partial T}{\partial V})_S < 0\)，即绝热膨胀时降温。绝热膨胀与节流过程降温比较：也即比较\((\frac{\partial T}{\partial p})_H\)与\((\frac{\partial T}{\partial p})_S\)，计算可得
	* 由于黑体无反射，通过平衡可知其单位面积辐射能量也是\(\sigma T^{4}\)，于是上述平衡辐射又称为黑体辐射。[利用地球上的接收到的功率可以估算太阳热量；标准的黑体谱：宇宙微波背景辐射 (CMBR)]
	* 光子数不守恒，化学势 $\mu = \left(\frac{\partial F}{\partial N}\right)_{T,V} = 0$。
	* 郎之万模型：上述讨论是将磁场当成外界，忽略了磁矩在外磁场中的势能\(-\mu\mathcal{H}\cdot M\)，若考察磁矩与磁场中的相互作用，实际做功为
	假设在容器壁开一小孔，考虑通量：坡印廷矢量$\|\vec{S}\| = \frac{\Delta E}{\Delta t\Delta A\Delta\Omega} = \frac{cu}{4\pi}$，对立体角积分可得通量为$J_{u} = \frac{c}{4}aT^{4}$，记$\sigma = \frac{a c}{4}$得到通量$J_{u} = \sigma T^{4}$，称为斯特藩-玻尔兹曼公式，统计物理中得到$\sigma = \frac{\pi^{2}k_{B}^{4}}{60\hbar^{3}c^{2}}$。
	状态方程：\(p = \frac{1}{3}u\)，其中 \(u = \frac{U}{V}\)。
	$\begin{align} \left(\frac{\partial S}{\partial \mathcal{H}}\right)_{T,p} &= \mu_0 \left(\frac{\partial M}{\partial T}\right)_{p,\mathcal{H}} \quad [\text{磁热效应}] \\ \left(\frac{\partial V}{\partial \mathcal{H}}\right)_{T,p} &= -\mu_0 \left(\frac{\partial M}{\partial p}\right)_{T,\mathcal{H}} \quad [\text{力磁效应}] \end{align}$
	设 \(U = u(T)V\)，类似前可推出 \((\frac{\partial U}{\partial V})_T = T (\frac{\partial p}{\partial T})_V - p\)，解得 \(u(T) = aT^{4}\)，类似得熵 \(S = \frac{4}{3}aT^{3}V\)，于是 \(F = -\frac{1}{3}aT^{4}V\)，定容热容 \(C_V = 4aT^{3}V\)，而吉布斯自由能 \(G = 0\)。
	$\begin{align} \left(\frac{\partial S}{\partial \mathcal{H}}\right)_{T,p} &= \mu_0 \left(\frac{\partial M}{\partial T}\right)_{p,\mathcal{H}}\quad [\text{磁热效应}]\\ \left(\frac{\partial V}{\partial \mathcal{H}}\right)_{T,p} &= -\mu_0 \left(\frac{\partial M}{\partial p}\right)_{T,\mathcal{H}}\quad [\text{力磁效应}] \end{align}$
	$\left(\frac{\partial T}{\partial \mathcal{H}}\right)_{S,p}=-\left(\frac{\partial S}{\partial \mathcal{H}}\right)_{T,p}\left(\frac{\partial T}{\partial S}\right)_{\mathcal{H},p}=-\frac{\mu_0 T}{C_{\mathcal{H}}}\left(\frac{\partial M}{\partial T}\right)_{\mathcal{H},p}=\frac{C}{C_{\mathcal{H}}T}\mu_0\mathcal{H}>0$
	$\left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_{T,\mathcal{H}} = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p,\mathcal{H}}\quad[\text{力热效应}]$
	$\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S}=-\frac{T}{C_{V}}\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{V}$
	$\S2.3$ 磁介质系统
	$\S 2.4$ 光子气体
	考虑了实际气体分子本身具有体积，那么分子自由活动的范围比体积\(V_{\mathrm{m}}\)要小一些，为\((V_{\mathrm{m}} - b)\)；考虑分子之间有作用力，存在引力，当一个分子向间器壁碰撞时，后边的分子会拉它，使其碰撞轻一点，表现的压力要小一点：
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	\[ \begin{align} p&=RT/(V_{\mathrm{m}} - b)-p_{\mathrm{i}}\\ p&=RT/(V_{\mathrm{m}} - b)-a/V_{\mathrm{m}}^{2}\\ \text{变形： }(p + a/V_{\mathrm{m}}^{2})(V_{\mathrm{m}} - b)&=RT \end{align} \]
	\(p(V_{\mathrm{m}} - b)=RT \) 或 \( pV_{\mathrm{m}}=pT + \alpha p\) 这种气体微观模型是：气体分子，本身有体积，但分子之间无作用力。
	\[ pV_{\mathrm{m}} = RT(1 + B/V_{\mathrm{m}}+C/V_{\mathrm{m}}^{2}+D/V_{\mathrm{m}}^{3}+\cdots) \] 或\[ pV_{\mathrm{m}} = RT(1 + Bp + Cp^{2}+Dp^{3}+\cdots) \] B、C、D……分别叫第二、三、四维里系数。
	3、维里方程： \(pV_{\mathrm{m}} = RT(1 + \mathrm{B}/V_{\mathrm{m}}+\mathrm{C}/V_{\mathrm{m}}^{2}+\mathrm{D}/V_{\mathrm{m}}^{3}+\ldots\ldots\) 或\(pV_{\mathrm{m}} = RT(1 + \mathrm{B}p+\mathrm{C}p^{2}+\mathrm{D}p^{3}+\ldots\ldots)\) \(\mathrm{B}、\mathrm{C}、\mathrm{D}\ldots\ldots\)分别叫第二、三、四维里系数。
	线段 BN 和 AJ 上的状态满足平衡稳定性的要求（图 3.5.3 一阶导小于 0，在第三章 1 （5）有提过），由于其化学势高于两相平衡的化学势，它们可以作为亚稳态单相存在，分别对应于过饱和蒸气和过热液体。
	$\frac{R T_{c}}{p_{c} V_{m c}}=\frac{8}{3}=2.667$
	$T_{c}=\frac{8a}{27Rb},p_{c}=\frac{a}{27b^{2}},V_{mc}=3b$
	$\left(\frac{\partial p}{\partial V_{m}}\right)_{T}=0 \quad\left(\frac{\partial^{2} p}{\partial V_{m}^{2}}\right)_{T}=0$
	根据等面积定则，将范德瓦尔斯气体等温线中的 BNDJA 段替换为之间 BA 就能实验符合得好
	上图中，A 点和 B 点化学势相等，B 点物质全部处在气态而 A 点物质全部处在液态，这就是说，从 B 点沿 BNDJA 积分到 A 点化学势应不变，也就是说，路径积分得为 0. 或者说：
	$S_{BND} == S_{DJA}$
	玻尔（1885 - 1962）在哥本哈根读本科到博士，其博士论文，改进洛伦兹的金属理论。后去J.J.汤姆逊处，遇到卢瑟福，又到卢瑟福处。了解了卢瑟福的原子模型，从他人处得知巴尔末线系。后回到哥本哈根，发表其关于原子的“三部曲”，建立研究所，使之成为国际上的原子研究中心（圣地），形成哥本哈根学派。
	第二章微观粒子物理态的基本描述
	2. 原子可以在两个定态之间跃迁，同时吸收或发射辐射，条件为\(E_{n}-E_{m}=h\nu\).
	本章，我们讨论人们是如何逐步发现解决这一难题的方法，找到对微观粒子状态的基本描述。我们大体遵循历史进程的路线，但并不严格遵照历史原貌。用今天的语言，参以从现今的逻辑对历史的解读，从而给出一个更易于理解的量子力学“历史”进程。
	\(\oint p_{k} dq_{k} = n_{k}h.\)
	2.1 玻尔的旧量子论
	\(\delta L = \sum_{\alpha} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}} \dot{q}_{\alpha} \right)\)
	\(\delta L = \sum_{\alpha} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} \delta \dot{q}_{\alpha} + \sum_{\alpha} \frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}} \delta q_{\alpha}\)
	$\S3.1$ 时空对称性
	三拉格朗日量与诺特定理
	\(\dot{p}_{\alpha}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{\alpha}}=\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}}\)
	* 当约束均为定常约束时，$\frac{\partial \vec{r}}{\partial t}=0$，于是 $T_1 = T_0 = 0$，此时 $H$ 即为能量。
	循环坐标：$L$ 中不含广义坐标 $q_{\alpha}$，只含 $\dot{q}_{\alpha}$ 时，其称为循环坐标。 * 由拉格朗日方程即可知循环坐标对应的正则动量守恒。
	\(\dot{\vec{r}}_{i}=\sum_{\alpha} \frac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{\alpha}} \dot{q}_{\alpha}+\frac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial t}\)
	\[ T_{2}=\sum_{\alpha,\beta}A_{\alpha\beta}\dot{q}_{\alpha}\dot{q}_{\beta},\quad T_{1}=\sum_{\alpha}B_{\alpha}\dot{q}_{\alpha},\quad T_{0}=C_{0} \]
	\(\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} = \sum_{\alpha} \frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}} \dot{q}_{\alpha} + \sum_{\alpha} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} \ddot{q}_{\alpha}\)
	\[ H = \sum_{\alpha} \dot{q}_{\alpha} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} - L \]
	\[ H = \sum_{\alpha} \frac{\partial(T_1 + T_1 + T_0)}{\partial \dot{q}_{\alpha}} \dot{q}_{\alpha} - L = (2T_2 + T_1) - L = (T_2 - T_0) + V \]
	运动积分：由方程个数，系统自由度为 \(s\) 时通解会出现 \(2s\) 个积分常数 \(C_1,\ldots,C_{2s}\)，它们在运动过程中始终不变，称为运动积分，也即力学体系的守恒量。
	\[ p_{\alpha}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} \]
	* 例：考虑点电荷在空间中存在某接地导体时的电场，其电势减去点电荷电势得到的函数 $\Psi(\vec{x})$ 应满足Laplace 方程，且边界条件为 $\Psi(\vec{x})$ 在导体边界的值为点电荷电势的相反数 [从而保证和为 0]，由此即可求解。
	\(\mathcal{E}[\{\Phi_{i}\}] = \frac{\epsilon}{2} \sum_{f = 1}^{N_{f}} \vec{E}_{f}^{2} \Delta S_{f}\)
	系数 \(q_{lm}\) 为与 \(\vec{x}\) 无关的常数，称为电荷分布对应的多极矩。
	考虑真空中某有界的电荷分布 $\rho(\vec{x})$ [即其只在有界区域 $V$ 内非零]，要求计算远离这团电荷处一点的静电势。

$\phi(\vec{r'}) = \phi(\vec{r}) + l\frac{d\phi}{dl} + \cdots$

\frac{dA}{4\pi}\cos\theta \left[\phi(\vec{r}) - \frac{1}{\Sigma_s} \left.\frac{d\phi}{dl}\right|_{r = r}\right]

把$\phi(\vec{r'})$在$P(\vec{r})$点处按泰勒级数展开：

沿$\vec{\Omega}$方向每秒穿过$dA$的中子数为：

沿$\vec{\Omega}$方向每秒穿过$dA$的中子数便等于沿$l$方向从$-\infty$到$0$的积分：

$\S 3.2$ 斐克定律

随距离按指数迅速减小

缓慢变化

$\|x\|_p := \left( \sum_{k = 1}^{n} |x_k|^p \right)^{1/p} \quad \|x\|_{\infty} := \max_{1 \leq k \leq n} |x_k|.$

$\left\|y_{n}\right\|_{2}<\frac{1}{n} \Rightarrow\left\|y_{n}\right\|_{2} \rightarrow 0 \Rightarrow\left\|y_{n}\right\|_{1}=1 \rightarrow 0 .$

证明$\Rightarrow$：若不然，假设对任意$n$，存在$x_{n}\in X$使得$\|x_{n}\|_{1}>n\|x_{n}\|_{2}$，令$y_{n}=x_{n}/\|x_{n}\|_{1}$可得矛盾

$\|f\|_{k.p.} = \left( \sum_{|\alpha|\leq k} \int_{\Omega} |\partial^{\alpha} f|^{p} \right)^{1/p},$

则称$\|\cdot\|$ 为 $X$ 中的一个范数，$(X,\|\cdot\|)$ 称为赋范空间.

\[\|f\|_* := \sum_{|\alpha|\leqslant k} \sup_{x\in\overline{\Omega}} |\partial^{\alpha} f(x)|,\]

注根据范数可以诱导度量 $d(x,y):=\|x - y\|$，称为 $X$ 上的典则度量. 若 $X$ 在典则度量下完备，则称 $(X,\|\cdot\|)$ 为 Banach 空间.

因此任何 $p$-范数都是等价的（特别它们都与 $\infty$-范数等价）. 这并不是巧合，考虑下述定理.

\[\partial^{\alpha} f = \frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial^{\alpha_1} x_1 \cdots \partial^{\alpha_n} x_n},\alpha = (\alpha_1,\cdots,\alpha_n),|\alpha| := \alpha_1 + \cdots + \alpha_n.\]

$\frac{\partial}{\partial x}(\nabla \cdot \vec{v})=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} w}{\partial x \partial z}=0$

$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v} = \vec{f} - \frac{1}{\rho}\nabla p + \nu\nabla^{2}\vec{v}$

$\rho\Delta x\Delta y\frac{D\vec{v}}{Dt}$

* 对不可压缩牛顿流体，由于 $\nabla \cdot \vec{v} = 0$，直接有 $P = -pI + 2\mu E$；对非牛顿流体，常见 $P$ 可写为 $E$ 的多项式形式，且最高次数超过一次。

类似可得 $y,z$ 方向成立的关系式。记 $\nabla^{2}\vec{v}=(\nabla^{2}u,\nabla^{2}v,\nabla^{2}w)$，动量方程即化为

方程右侧分为质量力与表面力，由质量力定义可知其近似为 $m\vec{f} = \rho\Delta x\Delta y\vec{f}$。对于表面力，考虑 $x$ 方向，其由左右的 $p_{xx}$ 与上下的 $\tau_{yx}$ 合成，为

$\left(p_{xx}+\frac{\partial p_{xx}}{\partial x}\Delta x\right)-p_{xx}\Delta y+\left(\tau_{yx}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}\Delta y\right)\Delta x-\tau_{yx}\Delta x = \left(\frac{\partial p_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}\right)\Delta x\Delta y = (\nabla\cdot P_x)\Delta x\Delta y$

* 反之，根据动力粘度定义有 $p_{ij}=2\mu\varepsilon_{ij},i\neq j$，进一步结合各向同性可得到 $P = xI + 2\mu E$，再根据左右迹相同即能解出 $x=-p - \frac{2}{3}\mu\nabla\cdot\vec{v}$。

由此，记 $\nabla\cdot P = (\nabla\cdot P_x, \nabla\cdot P_y, \nabla\cdot P_z)$，可得方程

* 根据之前的计算，$\varepsilon_{ij}$ 也可写成 $\frac{1}{2}(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i})$，由此计算可验证 $p_{11} + p_{22} + p_{33} = -3p$。 * 记应变速率矩阵为 $E$，则有

左右同时相似仍成立，因此有各向同性；流体静止时 $P$ 为对角阵，从而 $E$ 为对角阵，角变形率为 0。 * 反之，根据动力粘度定义有 $p_{ij}=2\mu\varepsilon_{ij},i\neq j$，进一步结合各向同性可得到 $P = xI + 2\mu E$，再根据左右迹相同即能解出 $x=-p-\frac{2}{3}\mu\nabla\cdot\vec{v}$。

$\rho\frac{D\vec{v}}{Dt} = \rho\vec{f}+\nabla\cdot P$

由此，记 $\nabla \cdot P = (\nabla \cdot P_x, \nabla \cdot P_y, \nabla \cdot P_z)$，可得方程

\[ 2\mu\nabla\cdot(\varepsilon_{xx},\varepsilon_{yx},\varepsilon_{zx}) = \mu\left(2\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}v}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{\partial^{2}w}{\partial x\partial z}\right) \]

为方便，考虑二维情况下两边长$\Delta x,\Delta y$的流体元。其质量$\delta m$近似为$\rho\Delta x\Delta y$，根据牛顿第二定律，$\delta m\vec{a} = \delta F$，而由前文，$\vec{a} = \frac{D\vec{v}}{Dt}$，由此方程左侧为

$\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)v = \vec{f}+\frac{1}{\rho}\nabla\cdot P$

\[ P = -\left( p + \frac{2}{3} \mu \nabla \cdot \vec{v} \right) I + 2\mu E \]

根据定义可得第一项为$-\nabla p$，而代入$\varepsilon_{ij}$ 的表达式可得第二项的 $x$ 分量为

如果负载是开路的，那么阻抗是无限的，这会导致完全反射的波。假设输入幅值为 1 V，则可以检测到输出端口2v的幅值。

如果负载是短路的，那么阻抗为零，这会导致波的完全吸收。假设输入波幅是 1V，则可以监视输出端口，即 0 V。另一方面，反射系数为-1。

图 \ref{fig:11} 显示了 $50\,\Omega$ 阻抗中的波注入到其他介质的反射系数。

4 常见问题 FAQ

热力学平衡态下，按照参量和粒子数$N$（或者摩尔数$n = N/N_A$）的关系，可以分为两类

热力学参量的分类

能够把物理量划分为广延量和强度量的条件是相互作用是短程的。这样把大系统划分成小系统时，只要考虑小系统之间界面的影响。在系统很大时（热力学极限），界面的影响相对可以忽略，大系统可以看成是小系统的简单叠加。如果有长程作用（例如重力）的话，就不能这么简单处理。这种系统称为非广延系统，典型例子包括星系等。

磁场做功为 $B\text{d}M = \mu_0\mathcal{H}\text{d}M$，其中 $\mathcal{H}$ 为磁场强度，再考虑体积功可得 $\text{d}W = \mu_0\mathcal{H}\text{d}M - p\text{d}V$，于是 $\text{d}U = T\text{d}S+\mu_0\mathcal{H}\text{d}M - p\text{d}V$。此时 $U(S,V,M)$ 为特性函数，类似可知 $G = U - TS + pV - \mu_0\mathcal{H}M$，由可积性 [热力学第一定律保证] 得麦克斯韦关系：

$\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{S}-\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{H}=\frac{V}{C_{p}}$

于是绝热膨胀降温效率更高，但由于体积过大不易于工业化生产。

绝热去磁效应：定义 $C_{\mathcal{H}} = T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{\mathcal{H},p}$，假设局里定律成立有

在体积趋于无穷时$\frac{T^{2}}{C_V V^{2}}\to 0$，因此趋于 0，难以分辨是否为理想气体。

$\mathrm{d}W = \mu_0\mathcal{H}\mathrm{d}M + \mathrm{d}(-\mu\mathcal{H} \cdot M) = -\mu M\mathrm{d}\mathcal{H} = -M\mathrm{d}B$

对正常热力学系统有$(\frac{\partial p}{\partial T})_V > 0$，于是$(\frac{\partial T}{\partial V})_S < 0$，即绝热膨胀时降温。绝热膨胀与节流过程降温比较：也即比较$(\frac{\partial T}{\partial p})_H$与$(\frac{\partial T}{\partial p})_S$，计算可得

* 由于黑体无反射，通过平衡可知其单位面积辐射能量也是$\sigma T^{4}$，于是上述平衡辐射又称为黑体辐射。[利用地球上的接收到的功率可以估算太阳热量；标准的黑体谱：宇宙微波背景辐射 (CMBR)]

* 光子数不守恒，化学势 $\mu = \left(\frac{\partial F}{\partial N}\right)_{T,V} = 0$。

* 郎之万模型：上述讨论是将磁场当成外界，忽略了磁矩在外磁场中的势能$-\mu\mathcal{H}\cdot M$，若考察磁矩与磁场中的相互作用，实际做功为

假设在容器壁开一小孔，考虑通量：坡印廷矢量$|\vec{S}| = \frac{\Delta E}{\Delta t\Delta A\Delta\Omega} = \frac{cu}{4\pi}$，对立体角积分可得通量为$J_{u} = \frac{c}{4}aT^{4}$，记$\sigma = \frac{a c}{4}$得到通量$J_{u} = \sigma T^{4}$，称为斯特藩-玻尔兹曼公式，统计物理中得到$\sigma = \frac{\pi^{2}k_{B}^{4}}{60\hbar^{3}c^{2}}$。

状态方程：$p = \frac{1}{3}u$，其中 $u = \frac{U}{V}$。

$\begin{align*} \left(\frac{\partial S}{\partial \mathcal{H}}\right)_{T,p} &= \mu_0 \left(\frac{\partial M}{\partial T}\right)_{p,\mathcal{H}} \quad [\text{磁热效应}] \\ \left(\frac{\partial V}{\partial \mathcal{H}}\right)_{T,p} &= -\mu_0 \left(\frac{\partial M}{\partial p}\right)_{T,\mathcal{H}} \quad [\text{力磁效应}] \end{align*}$

设 $U = u(T)V$，类似前可推出 $(\frac{\partial U}{\partial V})_T = T (\frac{\partial p}{\partial T})_V - p$，解得 $u(T) = aT^{4}$，类似得熵 $S = \frac{4}{3}aT^{3}V$，于是 $F = -\frac{1}{3}aT^{4}V$，定容热容 $C_V = 4aT^{3}V$，而吉布斯自由能 $G = 0$。

$\begin{align*} \left(\frac{\partial S}{\partial \mathcal{H}}\right)_{T,p} &= \mu_0 \left(\frac{\partial M}{\partial T}\right)_{p,\mathcal{H}}\quad [\text{磁热效应}]\\ \left(\frac{\partial V}{\partial \mathcal{H}}\right)_{T,p} &= -\mu_0 \left(\frac{\partial M}{\partial p}\right)_{T,\mathcal{H}}\quad [\text{力磁效应}] \end{align*}$

$\left(\frac{\partial T}{\partial \mathcal{H}}\right)_{S,p}=-\left(\frac{\partial S}{\partial \mathcal{H}}\right)_{T,p}\left(\frac{\partial T}{\partial S}\right)_{\mathcal{H},p}=-\frac{\mu_0 T}{C_{\mathcal{H}}}\left(\frac{\partial M}{\partial T}\right)_{\mathcal{H},p}=\frac{C}{C_{\mathcal{H}}T}\mu_0\mathcal{H}>0$

$\left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_{T,\mathcal{H}} = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p,\mathcal{H}}\quad[\text{力热效应}]$

$\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S}=-\frac{T}{C_{V}}\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{V}$

$\S2.3$ 磁介质系统

$\S 2.4$ 光子气体

考虑了实际气体分子本身具有体积，那么分子自由活动的范围比体积$V_{\mathrm{m}}$要小一些，为$(V_{\mathrm{m}} - b)$；考虑分子之间有作用力，存在引力，当一个分子向间器壁碰撞时，后边的分子会拉它，使其碰撞轻一点，表现的压力要小一点：

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\[ \begin{align*} p&=RT/(V_{\mathrm{m}} - b)-p_{\mathrm{i}}\\ p&=RT/(V_{\mathrm{m}} - b)-a/V_{\mathrm{m}}^{2}\\ \text{变形： }(p + a/V_{\mathrm{m}}^{2})(V_{\mathrm{m}} - b)&=RT \end{align*} \]

$p(V_{\mathrm{m}} - b)=RT $ 或 $ pV_{\mathrm{m}}=pT + \alpha p$ 这种气体微观模型是：气体分子，本身有体积，但分子之间无作用力。

\[ pV_{\mathrm{m}} = RT(1 + B/V_{\mathrm{m}}+C/V_{\mathrm{m}}^{2}+D/V_{\mathrm{m}}^{3}+\cdots) \] 或\[ pV_{\mathrm{m}} = RT(1 + Bp + Cp^{2}+Dp^{3}+\cdots) \] B、C、D……分别叫第二、三、四维里系数。

3、维里方程： $pV_{\mathrm{m}} = RT(1 + \mathrm{B}/V_{\mathrm{m}}+\mathrm{C}/V_{\mathrm{m}}^{2}+\mathrm{D}/V_{\mathrm{m}}^{3}+\ldots\ldots$ 或$pV_{\mathrm{m}} = RT(1 + \mathrm{B}p+\mathrm{C}p^{2}+\mathrm{D}p^{3}+\ldots\ldots)$ $\mathrm{B}、\mathrm{C}、\mathrm{D}\ldots\ldots$分别叫第二、三、四维里系数。

线段 BN 和 AJ 上的状态满足平衡稳定性的要求（图 3.5.3 一阶导小于 0，在第三章 1 （5）有提过），由于其化学势高于两相平衡的化学势，它们可以作为亚稳态单相存在，分别对应于过饱和蒸气和过热液体。

$\frac{R T_{c}}{p_{c} V_{m c}}=\frac{8}{3}=2.667$

$T_{c}=\frac{8a}{27Rb},p_{c}=\frac{a}{27b^{2}},V_{mc}=3b$

$\left(\frac{\partial p}{\partial V_{m}}\right)_{T}=0 \quad\left(\frac{\partial^{2} p}{\partial V_{m}^{2}}\right)_{T}=0$

根据等面积定则，将范德瓦尔斯气体等温线中的 BNDJA 段替换为之间 BA 就能实验符合得好

上图中，A 点和 B 点化学势相等，B 点物质全部处在气态而 A 点物质全部处在液态，这就是说，从 B 点沿 BNDJA 积分到 A 点化学势应不变，也就是说，路径积分得为 0. 或者说：

$S_{BND} == S_{DJA}$

玻尔（1885 - 1962）在哥本哈根读本科到博士，其博士论文，改进洛伦兹的金属理论。后去J.J.汤姆逊处，遇到卢瑟福，又到卢瑟福处。了解了卢瑟福的原子模型，从他人处得知巴尔末线系。后回到哥本哈根，发表其关于原子的“三部曲”，建立研究所，使之成为国际上的原子研究中心（圣地），形成哥本哈根学派。

第二章微观粒子物理态的基本描述

2. 原子可以在两个定态之间跃迁，同时吸收或发射辐射，条件为$E_{n}-E_{m}=h\nu$.

本章，我们讨论人们是如何逐步发现解决这一难题的方法，找到对微观粒子状态的基本描述。我们大体遵循历史进程的路线，但并不严格遵照历史原貌。用今天的语言，参以从现今的逻辑对历史的解读，从而给出一个更易于理解的量子力学“历史”进程。

$\oint p_{k} dq_{k} = n_{k}h.$

2.1 玻尔的旧量子论

$\delta L = \sum_{\alpha} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}} \dot{q}_{\alpha} \right)$

$\delta L = \sum_{\alpha} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} \delta \dot{q}_{\alpha} + \sum_{\alpha} \frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}} \delta q_{\alpha}$

$\S3.1$ 时空对称性

三拉格朗日量与诺特定理

$\dot{p}_{\alpha}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{\alpha}}=\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}}$

* 当约束均为定常约束时，$\frac{\partial \vec{r}}{\partial t}=0$，于是 $T_1 = T_0 = 0$，此时 $H$ 即为能量。

循环坐标：$L$ 中不含广义坐标 $q_{\alpha}$，只含 $\dot{q}_{\alpha}$ 时，其称为循环坐标。 * 由拉格朗日方程即可知循环坐标对应的正则动量守恒。

$\dot{\vec{r}}_{i}=\sum_{\alpha} \frac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{\alpha}} \dot{q}_{\alpha}+\frac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial t}$

\[ T_{2}=\sum_{\alpha,\beta}A_{\alpha\beta}\dot{q}_{\alpha}\dot{q}_{\beta},\quad T_{1}=\sum_{\alpha}B_{\alpha}\dot{q}_{\alpha},\quad T_{0}=C_{0} \]

$\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} = \sum_{\alpha} \frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}} \dot{q}_{\alpha} + \sum_{\alpha} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} \ddot{q}_{\alpha}$

\[ H = \sum_{\alpha} \dot{q}_{\alpha} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} - L \]

\[ H = \sum_{\alpha} \frac{\partial(T_1 + T_1 + T_0)}{\partial \dot{q}_{\alpha}} \dot{q}_{\alpha} - L = (2T_2 + T_1) - L = (T_2 - T_0) + V \]

运动积分：由方程个数，系统自由度为 $s$ 时通解会出现 $2s$ 个积分常数 $C_1,\ldots,C_{2s}$，它们在运动过程中始终不变，称为运动积分，也即力学体系的守恒量。

\[ p_{\alpha}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} \]

* 例：考虑点电荷在空间中存在某接地导体时的电场，其电势减去点电荷电势得到的函数 $\Psi(\vec{x})$ 应满足Laplace 方程，且边界条件为 $\Psi(\vec{x})$ 在导体边界的值为点电荷电势的相反数 [从而保证和为 0]，由此即可求解。

$\mathcal{E}[\{\Phi_{i}\}] = \frac{\epsilon}{2} \sum_{f = 1}^{N_{f}} \vec{E}_{f}^{2} \Delta S_{f}$

系数 $q_{lm}$ 为与 $\vec{x}$ 无关的常数，称为电荷分布对应的多极矩。

考虑真空中某有界的电荷分布 $\rho(\vec{x})$ [即其只在有界区域 $V$ 内非零]，要求计算远离这团电荷处一点的静电势。