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内容 2.1.3. 某点电阻率\(\rho\)定义为\(\rho = \frac{E}{j}\)，其中\(E\)为该点电场强度大小,\(j\)为该点电流密度大小；
高中经典公式为\(R = \rho\frac{l}{S}\). 电阻率的倒数称为电导率\(\sigma\). |
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内容 2.1.1. 电流为 \(I = \frac{dQ}{dt}\)，定义电流密度为 \(\boldsymbol{j} = \frac{dI}{dS}\boldsymbol{e}_{n}\)，其中 \(dS\bot I\)，且 \(\boldsymbol{e}_{n}\) 为 \(dS\) 的法向单位矢量. 另外还有 \(I = \iint_{S} \boldsymbol{j} \cdot d\boldsymbol{S}\). |
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电流和恒磁场 |
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内容 2.2.1. 物质磁性主要来源是电子的自旋磁矩，铁磁物质的强烈磁性则与相邻原子的电子的自旋磁矩之间的交换作用有关. |
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内容 2.1.4 (欧姆定律). 即为 \(I = \frac{U}{R}\), 而且有微分形式 \(\boldsymbol{j} = \sigma\boldsymbol{E}\). |
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\textsf{Chapter 2} |
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\textcircled{1}下落的时间：\(t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\)
\textcircled{2}相邻两滴水的时间间隔相等“\(T\)”
\textcircled{3}听到第\(n\)声水滴的总时间：\((n - 1)T\) |
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自由落体的本质是\(v_{0}=0\)的匀变速直线，满足“初0规律
注意：买东西前做题之前确定“有钱没钱” |
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滴水问题的三个时间 |
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代表题型：滴水问题 |
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本节总结 |
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他们试图把你埋了，你要记得你是颗种子 |
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注意
MIPI DSI规范将其称为总线回转过程（BTA ）。CSI-2规范没有BTA过程，而是依赖\(I^{2}C\)链路进行双向通信。 |
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\begin{center}
\textbf{注意}
\end{center}
进入ULPS的命令使用Spaced-One-Hot编码。 |
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3 致谢 |
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$\Leftarrow$: 对任意$x \neq y \in X$，由于$\{x\},\{y\}$均为闭集，因此存在开集$U,V$使得 |
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1. 设 \(X\) 为 \(\mathrm{T}1\) 空间，\(A\subset X,x\in A'\)，则 \(x\) 的任一邻域与 \(A\) 的交集为无穷集.
2. \(\mathrm{Hausdorff}\) 空间中收敛序列的极限唯一.
3. \(\mathrm{T}2\Rightarrow\mathrm{T}1\). |
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2. $\Rightarrow$: 任取 $(x,y)\in X\times X,x\neq y$，根据T2公理可知存在无交开集 $U,V\in\mathcal{T}$ 使得 $x\in U,y\in V$，因此 $X\times X$ 中包含 $(x,y)$ 的开集 $U\times V$ 与 $\Delta$ 无交，故 $(x,y)\notin\Delta'$，因此 $\Delta = \Delta'$，即 $\Delta$ 为闭集.
$\Leftarrow$: 对任意 $x\neq y\in X$，$(x,y)\in\Delta^c$ 说明存在 $U\times V\subset X\times Y$ 使得 $(x,y)\in U\times V\subset\Delta^c$ 并且 $U,V\in\mathcal{T}$ (拓扑基)，因此 $x\in U,y\in V$ 且 $U,V$ 无交，即得满足T2公理的两个开集. |
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注 有时候会称 “对任意 \(x \neq y\)，存在开集只包含其中一点” 为 T0 公理（注意，这里并不确定该开集包含哪个点，显然 T1 蕴含 T0，取有限子集 \(X = \{a,b\}\) 上的拓扑 \(\mathcal{T}=\{\emptyset,\{a\},\{a,b\}\}\) 可得满足 T0 但不满足 T1 的例子）. |
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2.1 分离公理 |
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$\Leftarrow$: 对任意$x \neq y \in X$, $(x,y) \in \Delta^c$说明存在$U \times V \subset X \times Y$使得$(x,y) \in U \times V \subset \Delta^c$并且$U,V \in \mathcal{T}$ (拓扑基)，因此$x \in U,y \in V$且$U,V$无交，即得满足T2公理的两个开集. |
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4. 略.
分离公理有一些推论 |
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2. $\Rightarrow$: 任取 $(x,y)\in X\times X,x\neq y$，根据 T2 公理可知存在无交开集 $U,V\in\mathcal{T}$ 使得 $x\in U,y\in V$，因此 $X\times X$ 中包含 $(x,y)$ 的开集 $U\times V$ 与 $\Delta$ 无交，故 $(x,y)\notin\Delta'$，因此 $\Delta = \Delta'$，即 $\Delta$ 为闭集. |
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$x \in U \subset \overline{U} \subset V^{c} \subset O.$ |
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1. $\Rightarrow$: 只需证明单点集为闭集，对任意$x\in X,y\in \{x\}^c$，根据$\text{T}1$公理可知存在开集$V$包含$y$但不包含$x$，因此$y\in V\subset \{x\}^c$，即$\{x\}^c$为开集，$\{x\}$为闭集. |
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3. $\Rightarrow$: 对于 $x\in X$ 以及开集 $O\ni x$，考虑 $x,O^{c}$，根据 T3 公理，存在无交开集 $U,V$ 满足 $x\in U,O^{c}\subset V$，因此（注意到 $U\subset V^{c}$） |
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第2章 重要拓扑性质 |
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a. $\cos z$; b. $\frac{z}{z + 2}$; c. $\frac{z}{z^{2}-2z + 5}$。 |
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18、将下列函数按\(z - 1\)的幂展开，并指出收敛范围。 |
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17、将下列函数按\(z\)的幂展开，并指明收敛范围。 |
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a. $\int_{0}^{z} e^{z^{2}} dz$；b. $\cos^{2} z$ 。 |
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解: a. \(e^{z^{2}}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{n!}\)，\(\vert z\vert<\infty\)，
\(\therefore\int_{0}^{z}e^{z^{2}}dz=\int_{0}^{z}\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{n!}dz=\sum_{n = 0}^{\infty}\int_{0}^{z}\frac{z^{2n}}{n!}dz=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{z^{2n + 1}}{n!(2n+1)}\) \(\vert z\vert<\infty\)。
b. \(\cos^{2}z=\frac{1}{2}(1 + \cos2z)\)，\(\cos2z=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(2z)^{2n}}{(2n)!}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{2n}z^{2n}}{(2n)!}\) \(\vert z\vert<\infty\)，
\(\therefore\cos^{2}z=\frac{1}{2}+\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{2n - 1}z^{2n}}{(2n)!}\) \(\vert z\vert<\infty\)。 |
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解: a.$\cos z = \cos[1+(z - 1)] = \cos1\cos(z - 1)-\sin1\sin(z - 1)$。 |
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$m = 0$ 时对应于 Legendre 方程的本征值问题, $m \neq 0$ 时对应于连带 Legendre 方程的本征值问
题。两种情况的本征值和本征函数可以统一写作 |
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\[r^{2}R''(r)+2rR'(r)-\lambda_{l}R(r)=0,\] |
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的解。考虑到关于 \(\phi\) 的周期性边界条件，可得 |
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或者， |
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令 \(\cos \theta = x\)，\(H(\theta) = P(x)\)，考虑到 \(\theta = 0,\pi\) 处的自然边界条件，\(P(x)\) 应该满足本征值问题 |
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\((5.3)\) |
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\((5.7)\) |
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\((5.9)\) |
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\((5.8)\) |
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\((5.10)\) |
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\(\Phi(\phi)=\{\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi},\mathrm{e}^{-\mathrm{i}m\phi}\},\quad m\in\mathbb{N},\) |
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$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(1 - x^{2}\right)\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}\right]+\left(\lambda-\frac{m^{2}}{1 - x^{2}}\right)P = 0,$ |
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\((5.5)\) |
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\[P(\pm1)=0\ \ (m\neq0)\ \ 或\ \ |P(\pm1)|<\infty\ \ (m = 0).\] |
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\[
P(\pm1)=0\ \ (m\neq0)\ \ 或\ \ |P(\pm1)|<\infty\ \ (m = 0).
\] |
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\((5,5)\) |
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\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[(1 - x^{2})\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}\right]+\left(\lambda-\frac{m^{2}}{1 - x^{2}}\right)P = 0,\)
\(P(\pm1)=0\ \ (m\neq0)\ \ 或\ \ |P(\pm1)|<\infty\ \ (m = 0).\) |
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\[
R(r)=\left\{r^{l}, r^{-(l + 1)}\right\}.
\] |
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因此, 一般解为 |
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\(\lambda_l = l(l + 1),\quad P(x) = \{\mathrm{P}_l^m(x)\},\quad l = m, m + 1,\cdots\) |
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\[
u(r, \theta, \phi)=\sum_{m = 0}^{\infty}\sum_{l = m}^{\infty}\left[r^{l}\left(A_{lm}\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi}+B_{lm}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}m\phi}\right)+\frac{1}{r^{l + 1}}\left(C_{lm}\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi}+D_{lm}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}m\phi}\right)\right]\mathrm{P}_{l}^{m}(\cos\theta),
\] |
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可以解出 |
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\(\Phi(\phi) = \{\cos m\phi,\sin m\phi\},\ \ m \in \mathbb{N}.\) |
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这里 $\mathrm{P}_{l}^{m}(x)$ 是连带 Legendre 函数。将本征值代回径向方程 |
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第二章 分离变量法 |
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2.1 Fourier 级数 |
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2.1.1.1 以区间长度为周期的三角函数的正交性 |
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2.1.1 三角函数的正交性 |
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\(\frac{X''(x)}{X(x)} = -\frac{Y''(y)}{Y(y)} = -\lambda\) |
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\[
u(x,y)=\sum_{n = 0}^{\infty}\left(C_{n}\sinh\frac{2n + 1}{2a}\pi y+D_{n}\cosh\frac{2n + 1}{2a}\pi y\right)\sin\frac{2n + 1}{2a}\pi x
\] |
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\(X''(x) + \lambda X(x) = 0 \quad Y''(y) - \lambda Y(y) = 0\) |
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将这无穷多个特解全部叠加起来，就得到了一般解 |
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\(X(0) = 0\ \ \ \ X'(a) = 0\) |
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\(\lambda_{n}=\left(\frac{2n + 1}{2a}\pi\right)^{2}\quad n = 1,2,3,\cdots\) |
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\[
u_n(x,y)=\left(C_n\sinh\frac{2n + 1}{2a}\pi y+D_n\cosh\frac{2n + 1}{2a}\pi y\right)\sin\frac{2n + 1}{2a}\pi x
\] |
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于是就得到了的既满足Laplace方程，又满足\((x\)方向上的) 齐次边界条件的特解 |
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- 若\(\lambda \neq 0\)，微分方程的通解为\(X(x)=A\sin\sqrt{\lambda}x + B\cos\sqrt{\lambda}x\)
代入齐次边界条件，得到\(B = 0\) \(A\neq 0\) \(\cos\sqrt{\lambda}a = 0\)
本征值 |
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- 若\(\lambda = 0\)，则\(X(x)=A_{0}x + B_{0}\)
边界条件\(\Rightarrow A_{0}=0\ B_{0}=0\)
\(\lambda = 0\)只有零解，即\(\lambda = 0\)不是本征值。 |
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\[
Y_{n}''(y)-\lambda_{n}Y_{n}(y)=0\quad \lambda_{n}=\left(\frac{2n + 1}{2a}\pi\right)^{2}\quad n = 0,1,2,3,\cdots
\] |
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\[Y_n(y)=C_n\sinh\frac{2n + 1}{2a}\pi y+D_n\cosh\frac{2n + 1}{2a}\pi y\] |
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\[
X_n(x) = \sin\frac{2n + 1}{2a}\pi x\quad n = 1,2,3,\cdots
\] |
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\[u(x,y)=X(x)Y(y)\] |
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代入关于\(x\)的一对齐次边界条件，得到 |
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\[
X^{\prime\prime}(x)+\lambda X(x)=0\quad X(0)=0\quad X^{\prime}(a)=0
\] |
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这类题目几乎每年都有考察，一般为一道题目. 对应作业第四章第 1、2 题以及补充题目. |
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\[
\begin{cases}
u_t = u_{xx} + u, (t > 0, \infty < x < +\infty) \\
\left.u\right|_{t = 0}=\delta(x + 1)
\end{cases}
\] |
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1.5.1 2019 春数理方程 B 期末第八题 |
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月积分变换法求解 |
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求解热传导问题 |
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1.6.4 2020 春数理方程 B 毕业班期末第四题 |
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并指出当 $\phi(x)=e^{-x^{2}}$ 时此定解问题的解. |
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1.6.1 2014 春数理方程 B 期末第四题 |
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计算积分 |
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1.6 积分变换法求解定解问题 |
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\[\begin{cases}
u_{tt} = 4u_{xx}+5u,(t > 0,-\infty < x < +\infty)\\
\left.u\right|_{t = 0}=\phi(x)
\end{cases}\] |
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\[
\begin{cases}
u_t = a^2u_{xx}+u,(-\infty < x < +\infty,t > 0)\\
u(0,x)=\varphi(x)
\end{cases}
\] |
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\[
\begin{cases}
u_t = u_{xx} + u, (-\infty < x < +\infty, t > 0)\\
u(0,x) = e^{-x^2}
\end{cases}
\] |
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1.6.3 2019 春数理方程 B 期末第六题 |
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\(\int_{-1}^{1} P_{4}(x)\left(1+x+2 x^{2}+3 x^{3}+4 x^{4}\right) d x\) |
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1.6.2 2016春数理方程B期末第四题 |
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12.1.1 一阶张量-矢量的操作矩阵构成晶体点群的表示…………………… 377
12.1.2 二阶张量表示 ……………………………………………………… 379
12.1.3 高阶张量表示 ……………………………………………………… 380 |
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\begin{enumerate}
\item 习题\dotfill 411
\item 参考文献\dotfill 411
\end{enumerate} |
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12.2.1 晶体点群的张量表示的约化 \dotfill 381
12.2.2 张量不变量和恒等表示 \dotfill 383
12.2.3 晶体物理性质张量的非零独立分量数目等于张量表示中所包含恒等表\\示的数目 \dotfill 385
12.2.4 晶体物理性质张量的非零独立分量数目的计算 \dotfill 386 |
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II. 3.1 三阶张量与二阶张量的内积等于一个矢量 $\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots 406$
II. 3.2 三阶张量与矢量的内积构成一个二阶张量 $\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots 407$ |
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\begin{enumerate}[II.]
\item 矢量性质的操作矩阵 \dotfill 402
\item 二阶对称张量性质的操作矩阵 \dotfill 402
\begin{enumerate}
\item 应力型二阶张量的操作矩阵 \dotfill 404
\item 应变型二阶对称张量的操作矩阵 \dotfill 405
\end{enumerate}
\end{enumerate} |
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\begin{enumerate}[(II. 4. 1)]
\item 弹性劲度系数和应变弹光系数 \dotfill 409
\item 应力弹光系数和二次电光系数 \dotfill 409
\item 弹性顺服系数和电致伸缩系数 \dotfill 410
\end{enumerate} |
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\begin{enumerate}
\item 12.3.1 晶体点群作用下的不变式\dotfill 391
\item 12.3.2 求晶体点群作用下不变式的方法\dotfill 394
\item 习题\dotfill 400
\item 参考文献\dotfill 400
\end{enumerate} |
Subsets and Splits
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