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image imagewidth (px) 44 2.33k	text stringlengths 1 14.3k
	例如，若 $[\hat{A},\hat{B}]=0$，则可以选取 $\mathcal{H}$ 的一组标准正交基 $\|a_{i},b_{i}\rangle$，满足它们同时为 $\hat{A},\hat{B}$ 的本征矢量，即
	此时由于左矢满足 $\langle\Psi\| = \sum_{j}\langle\Psi\|f_j\rangle f_j$，可将左矢看作行向量 $\Psi^{\dagger}$，其对右矢的作用结果 $\langle\Psi\|\Phi\rangle = \Psi^{\dagger}\Phi$。
	考虑 \(F\) 表象中，其基为 \(\|f_i\rangle\)，表象理论中将 \(\|\Psi\rangle\) 替换为列向量 \(\Psi\)，\(\Psi_i = \langle f_i\|\Psi\rangle\)。此时，计算得对力学量算符有
	* 对 $\hat{F}$ 自身，有 $\langle f_i\|\hat{F}\|f_i\rangle = f_i\delta_{ij}$，即其为实对角矩阵。
	于是波函数定义要求平方可积即为模长有限，关于三维位置的含义事实上代表三次相容的测量，将在之后解释。
	计算可知 $\hat{U}\|f_i\rangle = \|g_i\rangle$，且 $\hat{U}^{-1} = \sum_i \|f_i\rangle\langle g_i\|$。由于有 $\hat{U}^{\dagger} = \hat{U}^{-1}$，其为幺正算符 [酉算符]。由于
	$\langle f_i\|\hat{U}\|f_j\rangle = \langle g_i\|\hat{U}\|g_j\rangle = \langle f_i\|g_j\rangle$
	\(\hat{A} = \sum_{ij} \langle f_i\|\hat{A}\|f_j\rangle\|f_i\rangle\langle f_j\|\)
	\(\hat{U} = \sum_{i} \|g_{i}\rangle\langle f_{i}\| \)
	第五部分 \quad LSZ约化
	\(20.5.1\) 收缩的各种情况 \(\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\) \(286\)
	20.7.1 Moeller散射\hspace{\fill}294
	\begin{enumerate} \item 24.1 自由粒子的传播子 \dotfill 312 \item 24.2 确定归一化常数\(A\) \dotfill 317 \item 24.3 Lagrange表述与Hamilton表述 \dotfill 319 \item 24.4 路径积分量子化和正则量子化 \dotfill 322 \item 24.5 补充:由算符方法出发计算自由粒子传播子。 \dotfill 325 \item 24.6 跃迁振幅（传播子）的几种表示（小结） \dotfill 326 \item 24.7 编时乘积 \dotfill 327 \item 24.8 有源\(J(t)\)时的运动 \dotfill 329 \item 24.9 生成泛函\(Z_{ab}[J]\) \dotfill 336 \begin{enumerate} \item 24.9.1 泛函导数（数学准备） \dotfill 336 \item 24.9.2 生成泛函\(Z_{ab}[J]\) \dotfill 338 \item 24.9.3 由生成泛函\(Z_{ba}[J]\)求跃迁矩阵元 \dotfill 339 \end{enumerate} \end{enumerate}
	二十四章路径积分的基本思想及自由粒子的路径积分处理······31
	24.9.2 生成泛函\(Z_{ab}[J]\)........................... 338
	第六部分路径积分量子化：量子力学
	20.3.1 $U$矩阵 \dotfill 279\\ 20.3.2 $S$矩阵 \dotfill 280
	用相对论性的波函数方程描述单个粒子会遇到这么多困难, 是否意味着处理这些问题的基础本身就不正确呢? 确实是这样的。量子力学的一条基本原理是: 观测量由物理 Hilbert 空间中的厄米算符 (Hermitian operator) 描写。然而, 时间显然是一个观测量, 却没有用一个厄米算符来描写它。在 Schrödinger 绘景 (picture) 中, 描述系统的量子态时可以让态依赖于一个时间参数 \(t\), 这是时间的概念进入量子力学的方式, 但并没有假定这个参数是某个厄米算符的本征值。另一方面, 粒子的空间位置 \(\mathbf{x}\) 则是位置算符 \(\hat{\mathbf{x}}\) 的本征值。可见, 在量子力学中, 对时间和空间的处理方式是完全不同的。而在狭义相对论中, Lorentz 对称性将两者混合起来。因此, 在结合量子力学与狭义相对论的过程中出现困难, 也是正常的。
	在量子场论中，前面提到的困难都可以得到解决。现在，Klein-Gordon 方程和 Dirac 方程这样的相对论性方程描述的是自由量子场的运动。真空是量子场的基态，包含粒子的态则是激发态，激发态可以包含任意多个粒子。量子场论平等地描述正粒子和反粒子，由正反粒子的产生算符和湮灭算符表达出来的哈密顿量是正定的，不再出现负能量困难。不再将$\rho$解释成单粒子概率密度，而将它解释为单位体积内正粒子数与反粒子数之差，因而不存在负概率困难。
	根据 \(1 = c = 2.998\times 10^{10}\text{ cm/s}\)，有
	$1 = \hbar = 6.582\times 10^{-22}\ \mathrm{MeV}\cdot\mathrm{s},\quad 1 = \hbar c = 1.973\times 10^{-11}\ \mathrm{MeV}\cdot\mathrm{cm},$
	那么，如何在量子力学中平等地处理时间和空间呢？一种途径是将时间提升为一个厄米算符，但这样做在实际操作中非常困难。另一种途径是将空间位置降格为一个参数，不再由厄米算符描写。这样，我们可以在每个空间点$\mathbf{x}$处定义一个算符$\hat{\Phi}(\mathbf{x})$，所有这些算符的集合称为量子场 (quantum field)。在Heisenberg绘景中，量子场算符还依赖于时间$t$，
	量子场论是结合量子力学和相对论的理论，因而时常出现约化 Planck 常数 $\hbar$ 和真空中的光速 $c$，这一点可以从上一节的几个公式中看出来。于是，为了简化表述，通常采用自然单位制，取
	如此，量子化的对象变成是由依赖于时空坐标的场组成的动力学系统，这就是量子场论。这里Hilbert 空间上的量子算符用 `^` 符号标记，为了简化记号，后面将省略 `^` 符号。
	\(\left(\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\nabla^{2}+m^{2}\right)\Psi(\mathbf{x},t)=0.\)
	1.2 自然单位制
	利用转换关系
	\(1\ \mathrm{s}=2.998\times 10^{10}\ \mathrm{cm}\)
	1.3 速度
	\(\bar{v}=\frac{x}{t}\text{矢量}\quad v = \left.\frac{\Delta x}{\Delta t}\right\|_{\Delta t\rightarrow 0}\text{矢量}\)
	例1 质点在单向直线运动中,若：
	二者与位移和路程的关系相同，只有做单向直线运动的物体的平均速率等于平均速度大小。
	描述物体位置变化快慢$\Rightarrow$位置变化率
	$\underline{矢量}$,方向与$\Delta x$相同。
	平均速率：\(\bar{v}=\frac{s}{t}\)，平均速率通常不是平均速度大小。
	(2)前一半位移平均速度为\(\overline{v}_{1}'\)，后一半位移平均速度为\(\overline{v}_{2}'\)，求全程平均速度\(\overline{v}'\)。
	\(\frac{\lambda}{\delta\lambda}=\frac{\pi k\sqrt{R}}{1 - R}\ (\delta\lambda =\Delta\lambda_{k})\)
	\(\Delta\lambda_{k}=\frac{\lambda\varepsilon}{2\pi k},(2nh = k\lambda_{k})\)
	\[I_{\theta} = a_{0}^{2} \left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^{2} \left(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right)^{2} , \alpha = \frac{\pi a}{\lambda}\sin\theta , \beta = \frac{\pi d}{\lambda}\sin\theta\]
	\(\varepsilon =\frac{2(1 - R)}{\sqrt{R}}\)
	(4) 强度分布中都保留了单缝衍射的痕迹，即曲线的包络与单缝衍射强度曲线的形状一样。多缝夫琅禾费衍射公式：
	\(\Delta i_{k}=\frac{\lambda \varepsilon}{4 \pi n h \sin i_{k}}\)
	法-珀腔能将非单色光选择为一系列等频率间隔的纵模谱线，从而能够挑选波长、压缩线宽、提高单色性。
	第四章衍射光栅
	\(\sin \theta = \frac{k\lambda}{d}\)
	与版本 \version 不同的是，导言区不写或注释 \date 的话，仍然会打印出当日日期，原因是 \date 有默认参数。如果不需要日期的话，日期可以留空即可，也即 \date{}。
	\section{1.4 高维情形}
	\[ f(x, y) \geq 0, \quad \iint dxdy f(x, y)=1. \]
	- \(X\)和\(Y\)的协方差定义为：
	\(\mathrm{cov}(X,Y) = \iint dxdy(x - \langle X \rangle)(y - \langle Y \rangle) f(x,y) = \langle XY \rangle - \langle X \rangle\times\langle Y \rangle.\)
	对两随机变量\(X\)和\(Y\)，其联合概率密度\(f(x,y)\)有：
	$\bullet$ 联合概率密度：
	- 若\(X\)和\(Y\)独立，我们有：
	其中最后两式的逆命题不一定成立。
	$\langle XY\rangle=\langle X\rangle\times\langle Y\rangle 及 \text{cov}(X,Y)=0.$
	若\(X\)和\(Y\)独立，我们有： \[ \begin{align} f(x,y)&=f_X(x)f_Y(y)\text{和}\\ \langle XY\rangle&=\langle X\rangle\times\langle Y\rangle \text{ 及 }\mathrm{cov}(X,Y)=0. \end{align} \] 其中最后两式的逆命题不一定成立。
	本课程综合运用自学指导式、启发式、探究式、讨论式、自主合作式等多种教学方法进行教学。使学生掌握科学的学习方法，真正达到从学会到会学。课堂讲授与讨论相结合、课堂练习与课后作业相结合、理论分析与演示实验相结合。对于重点、难点可通过分散、讨论、演示实验、多媒体资料、撰写小论文等多种方式的综合运用予以解决。在讲授过程中，可按 “提出问题，突出主干，理顺思路，启发引导，总结规律，举一反三”的原则安排内容，主要采用启发式教学，注意激发学生的学习兴趣。例如，原子位形这部分内容，以科学史上对原子结构的各种模型提出为线索，激发学生对物理理论研究过程中的逐步更新修正有更为深刻的了解。在量子力学导论部分，利用多媒体手段，再引入最新的科研动态，以更为生动有趣的形式展示给学生，扩大学生的视野，使学生的知识不仅仅局限在教材里面，激发学生对新的课题、新的研究方向产生更浓厚的兴趣，从而培养学生有较强的独立思考能力和创造能力，较快进入科学发展的前沿，养成辩证唯物主义的世界观和方法论。
	七、教学方法
	八、考核及成绩评定方式
	（二）评定方法
	（一）课程考核与课程目标的对应关系
	5. 费米夫人．原子在我家中．科学出版社，1979． 6. 戈革．尼尔斯•玻尔．上海人民出版社，1985． 7. 王福山．近代物理学史研究（一）（1983），（二）（1986）．复旦大学出版社． 8. 朱林繁，彭新华．原子物理学，中国科学技术大学出版社，2017．
	为了获得中文日期，必须在中文模式下，使用 \date{\zhdate{2019/12/09}}，如果需要当天的汉
	- 简谐量的保守性：简谐量的微商仍为同频简谐振动；简谐量的积分仍为同频简谐振动；两个同频简谐量的合成仍为同频简谐量。 - 简谐振动与旋转矢量对应：作坐标轴 \(Ox\)，自原点作一矢量\(\vec{A}\)，矢量绕 \(O\) 点以角速度 \(\omega\) 旋转，初始时刻与 \(x\) 轴夹角 \(\varphi_0\)，则 \(M\) 点在 \(x\) 轴上投影 \(P\) 点坐标 \(x = A\cos(\omega t+\varphi_0)\)。
	8.2 弹性系统的阻尼振动
	- 受迫振动：系统在弹性力和阻尼力外还受到周期性外力的作用，产生振动，\(F(t) = F\cos\omega t\)，运动微分方程\(\ddot{x}+2\beta\dot{x}+\omega_{0}^{2}x = C\cos\omega t\)，其中\(C = \frac{F}{m}\)。由微分方程数学理论，方程的通解可分解为下列两个方程的通解与特解之和：\(\ddot{x}_{1}+2\beta\dot{x}_{1}+\omega_{0}^{2}x_{1} = 0\)，\(\ddot{x}_{2}+2\beta\dot{x}_{2}+\omega_{0}^{2}x_{2} = C\cos\omega t\)，通解\(x = x_{1}+x_{2}\)。猜测\(x_{2} = A\cos(\omega t+\varphi_{0})\)。第一项即阻尼振动，随时间衰减消失，故称暂态解第二项不随时间衰减，称为定态解。经一段时间受迫振动变为简谐振动。求解得受迫振动\(A = \frac{C}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}}}\)，\(\tan\varphi_{0}=\frac{-2\beta\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\)。
	。强阻尼：$\beta > \omega_0$时阻尼较大，特征方程有两个不同的实根，这时方程的解为$x(t) = C_1\mathrm{e}^{-(\beta - \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2})t} + C_2\mathrm{e}^{-(\beta + \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2})t}$。这种强阻尼运动方式是非周期运动，振动从开始最大位移缓慢回到平衡位置，不再做往复运动。
	- 受迫振动：系统在弹性力和阻尼力外还受到周期性外力的作用，产生振动，\(F(t) = F\cos\omega t\)，运动微分方程\(\ddot{x}+2\beta\dot{x}+\omega_{0}^{2}x = C\cos\omega t\)，其中\(C = \frac{F}{m}\)。由微分方程数学理论，方程的通解可分解为下列两个方程的通解与特解之和：\(\ddot{x}_{1}+2\beta\dot{x}_{1}+\omega_{0}^{2}x_{1} = 0\)，\(\ddot{x}_{2}+2\beta\dot{x}_{2}+\omega_{0}^{2}x_{2} = C\cos\omega t\)，通解\(x = x_{1}+x_{2}\)。猜测\(x_{2} = A\cos(\omega t+\varphi_{0})\)。第一项即阻尼振动，随时间衰减消失，故称暂态解第二项不随时间衰减，称为定态解。经一段时间受迫振动变为简谐振动。求解得受迫振动\(A = \frac{C}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}}}\)，\(\tan\varphi_{0}=\frac{-2\beta\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\)。。自由振动的振动频率为固有频率，由振子系统本身的性质决定；受迫振动的频率与外来驱动力的频率相同，振子按外来驱动力的频率而作受迫振动。。自由振动的振幅和初相位由初始条件决定；受迫振动的振幅\(A\)与初相\(\varphi_{0}\)是确定的，由振动系统与驱动力的情况决定，与初位移和初速度无关。初条件仅影响最初的暂态过程，井不影响定态解。
	。自由振动的振动频率为固有频率，由振子系统本身的性质决定；受迫振动的频率与外来驱动力的频率相同，振子按外来驱动力的频率而作受迫振动。
	。弱阻尼：$\beta < \omega_0$ 时阻尼振动运动方程的解 $x = A_0\text{e}^{-\beta t}\cos(\omega t + \varphi)$，阻尼振动的角频率 $\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}$，$A_0$ 和 $\varphi$ 取决于初始条件的积分常数。弱阻尼曲线：振幅随时间 $t$ 作指数衰减，近似为简谐振动，阻尼振动周期比系统的固有周期长。。强阻尼：$\beta > \omega_0$ 时阻尼较大，特征方程有两个不同的实根，这时方程的解为 $x(t) = C_1\text{e}^{-(\beta - \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2})t} + C_2\text{e}^{-(\beta + \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2})t}$。这种强阻尼运动方式是非周期运动，振动从开始最大位移缓慢回到平衡位置，不再做往复运动。。临界阻尼：$\beta = \omega_0$ 时，方程只有一个重根，微分方程的解为 $x(t) = (C_1 + C_2t)\text{e}^{-\beta t}$，即是物体不作往复运动的极限。系统从周期运动变为非周期振动称为临界阻尼。临界阻尼的回复时间最短。。应用：灵敏电流计到达平衡位置。
	- 讨论阻尼力不太大的阻尼振动，系统除受到线性恢复力之外还受到粘滞阻力，其大小与速率成正比，\(f = -\gamma v\)。由牛顿第二定律\(\ddot{x}+\frac{\gamma}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x = 0\)。其中\(\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}\)。引入阻尼因数\(\beta=\frac{\gamma}{2m}\)。按阻尼度\(\frac{\beta}{\omega_{0}}\)大小的不同，微分方程有三种不同形式的解，代表了振动物体的三种运动方式。
	8.3 简谐量的保守性和对应表示
	8.4 弹性系统的受迫振动与共振
	- 多自由度弹性系统：实际的多自由度系统有多个振动自由度，有多个振动子系统。多自由度系统在不受外力作用下的振动，称为本征振动或简正振动。多自由度弹性系统有多个本征频率或简正振动模。
	\cdot 受迫振动：系统在弹性力和阻尼力外还受到周期性外力的作用，产生振动，\(F(t) = F\cos\omega t\)，运动微分方程\(\ddot{x}+2\beta\dot{x}+\omega_{0}^{2}x = C\cos\omega t\)，其中\(C = \frac{F}{m}\)。由微分方程数学理论，方程的通解可分解为下列两个方程的通解与特解之和：\(\ddot{x}_{1}+2\beta\dot{x}_{1}+\omega_{0}^{2}x_{1} = 0\)，\(\ddot{x}_{2}+2\beta\dot{x}_{2}+\omega_{0}^{2}x_{2} = C\cos\omega t\)，通解\(x = x_{1}+x_{2}\)。猜测\(x_{2}=A\cos(\omega t+\varphi_{0})\)。第一项即阻尼振动，随时间衰减消失，故称暂态解第二项不随时间衰减，称为定态解。经一段时间受迫振动变为简谐振动。求解得受迫振动\(A = \frac{C}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}}}\)，\(\tan\varphi_{0}=\frac{-2\beta\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\)。
	。弱阻尼：$\beta < \omega_0$ 时阻尼振动运动方程的解 $x = A_0\mathrm{e}^{-\beta t}\cos(\omega t + \varphi)$，阻尼振动的角频率 $\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}$，$A_0$ 和 $\varphi$ 取决于初始条件的积分常数。弱阻尼曲线：振幅随时间 $t$ 作指数衰减，近似为简谐振动，阻尼振动周期比系统的固有周期长。
	- 自由振动是理想情形，其能量守恒，振幅不随时间改变。而实际振动系统体系，当没有外界的能量补充时，振幅都要随时间逐渐衰减。原因：存在阻尼力使系统的能量转化为热；振动引起周围介质的振动，能量以波的形式向周围传播。 - 讨论阻尼力不太大的阻尼振动，系统除受到线性恢复力之外还受到粘滞阻力，其大小与速率成正比，\(f = -\gamma v\)。由牛顿第二定律\(\ddot{x}+\frac{\gamma}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x = 0\)。其中\(\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}\)。引入阻尼因数\(\beta=\frac{\gamma}{2m}\)。按阻尼度\(\frac{\beta}{\omega_{0}}\)大小的不同，微分方程有三种不同形式的解，代表了振动物体的三种运动方式。
	。自由振动的振动频率为固有频率, 由振子系统本身的性质决定；受迫振动的频率与外来驱动力的频率相同, 振子按外来驱动力的频率而作受迫振动。。自由振动的振幅和初相位由初始条件决定；受迫振动的振幅 \(A\) 与初相 \(\varphi_0\) 是确定的, 由振动系统与驱动力的情况决定, 与初位移和初速度无关。初条件仅影响最初的暂态过程, 井不影响定态解。
	1). 如何删除版本信息？导言区不写 \version{x.xx} 即可。
	对边界层微分方程\(u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x}+\nu \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\)两边同时乘以\(u^{k}\)，并做积分
	\[ D=\int_{0}^{L} \tau_{0} d x=0.3321 \rho U^{2} \sqrt{\frac{v}{U}} \int_{0}^{L} x^{-\frac{1}{2}} d x=\frac{0.6642 \rho U^{2} L}{\sqrt{\mathrm{Re}_{L}}}(L \text { 为特征长度 }) \]
	(7) 总阻力(拖曳力，Drag Force)
	(8) 拖曳系数 $C_{D}=\frac{D}{\frac{1}{2} \rho U^{2} L}=\frac{1.33}{\sqrt{\mathrm{Re}_{L}}}(C_{D}=\frac{1}{L} \int_{0}^{L} C_{f} d x)$
	7. 边界层哥路别夫积分方程的导出
	\textcircled{2} 应用。由于Blasius解的准确性，它常用来校准边界层测速装置的探头；另外，它在边界层数值计算中颇为有用，常被用来考核计算方法或程序的正确性。
	(6) 表面摩擦系数(阻力系数) \(C_f\) \(C_f = \frac{\tau_0}{\frac{1}{2} \rho U^{2}}=\frac{0.6642}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}}\)
	\[\tau_{0}=\mu\frac{\partial u}{\partial y}=\mu\frac{\partial\left[Uf'(\eta)\right]}{\partial y}=\mu U\sqrt{\frac{U}{\nu x}}f''(0)=0.3321\frac{\rho U^{2}}{\sqrt{\mathrm{Re}_{x}}}\]
	[注] 关于 Blasius 相似性解的几点说明
	1). 如何删除版本信息？
	原子排列方式
	3). 如何获得中文日期？为了获得中文日期，必须在中文模式下，使用 \date{\zhdate{2019/12/09}}，如果需要当天的汉
	注这道题纯属给大家练手，重点落在像的位置、大小、虚实、正倒. 透镜组的逐次成像法是计算题必考的考点，一定不要算错数，不要按错计算器，不要弄错正负号，一定要把这个问题弄熟练，同时注意过程的书写一定要规范，按照原始公式 + 带入数据 + 得出结果三步进行，这样即使算错数也有方程的分数不至于全部扣掉.
	例 1.13 (教材 P375-习题 2.41) 两薄透镜共轴，一个为会聚透镜，焦距为 \(f_1 = 10\text{cm}\)；另一个为发散透镜，\(f_2 = -15\text{cm}\)，两者相距 \(5\text{cm}\). 若将一物体放在会聚透镜左侧 \(10\text{cm}\)处，试求透镜组的焦点、主点的位置，以及像的位置、大小、虚实和正倒.
	例 1.12 (教材 P374-习题 2.34) 如图所示为一个等腰直角三棱镜 ($n = 1.5$) 和两个薄透镜所组成的光学系统. 求图中物体最后成像的位置和像的大小. 设物体长为 1cm. 提示本题中三棱镜可以等效成什么，为什么可以做这样的等效?
	- 逐次成像法 - 光具组移动问题 - 光学作图
	专题 1.4 光具组成像光学作图
	例 1.14 用作图法求出图中的像.
	化日期，可以使用 \date{\zhtoday}，这两个命令都来源于 zhnumber 宏包。
	). 如何添加多个作者？在 \author 里面使用 \and，作者单位可以用 \\ 换行。 \author{author 1\\ org. 1 \and author 2 \\ org. 2 }
	轨道角动量： \(L\) 电子自旋： \(S\) 核自旋： \(I\)

例如，若 $[\hat{A},\hat{B}]=0$，则可以选取 $\mathcal{H}$ 的一组标准正交基 $|a_{i},b_{i}\rangle$，满足它们同时为 $\hat{A},\hat{B}$ 的本征矢量，即

此时由于左矢满足 $\langle\Psi| = \sum_{j}\langle\Psi|f_j\rangle f_j$，可将左矢看作行向量 $\Psi^{\dagger}$，其对右矢的作用结果 $\langle\Psi|\Phi\rangle = \Psi^{\dagger}\Phi$。

考虑 $F$ 表象中，其基为 $|f_i\rangle$，表象理论中将 $|\Psi\rangle$ 替换为列向量 $\Psi$，$\Psi_i = \langle f_i|\Psi\rangle$。此时，计算得对力学量算符有

* 对 $\hat{F}$ 自身，有 $\langle f_i|\hat{F}|f_i\rangle = f_i\delta_{ij}$，即其为实对角矩阵。

于是波函数定义要求平方可积即为模长有限，关于三维位置的含义事实上代表三次相容的测量，将在之后解释。

计算可知 $\hat{U}|f_i\rangle = |g_i\rangle$，且 $\hat{U}^{-1} = \sum_i |f_i\rangle\langle g_i|$。由于有 $\hat{U}^{\dagger} = \hat{U}^{-1}$，其为幺正算符 [酉算符]。由于

$\langle f_i|\hat{U}|f_j\rangle = \langle g_i|\hat{U}|g_j\rangle = \langle f_i|g_j\rangle$

$\hat{A} = \sum_{ij} \langle f_i|\hat{A}|f_j\rangle|f_i\rangle\langle f_j|$

$\hat{U} = \sum_{i} |g_{i}\rangle\langle f_{i}| $

第五部分 \quad LSZ约化

$20.5.1$ 收缩的各种情况 $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$ $286$

20.7.1 Moeller散射\hspace{\fill}294

\begin{enumerate} \item 24.1 自由粒子的传播子 \dotfill 312 \item 24.2 确定归一化常数$A$ \dotfill 317 \item 24.3 Lagrange表述与Hamilton表述 \dotfill 319 \item 24.4 路径积分量子化和正则量子化 \dotfill 322 \item 24.5 补充:由算符方法出发计算自由粒子传播子。 \dotfill 325 \item 24.6 跃迁振幅（传播子）的几种表示（小结） \dotfill 326 \item 24.7 编时乘积 \dotfill 327 \item 24.8 有源$J(t)$时的运动 \dotfill 329 \item 24.9 生成泛函$Z_{ab}[J]$ \dotfill 336 \begin{enumerate} \item 24.9.1 泛函导数（数学准备） \dotfill 336 \item 24.9.2 生成泛函$Z_{ab}[J]$ \dotfill 338 \item 24.9.3 由生成泛函$Z_{ba}[J]$求跃迁矩阵元 \dotfill 339 \end{enumerate} \end{enumerate}

二十四章路径积分的基本思想及自由粒子的路径积分处理······31

24.9.2 生成泛函$Z_{ab}[J]$........................... 338

第六部分路径积分量子化：量子力学

20.3.1 $U$矩阵 \dotfill 279\\ 20.3.2 $S$矩阵 \dotfill 280

用相对论性的波函数方程描述单个粒子会遇到这么多困难, 是否意味着处理这些问题的基础本身就不正确呢? 确实是这样的。量子力学的一条基本原理是: 观测量由物理 Hilbert 空间中的厄米算符 (Hermitian operator) 描写。然而, 时间显然是一个观测量, 却没有用一个厄米算符来描写它。在 Schrödinger 绘景 (picture) 中, 描述系统的量子态时可以让态依赖于一个时间参数 $t$, 这是时间的概念进入量子力学的方式, 但并没有假定这个参数是某个厄米算符的本征值。另一方面, 粒子的空间位置 $\mathbf{x}$ 则是位置算符 $\hat{\mathbf{x}}$ 的本征值。可见, 在量子力学中, 对时间和空间的处理方式是完全不同的。而在狭义相对论中, Lorentz 对称性将两者混合起来。因此, 在结合量子力学与狭义相对论的过程中出现困难, 也是正常的。

在量子场论中，前面提到的困难都可以得到解决。现在，Klein-Gordon 方程和 Dirac 方程这样的相对论性方程描述的是自由量子场的运动。真空是量子场的基态，包含粒子的态则是激发态，激发态可以包含任意多个粒子。量子场论平等地描述正粒子和反粒子，由正反粒子的产生算符和湮灭算符表达出来的哈密顿量是正定的，不再出现负能量困难。不再将$\rho$解释成单粒子概率密度，而将它解释为单位体积内正粒子数与反粒子数之差，因而不存在负概率困难。

根据 $1 = c = 2.998\times 10^{10}\text{ cm/s}$，有

$1 = \hbar = 6.582\times 10^{-22}\ \mathrm{MeV}\cdot\mathrm{s},\quad 1 = \hbar c = 1.973\times 10^{-11}\ \mathrm{MeV}\cdot\mathrm{cm},$

那么，如何在量子力学中平等地处理时间和空间呢？一种途径是将时间提升为一个厄米算符，但这样做在实际操作中非常困难。另一种途径是将空间位置降格为一个参数，不再由厄米算符描写。这样，我们可以在每个空间点$\mathbf{x}$处定义一个算符$\hat{\Phi}(\mathbf{x})$，所有这些算符的集合称为量子场 (quantum field)。在Heisenberg绘景中，量子场算符还依赖于时间$t$，

量子场论是结合量子力学和相对论的理论，因而时常出现约化 Planck 常数 $\hbar$ 和真空中的光速 $c$，这一点可以从上一节的几个公式中看出来。于是，为了简化表述，通常采用自然单位制，取

如此，量子化的对象变成是由依赖于时空坐标的场组成的动力学系统，这就是量子场论。这里Hilbert 空间上的量子算符用 `^` 符号标记，为了简化记号，后面将省略 `^` 符号。

$\left(\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\nabla^{2}+m^{2}\right)\Psi(\mathbf{x},t)=0.$

1.2 自然单位制

利用转换关系

$1\ \mathrm{s}=2.998\times 10^{10}\ \mathrm{cm}$

1.3 速度

$\bar{v}=\frac{x}{t}\text{矢量}\quad v = \left.\frac{\Delta x}{\Delta t}\right|_{\Delta t\rightarrow 0}\text{矢量}$

例1 质点在单向直线运动中,若：

二者与位移和路程的关系相同，只有做单向直线运动的物体的平均速率等于平均速度大小。

描述物体位置变化快慢$\Rightarrow$位置变化率

$\underline{矢量}$,方向与$\Delta x$相同。

平均速率：$\bar{v}=\frac{s}{t}$，平均速率通常不是平均速度大小。

(2)前一半位移平均速度为$\overline{v}_{1}'$，后一半位移平均速度为$\overline{v}_{2}'$，求全程平均速度$\overline{v}'$。

$\frac{\lambda}{\delta\lambda}=\frac{\pi k\sqrt{R}}{1 - R}\ (\delta\lambda =\Delta\lambda_{k})$

$\Delta\lambda_{k}=\frac{\lambda\varepsilon}{2\pi k},(2nh = k\lambda_{k})$

\[I_{\theta} = a_{0}^{2} \left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^{2} \left(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right)^{2} , \alpha = \frac{\pi a}{\lambda}\sin\theta , \beta = \frac{\pi d}{\lambda}\sin\theta\]

$\varepsilon =\frac{2(1 - R)}{\sqrt{R}}$

(4) 强度分布中都保留了单缝衍射的痕迹，即曲线的包络与单缝衍射强度曲线的形状一样。多缝夫琅禾费衍射公式：

$\Delta i_{k}=\frac{\lambda \varepsilon}{4 \pi n h \sin i_{k}}$

法-珀腔能将非单色光选择为一系列等频率间隔的纵模谱线，从而能够挑选波长、压缩线宽、提高单色性。

第四章衍射光栅

$\sin \theta = \frac{k\lambda}{d}$

与版本 \version 不同的是，导言区不写或注释 \date 的话，仍然会打印出当日日期，原因是 \date 有默认参数。如果不需要日期的话，日期可以留空即可，也即 \date{}。

\section{1.4 高维情形}

\[ f(x, y) \geq 0, \quad \iint dxdy f(x, y)=1. \]

- $X$和$Y$的协方差定义为：

$\mathrm{cov}(X,Y) = \iint dxdy(x - \langle X \rangle)(y - \langle Y \rangle) f(x,y) = \langle XY \rangle - \langle X \rangle\times\langle Y \rangle.$

对两随机变量$X$和$Y$，其联合概率密度$f(x,y)$有：

$\bullet$ 联合概率密度：

- 若$X$和$Y$独立，我们有：

其中最后两式的逆命题不一定成立。

$\langle XY\rangle=\langle X\rangle\times\langle Y\rangle 及 \text{cov}(X,Y)=0.$

若$X$和$Y$独立，我们有： \[ \begin{align*} f(x,y)&=f_X(x)f_Y(y)\text{和}\\ \langle XY\rangle&=\langle X\rangle\times\langle Y\rangle \text{ 及 }\mathrm{cov}(X,Y)=0. \end{align*} \] 其中最后两式的逆命题不一定成立。

本课程综合运用自学指导式、启发式、探究式、讨论式、自主合作式等多种教学方法进行教学。使学生掌握科学的学习方法，真正达到从学会到会学。课堂讲授与讨论相结合、课堂练习与课后作业相结合、理论分析与演示实验相结合。对于重点、难点可通过分散、讨论、演示实验、多媒体资料、撰写小论文等多种方式的综合运用予以解决。在讲授过程中，可按 “提出问题，突出主干，理顺思路，启发引导，总结规律，举一反三”的原则安排内容，主要采用启发式教学，注意激发学生的学习兴趣。例如，原子位形这部分内容，以科学史上对原子结构的各种模型提出为线索，激发学生对物理理论研究过程中的逐步更新修正有更为深刻的了解。在量子力学导论部分，利用多媒体手段，再引入最新的科研动态，以更为生动有趣的形式展示给学生，扩大学生的视野，使学生的知识不仅仅局限在教材里面，激发学生对新的课题、新的研究方向产生更浓厚的兴趣，从而培养学生有较强的独立思考能力和创造能力，较快进入科学发展的前沿，养成辩证唯物主义的世界观和方法论。

七、教学方法

八、考核及成绩评定方式

（二）评定方法

（一）课程考核与课程目标的对应关系

5. 费米夫人．原子在我家中．科学出版社，1979． 6. 戈革．尼尔斯•玻尔．上海人民出版社，1985． 7. 王福山．近代物理学史研究（一）（1983），（二）（1986）．复旦大学出版社． 8. 朱林繁，彭新华．原子物理学，中国科学技术大学出版社，2017．

为了获得中文日期，必须在中文模式下，使用 \date{\zhdate{2019/12/09}}，如果需要当天的汉

- 简谐量的保守性：简谐量的微商仍为同频简谐振动；简谐量的积分仍为同频简谐振动；两个同频简谐量的合成仍为同频简谐量。 - 简谐振动与旋转矢量对应：作坐标轴 $Ox$，自原点作一矢量$\vec{A}$，矢量绕 $O$ 点以角速度 $\omega$ 旋转，初始时刻与 $x$ 轴夹角 $\varphi_0$，则 $M$ 点在 $x$ 轴上投影 $P$ 点坐标 $x = A\cos(\omega t+\varphi_0)$。

8.2 弹性系统的阻尼振动

- 受迫振动：系统在弹性力和阻尼力外还受到周期性外力的作用，产生振动，$F(t) = F\cos\omega t$，运动微分方程$\ddot{x}+2\beta\dot{x}+\omega_{0}^{2}x = C\cos\omega t$，其中$C = \frac{F}{m}$。由微分方程数学理论，方程的通解可分解为下列两个方程的通解与特解之和：$\ddot{x}_{1}+2\beta\dot{x}_{1}+\omega_{0}^{2}x_{1} = 0$，$\ddot{x}_{2}+2\beta\dot{x}_{2}+\omega_{0}^{2}x_{2} = C\cos\omega t$，通解$x = x_{1}+x_{2}$。猜测$x_{2} = A\cos(\omega t+\varphi_{0})$。第一项即阻尼振动，随时间衰减消失，故称暂态解第二项不随时间衰减，称为定态解。经一段时间受迫振动变为简谐振动。求解得受迫振动$A = \frac{C}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}}}$，$\tan\varphi_{0}=\frac{-2\beta\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}$。

。强阻尼：$\beta > \omega_0$时阻尼较大，特征方程有两个不同的实根，这时方程的解为$x(t) = C_1\mathrm{e}^{-(\beta - \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2})t} + C_2\mathrm{e}^{-(\beta + \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2})t}$。这种强阻尼运动方式是非周期运动，振动从开始最大位移缓慢回到平衡位置，不再做往复运动。

- 受迫振动：系统在弹性力和阻尼力外还受到周期性外力的作用，产生振动，$F(t) = F\cos\omega t$，运动微分方程$\ddot{x}+2\beta\dot{x}+\omega_{0}^{2}x = C\cos\omega t$，其中$C = \frac{F}{m}$。由微分方程数学理论，方程的通解可分解为下列两个方程的通解与特解之和：$\ddot{x}_{1}+2\beta\dot{x}_{1}+\omega_{0}^{2}x_{1} = 0$，$\ddot{x}_{2}+2\beta\dot{x}_{2}+\omega_{0}^{2}x_{2} = C\cos\omega t$，通解$x = x_{1}+x_{2}$。猜测$x_{2} = A\cos(\omega t+\varphi_{0})$。第一项即阻尼振动，随时间衰减消失，故称暂态解第二项不随时间衰减，称为定态解。经一段时间受迫振动变为简谐振动。求解得受迫振动$A = \frac{C}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}}}$，$\tan\varphi_{0}=\frac{-2\beta\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}$。。自由振动的振动频率为固有频率，由振子系统本身的性质决定；受迫振动的频率与外来驱动力的频率相同，振子按外来驱动力的频率而作受迫振动。。自由振动的振幅和初相位由初始条件决定；受迫振动的振幅$A$与初相$\varphi_{0}$是确定的，由振动系统与驱动力的情况决定，与初位移和初速度无关。初条件仅影响最初的暂态过程，井不影响定态解。

。自由振动的振动频率为固有频率，由振子系统本身的性质决定；受迫振动的频率与外来驱动力的频率相同，振子按外来驱动力的频率而作受迫振动。

。弱阻尼：$\beta < \omega_0$ 时阻尼振动运动方程的解 $x = A_0\text{e}^{-\beta t}\cos(\omega t + \varphi)$，阻尼振动的角频率 $\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}$，$A_0$ 和 $\varphi$ 取决于初始条件的积分常数。弱阻尼曲线：振幅随时间 $t$ 作指数衰减，近似为简谐振动，阻尼振动周期比系统的固有周期长。。强阻尼：$\beta > \omega_0$ 时阻尼较大，特征方程有两个不同的实根，这时方程的解为 $x(t) = C_1\text{e}^{-(\beta - \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2})t} + C_2\text{e}^{-(\beta + \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2})t}$。这种强阻尼运动方式是非周期运动，振动从开始最大位移缓慢回到平衡位置，不再做往复运动。。临界阻尼：$\beta = \omega_0$ 时，方程只有一个重根，微分方程的解为 $x(t) = (C_1 + C_2t)\text{e}^{-\beta t}$，即是物体不作往复运动的极限。系统从周期运动变为非周期振动称为临界阻尼。临界阻尼的回复时间最短。。应用：灵敏电流计到达平衡位置。

- 讨论阻尼力不太大的阻尼振动，系统除受到线性恢复力之外还受到粘滞阻力，其大小与速率成正比，$f = -\gamma v$。由牛顿第二定律$\ddot{x}+\frac{\gamma}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x = 0$。其中$\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}$。引入阻尼因数$\beta=\frac{\gamma}{2m}$。按阻尼度$\frac{\beta}{\omega_{0}}$大小的不同，微分方程有三种不同形式的解，代表了振动物体的三种运动方式。

8.3 简谐量的保守性和对应表示

8.4 弹性系统的受迫振动与共振

- 多自由度弹性系统：实际的多自由度系统有多个振动自由度，有多个振动子系统。多自由度系统在不受外力作用下的振动，称为本征振动或简正振动。多自由度弹性系统有多个本征频率或简正振动模。

\cdot 受迫振动：系统在弹性力和阻尼力外还受到周期性外力的作用，产生振动，$F(t) = F\cos\omega t$，运动微分方程$\ddot{x}+2\beta\dot{x}+\omega_{0}^{2}x = C\cos\omega t$，其中$C = \frac{F}{m}$。由微分方程数学理论，方程的通解可分解为下列两个方程的通解与特解之和：$\ddot{x}_{1}+2\beta\dot{x}_{1}+\omega_{0}^{2}x_{1} = 0$，$\ddot{x}_{2}+2\beta\dot{x}_{2}+\omega_{0}^{2}x_{2} = C\cos\omega t$，通解$x = x_{1}+x_{2}$。猜测$x_{2}=A\cos(\omega t+\varphi_{0})$。第一项即阻尼振动，随时间衰减消失，故称暂态解第二项不随时间衰减，称为定态解。经一段时间受迫振动变为简谐振动。求解得受迫振动$A = \frac{C}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}}}$，$\tan\varphi_{0}=\frac{-2\beta\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}$。

。弱阻尼：$\beta < \omega_0$ 时阻尼振动运动方程的解 $x = A_0\mathrm{e}^{-\beta t}\cos(\omega t + \varphi)$，阻尼振动的角频率 $\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}$，$A_0$ 和 $\varphi$ 取决于初始条件的积分常数。弱阻尼曲线：振幅随时间 $t$ 作指数衰减，近似为简谐振动，阻尼振动周期比系统的固有周期长。

- 自由振动是理想情形，其能量守恒，振幅不随时间改变。而实际振动系统体系，当没有外界的能量补充时，振幅都要随时间逐渐衰减。原因：存在阻尼力使系统的能量转化为热；振动引起周围介质的振动，能量以波的形式向周围传播。 - 讨论阻尼力不太大的阻尼振动，系统除受到线性恢复力之外还受到粘滞阻力，其大小与速率成正比，$f = -\gamma v$。由牛顿第二定律$\ddot{x}+\frac{\gamma}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x = 0$。其中$\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}$。引入阻尼因数$\beta=\frac{\gamma}{2m}$。按阻尼度$\frac{\beta}{\omega_{0}}$大小的不同，微分方程有三种不同形式的解，代表了振动物体的三种运动方式。

。自由振动的振动频率为固有频率, 由振子系统本身的性质决定；受迫振动的频率与外来驱动力的频率相同, 振子按外来驱动力的频率而作受迫振动。。自由振动的振幅和初相位由初始条件决定；受迫振动的振幅 $A$ 与初相 $\varphi_0$ 是确定的, 由振动系统与驱动力的情况决定, 与初位移和初速度无关。初条件仅影响最初的暂态过程, 井不影响定态解。

1). 如何删除版本信息？导言区不写 \version{x.xx} 即可。

对边界层微分方程$u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x}+\nu \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$两边同时乘以$u^{k}$，并做积分

\[ D=\int_{0}^{L} \tau_{0} d x=0.3321 \rho U^{2} \sqrt{\frac{v}{U}} \int_{0}^{L} x^{-\frac{1}{2}} d x=\frac{0.6642 \rho U^{2} L}{\sqrt{\mathrm{Re}_{L}}}(L \text { 为特征长度 }) \]

(7) 总阻力(拖曳力，Drag Force)

(8) 拖曳系数 $C_{D}=\frac{D}{\frac{1}{2} \rho U^{2} L}=\frac{1.33}{\sqrt{\mathrm{Re}_{L}}}(C_{D}=\frac{1}{L} \int_{0}^{L} C_{f} d x)$

7. 边界层哥路别夫积分方程的导出

\textcircled{2} 应用。由于Blasius解的准确性，它常用来校准边界层测速装置的探头；另外，它在边界层数值计算中颇为有用，常被用来考核计算方法或程序的正确性。

(6) 表面摩擦系数(阻力系数) $C_f$ $C_f = \frac{\tau_0}{\frac{1}{2} \rho U^{2}}=\frac{0.6642}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}}$

\[\tau_{0}=\mu\frac{\partial u}{\partial y}=\mu\frac{\partial\left[Uf'(\eta)\right]}{\partial y}=\mu U\sqrt{\frac{U}{\nu x}}f''(0)=0.3321\frac{\rho U^{2}}{\sqrt{\mathrm{Re}_{x}}}\]

[注] 关于 Blasius 相似性解的几点说明

1). 如何删除版本信息？

原子排列方式

3). 如何获得中文日期？为了获得中文日期，必须在中文模式下，使用 \date{\zhdate{2019/12/09}}，如果需要当天的汉

注这道题纯属给大家练手，重点落在像的位置、大小、虚实、正倒. 透镜组的逐次成像法是计算题必考的考点，一定不要算错数，不要按错计算器，不要弄错正负号，一定要把这个问题弄熟练，同时注意过程的书写一定要规范，按照原始公式 + 带入数据 + 得出结果三步进行，这样即使算错数也有方程的分数不至于全部扣掉.

例 1.13 (教材 P375-习题 2.41) 两薄透镜共轴，一个为会聚透镜，焦距为 $f_1 = 10\text{cm}$；另一个为发散透镜，$f_2 = -15\text{cm}$，两者相距 $5\text{cm}$. 若将一物体放在会聚透镜左侧 $10\text{cm}$处，试求透镜组的焦点、主点的位置，以及像的位置、大小、虚实和正倒.

例 1.12 (教材 P374-习题 2.34) 如图所示为一个等腰直角三棱镜 ($n = 1.5$) 和两个薄透镜所组成的光学系统. 求图中物体最后成像的位置和像的大小. 设物体长为 1cm. 提示本题中三棱镜可以等效成什么，为什么可以做这样的等效?

- 逐次成像法 - 光具组移动问题 - 光学作图

专题 1.4 光具组成像光学作图

例 1.14 用作图法求出图中的像.

化日期，可以使用 \date{\zhtoday}，这两个命令都来源于 zhnumber 宏包。

). 如何添加多个作者？在 \author 里面使用 \and，作者单位可以用 \\ 换行。 \author{author 1\\ org. 1 \and author 2 \\ org. 2 }

轨道角动量： $L$ 电子自旋： $S$ 核自旋： $I$