wzmmmm/phycics_dataset · Datasets at Hugging Face

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	（4）一般来说，函数运算的位数应根据误差分析来确定．在物理实验中，为了简便和统一起见，对常用的对数函数、指数函数和三角函数作如下规定：对数函数运算后的尾数取得与真数的位数相同；指数函数运算后的有效数字的位数可与指数的小数点后的位数相同（包括紧接小数点后的零）；三角函数的取位随弧度的有效数字而定；
	在有效数字运算过程中，为了不致因运算而引进“误差”或损失有效位数，影响测量结果的精度，统一规定有效数字的近似运算规则如下：
	4. 实验数据处理与作图要求
	$\bullet$ $\{hkl\}$: For planes of equivalent symmetry. $(100)(010)(001)(\bar{1}00)(0\bar{1}0)(00\bar{1})$
	$\bullet\ (hkl): \text{For a plane that intercepts the x-axis on the negative side of the origin.}(\bar{1}00)$
	密勒指数
	晶面:
	$[hkl]: \text{For a crystal direction}$
	\item $\langle hkl\rangle$: For a full set of equivalent directions. $[100][010][001]\ [\bar{1}00][0\bar{1}0][00\bar{1}][\bar{1}00]$
	Principle of Semiconductor Devices
	• 假设 \( \mathrm{H} \) 原子在获得一定能量后，电离为氢离子和电子，即
	$\frac{n_{i}n_{e}}{n_{0}} = \frac{\pi_{i}\pi_{e}}{\pi_{0}}\frac{(2\pi m_{e}kT)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}}e^{-\frac{E_{i}}{kT}}$
	- 当系统达到热平衡时，电离和复合两种相反的反应速度趋于一致，达到动态平衡。
	- Saha 方程描述了温度与电离度（电离和复合达到平衡）的关系：
	$H + (E_{i}) \longrightarrow H^{+} + e^{-}$
	- 这里 \(E_{i}\) 为电离能，是\(13.6 \text{ eV}\)。
	五.（8分）$R_X$值测量在粒子物理中具有异常重要的作用，$R_X$定义如下：
	\[ L = \begin{pmatrix} L_1 \\ L_2 \end{pmatrix} \]
	1. $R_L$：$SU(2)$ 弱同位旋二重态的新轻子 $L$，设其超荷为 $Y = +3,$
	经过漫长的探索，我们终于建立起了对（有限维）线性空间的基本认识，从一开始的抽象定义到对基、维数的剖析，眼前的迷雾在逐渐散去. 数学的学习就是这样一个由祛魅的过程.
	如果对于 \(V\) 中两个一般的子空间，对于它们的和空间的维数，也有一般的结果，它与集合中的容斥原理类
	维数给了我们衡量有限维线性空间与其子空间“大小”的一个偏序关系，根据上面的讨论也很容易看出，不存在与\(V\)维数相等的，真包含于\(V\)的子空间.
	上面的过程实际上在暗示补空间是不唯一的，实际上考虑$\mathbb{R}^3$，很容易得到例子（考虑两个向量张成的平面与平面外的向量）.
	1. $\forall u, v \in V, f(u + v)=f(u)+f(v).$ 2. $\forall\lambda\in\mathbb{F}, v\in V, f(\lambda v)=\lambda f(v).$
	1. $\forall u, v \in V, f(u + v)=f(u)+f(v).$ 2. $\forall\lambda\in\mathbb{F}, v\in V, f(\lambda v)=\lambda f(v).$
	有了线性空间，可以定义线性空间之间的一种特殊映射：线性映射. 简单来说，线性映射就是“保加法与数乘”的映射.
	上面的过程实际上还反映出一个结果：若\(V = W \oplus W'\)，那么\(\dim V = \dim W + \dim W'\). 重复使用这个结论，我们可以得到如下命题.
	考虑另一方面，假设给出了$w$的一组基$w_1,\cdots ,w_m$，只要添加$n - m$个处于$V\backslash W$中的线性无关向量，即可得到$V$中的一组基（根据定义）.
	因此给定\(V\)的子空间\(W\)，我们可以找到\(V\)的另一个子空间，使得\(V\)可以表示为两个子空间直和的形式，由此自然引出了补空间的概念.
	1.2 线性映射
	均匀分布随机变量在蒙特卡洛方法中是非常基本而重要的。原则上，任意分布的随机数序列均可通过对$[0,1]$区间上均匀分布的随机数序列的改造来得到。
	均匀分布是最简单的连续型随机变量分布。顾名思义，\([a,b]\) 区间上均匀分布随机变量在任意等长度子区间内取值的概率相同，因此，在 \([a,b]\) 区间内分布密度函数为常数。
	几个主要数字特征分别为
	\[\mu = \frac{a + b}{2} \quad \sigma^{2} = \frac{(b - a)^{2}}{12} \quad \gamma_{1} = 0 \quad \gamma_{2} = -1.2\]
	显然，$dN/dt$ 比 $N$ 更易于测量。
	\[ f(t; \lambda)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda t} & t\geqslant0\\ 0 & t<0 \end{cases} \]
	1.2.2 均匀分布
	\[ \because\quad \frac{1}{N} \frac{dN}{dt} = -\lambda = \mathrm{const.} \qquad \therefore\quad \frac{N(t_1)}{N(t_2)} = \frac{\frac{dN(t_1)}{dt}}{\frac{dN(t_2)}{dt}} \]
	\(\lambda = \frac{1}{t_{2}-t_{1}}\mathrm{Ln}\left[\frac{dN(t_{1})}{dt}\Bigg/ \frac{dN(t_{2})}{dt}\right]\)
	\[ N(t)=N_{0}e^{-\lambda t} \quad \frac{1}{N}\frac{dN}{dt}=-\lambda \]
	记\(t\)时刻不稳定粒子数目为\(N(t)\)。若初始时刻粒子数目足够大，则终了与初始时刻不稳定粒子数目之比为
	\(\lambda = \frac{1}{t_{2} - t_{1}} \mathrm{Ln} \frac{N(t_{1})}{N(t_{2})}\)
	\[ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{b - a} & 0\leqslant x\leqslant b\\ 0 & \text{else} \end{cases} \]
	\frac{N(t_2)}{N(t_1)} \simeq P(T > t_2 - t_1) = e^{-\lambda(t_2 - t_1)}
	\[P(T > t)=\int^{t} f(\tau, \lambda)d\tau = 1 - F(t;\lambda)=e^{-\lambda t}\]
	\(\mu = \frac{1}{\lambda}\) \(\sigma^{2} = \frac{1}{\lambda^{2}}\) \(\gamma_{1} = 2\) \(\gamma_{2} = 6\)
	1.2.3 指数衰减分布
	下面考虑其与态矢量的关系。若 \(\|\Psi\rangle\) 所在态矢量空间 \(\mathcal{H}\) 中存在某力学量 \(F\)，使得其算符 \(\hat{F}\) 对应的本征矢量 \(\|f_i\rangle\) 构成一组单位正交基，则此基下的表示称为选择了 \(F\) 表象：
	习惯上把 \(\|\Psi\rangle\) 的坐标 \(\langle f_i\|\Psi\rangle\) 称为 \(F\) 表象中的波函数。若 \(\hat{F}\) 本征值有限或可数，常把波函数表示为列矩阵，但连续时就成为了通常的函数，如考虑一维，位置算符的本征值是一切 \(r \in \mathbb{R}\)，于是
	$\mathrm{tr}(\hat{\rho}^{2}) = \mathrm{tr}(\hat{\rho}) = 1$
	三表象理论
	\(\hat{\rho} = \|\Psi\rangle\langle\Psi\|\)
	量子力学教材中，常引入三维空间中平方可积的波函数$\Psi(\mathbf{r})$，即满足
	\[\Psi(r)=\langle r\|\Psi\rangle\]
	对纯态 \(\|\Psi\rangle = \sum_{i} c_{i}\|a_{i}\rangle\) 与对应的力学量算符 \(\hat{A}\)，由于 \(\|\Psi\rangle\) 坍缩到 \(\|a_{i}\rangle\) 的概率为 \(\|c_{i}\|^{2}\)，其系综平均值为
	在给定表象 (以坐标表象为例) 后，由于基的性质，即知线性组合 \(a\|\Psi\rangle + b\|\Phi\rangle\) 的表象为 \(a\Psi(r)+b\Phi(r)\)，而由完备与正交性可知内积
	若量子力学体系可以用一个态矢量描写，则称其为纯态 [纯态可能是叠加态]。纯态可以用归一化的态矢量 $\|\Psi\rangle$ [满足 $\langle\Psi\|\Psi\rangle = 1$] 表示，对应可以定义算符
	* 其是厄米算符，事实上是纯态上的投影算符，仍有迹为 1。其有非简并本征值 1，本征矢量 \(\|\Psi\rangle\)；简并本征值 0，对应本征矢量为与 \(\|\Psi\rangle\) 正交的全部矢量。
	\(\langle\hat{A}\rangle_{\Psi}=\sum_{i} a_{i}\|c_{i}\|^{2}=\sum_{i} a_{i}\|\langle a_{i}\|\Psi\rangle\|^{2}\)
	\(\int_{V} \|\Psi(\mathbf{r})\|^{2} \mathrm{d}^{3}x < \infty\)
	$\langle\Psi\|\Phi\rangle=\sum_{r} \Psi(r)^{} \Phi(r)\langle r\|r\rangle=\int \Psi(r)^{} \Phi(r) \mathrm{d} r$
	若将 \(\|\Psi\rangle\langle\Psi\|\) 合并，即得其为 \(\mathrm{tr}(\hat{\rho}\hat{A})\)；若乘法交换后将 \(\sum_{i}\|a_{i}\rangle\langle a_{i}\|\) 合并，即得其为 \(\langle\Psi\|\hat{A}\|\Psi\rangle\)。 * 维数有限时迹可交换，也可等价写为 \(\mathrm{tr}(\hat{A}\hat{\rho})\)。
	$\S 3.1$ 表象理论基础
	\(\|\Psi\rangle = \sum_{i} \langle f_i \| \Psi \rangle \|f_i\rangle\)
	$\langle\hat{A}\rangle_{\Psi}=\sum_{i}\langle a_{i}\|\Psi\rangle\langle\Psi\|\hat{A}\|a_{i}\rangle$
	第二十章相互作用的微扰处理 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 273
	19.3 Lorenz规范下电磁场的量子化 \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots 263
	为了解决负能量困难, Dirac 提出真空 (vacuum) 是所有 \(E < 0\) 的态都被填满而所有 \(E > 0\) 的态都为空的状态 [4]。这样一来, \(Pauli\) 不相容原理会阻止一个 \(E > 0\) 的电子跃迁到 \(E < 0\) 的态, 因而激发态电子的能量总是正的。如果负能海中缺失一个带有电荷 \(-e\) 和能量 \(-\|E\|\) 的电子, 即产生一个空穴 (hole) , 则空穴的行为等价于一个带有电荷 \(+e\) 和能量 \(+\|E\|\) 的 “反粒子 (antiparticle)”, 称为正电子 (positron)。正电子在 1932 年被 Carl Anderson 发现 [5]。
	但是, Dirac 的空穴理论仍然面临一些困难, 比如, 为何没有观测到无穷多个负能电子具有的无穷大电荷密度所引起的电场? 另一方面, Dirac 方程一开始作为描述单个粒子波函数的方程提出来, 但 Dirac 的解释却包含了无穷多个粒子。而且, 像光子和 $\alpha$ 粒子这样具有整数自旋的玻色子, 不满足 Pauli 不相容原理, 空穴理论无法解决它们的负能量困难。此外, Dirac 方程只能描述自旋 $1/2$ 的粒子, 不能解决整数自旋粒子的负概率困难。
	\(E = \pm\sqrt{\|\mathbf{p}\|^{2}c^{2} + m^{2}c^{4}}\)
	1.1 量子场论的必要性
	其中 \(\mathbf{p}\) 为粒子动量, \(m\) 为粒子静止质量。可见, 能量 \(E\) 可以为正, 取值范围为 \(mc^{2} \leq E < \infty\);也可以为负, 取值范围为 \(-\infty < E \leq -mc^{2}\)。即使粒子的初始能量为正, 也可以通过跃迁到负能态而改变能量的符号。能量可取负无穷大意味着稳定的基态不存在, 这在物理上是不可接受的, 称为负能量困难。另一方面, 通过 Klein-Gordon 方程构造符合概率守恒的连续性方程, 则应该将粒子在空间中的概率密度定义为
	Klein-Gordon 方程出现负概率困难的根源在于方程中含有波函数对时间的二阶导数。Paul Dirac 于 1928 年提出的 \(\text{Dirac}\) 方程 \([3]\) 克服了这个问题，它只包含对时间的一阶导数，且具有 Lorentz 协变性。\(\text{Dirac}\) 方程描述自旋（spin）为 \(1/2\) 的粒子，一开始是用来描述电子（electron）的。\(\text{Dirac}\) 方程能够保证概率密度正定和概率守恒。但是，负能量困难仍然存在。
	在量子力学的基础课程中, 量子化的对象常常是由粒子组成的动力学系统。如果对相对论性的粒子作类似的量子化, 会遇到一些困难。1926 年, Klein-Gordon 方程 [1, 2] 被提出来描述单个粒子的相对论性运动, 它是第一个相对论性的波函数方程, 形式为
	量子力学是描述微观世界的物理理论。然而, 非相对论性量子力学的适用范围有限, 不能正确地描述伴随着高速粒子产生和湮灭的相对论性系统。为了合理而自洽地描述这样的系统, 需要用到量子场论, 它结合了量子力学、相对性原理和场 (field) 的概念。
	然而，这样定义的$\rho$不总是正的，有可能在一些空间区域中取负值，不符合物理上对概率密度的要求。这就是负概率困难。
	\(-\hbar^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\Psi(\mathbf{x}, t)=(-\hbar^{2}c^{2}\nabla^{2}+m^{2}c^{4})\Psi(\mathbf{x}, t)\)
	\(\rho = \frac{\mathrm{i}\hbar}{2mc^{2}} \left( \Psi^{}\frac{\partial \Psi}{\partial t} - \frac{\partial \Psi^{}}{\partial t} \Psi \right).\)
	其中 $\hbar \equiv h/(2\pi)$ 是约化 Planck 常数, $c$ 是真空中的光速。它给出的自由粒子能量是
	9. 在迈克尔逊干涉仪中，由于光源总是有线宽的，条纹的反衬度会有影响。对两条差距很小且为$\Delta\lambda$的光，两束光的波长约为$\lambda$，则每经过：
	10. 迈克尔逊干涉仪等厚干涉时，$M_1$镜每移动$\lambda/2$，视场中有一个条纹经过。由此可以精密测长，精度为$\lambda/20$。条纹反衬度限制了干涉测长的量程：$l_M \leq 0.5\Delta L_M = \lambda^2/2\Delta\lambda$。
	根条纹移动，两套条纹的峰与峰、谷与谷重新重合一次，反衬度完全恢复。反衬度空间周期为\(2N_{1}\lambda\)。
	$N_{1}=\frac{\lambda}{2\Delta\lambda}$
	\(\Delta L = \frac{\lambda^{2}}{\|\Delta\lambda\|}\)
	此外，由于线宽影响，随着$M_1$与$M_2'$变远，条纹反衬度会单调下降。$\Delta L$由$0$增加至最大光程差：
	\textcircled{1} 加法，平行四边形法则或三角形法则。( 图 1-9 )
	满足矢量运算法则的物理量才是矢量。\underline{电流}虽然有大小也有方向，但不符合平行四边形法则，是标量。
	例如，做功，\(W = F\cdot s\cos\theta\)。
	$\ast$ \textcircled{6} 叉乘( 外积 )，矢量$\times$矢量 = 矢量。
	\textcircled{2}减法,结果指向被减矢量。(图1-10)
	投影长度
	\textcircled{4}数乘，标量$\cdot$矢量 = 矢量。( 图1-12 ) $k\vec{a}=\vec{b}$，矢量方向不变，大小变为$k$倍。
	\textcircled{5}点乘( 内积 ),矢量$\cdot$矢量=标量。( 图1-13 ) $\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta$
	衰变：\(_{92}^{238}U \rightarrow _{90}^{234}Th + _{2}^{4}He\)（\(\alpha\)衰变） \(_{90}^{234}Th \rightarrow _{91}^{234}Pa + _{-1}^{0}e\)（\(\beta\)衰变） \(_{7}^{14}N + _{2}^{4}He \rightarrow _{8}^{17}O + _{1}^{1}H\)（人工核反应；发现质子） \(_{13}^{27}Al + _{2}^{4}He \rightarrow _{15}^{30}P + _{0}^{1}n\)，\(_{15}^{30}P \rightarrow _{14}^{30}Si + _{1}^{0}e\)（获得人工放射性同位素） \(_{4}^{9}Be + _{2}^{4}He \rightarrow _{6}^{12}C + _{0}^{1}n\)（发现中子） \(_{92}^{235}U + _{0}^{1}n \rightarrow _{38}^{90}Sr + _{54}^{136}Xe + 10_{0}^{1}n\)（裂变） \(_{1}^{2}H + _{1}^{3}H \rightarrow _{2}^{4}He + _{0}^{1}n\)（聚变）
	核能：$\Delta E = \Delta m c^{2}$（$\Delta m$，质量亏损）
	4、爱因斯坦质能方程：\(E = mc^{2}\)
	衰变：\(_{92}^{238}U\rightarrow_{90}^{234}Th + _{2}^{4}He\)（α衰变）
	4、爱因斯坦质能方程：\(E = mc^{2}\) 核能：\(\Delta E = \Delta mc^{2}\)（\(\Delta m\)，质量亏损）
	- 可以很容易计算两个随机变量和\(X = X_1 + X_2\)的密度函数：
	引入特征函数有何好处？

（4）一般来说，函数运算的位数应根据误差分析来确定．在物理实验中，为了简便和统一起见，对常用的对数函数、指数函数和三角函数作如下规定：对数函数运算后的尾数取得与真数的位数相同；指数函数运算后的有效数字的位数可与指数的小数点后的位数相同（包括紧接小数点后的零）；三角函数的取位随弧度的有效数字而定；

在有效数字运算过程中，为了不致因运算而引进“误差”或损失有效位数，影响测量结果的精度，统一规定有效数字的近似运算规则如下：

4. 实验数据处理与作图要求

$\bullet$ $\{hkl\}$: For planes of equivalent symmetry. $(100)(010)(001)(\bar{1}00)(0\bar{1}0)(00\bar{1})$

$\bullet\ (hkl): \text{For a plane that intercepts the x-axis on the negative side of the origin.}(\bar{1}00)$

密勒指数

晶面:

$[hkl]: \text{For a crystal direction}$

\item $\langle hkl\rangle$: For a full set of equivalent directions. $[100][010][001]\ [\bar{1}00][0\bar{1}0][00\bar{1}][\bar{1}00]$

Principle of Semiconductor Devices

• 假设 $ \mathrm{H} $ 原子在获得一定能量后，电离为氢离子和电子，即

$\frac{n_{i}n_{e}}{n_{0}} = \frac{\pi_{i}\pi_{e}}{\pi_{0}}\frac{(2\pi m_{e}kT)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}}e^{-\frac{E_{i}}{kT}}$

- 当系统达到热平衡时，电离和复合两种相反的反应速度趋于一致，达到动态平衡。

- Saha 方程描述了温度与电离度（电离和复合达到平衡）的关系：

$H + (E_{i}) \longrightarrow H^{+} + e^{-}$

- 这里 $E_{i}$ 为电离能，是$13.6 \text{ eV}$。

五.（8分）$R_X$值测量在粒子物理中具有异常重要的作用，$R_X$定义如下：

\[ L = \begin{pmatrix} L_1 \\ L_2 \end{pmatrix} \]

1. $R_L$：$SU(2)$ 弱同位旋二重态的新轻子 $L$，设其超荷为 $Y = +3,$

经过漫长的探索，我们终于建立起了对（有限维）线性空间的基本认识，从一开始的抽象定义到对基、维数的剖析，眼前的迷雾在逐渐散去. 数学的学习就是这样一个由祛魅的过程.

如果对于 $V$ 中两个一般的子空间，对于它们的和空间的维数，也有一般的结果，它与集合中的容斥原理类

维数给了我们衡量有限维线性空间与其子空间“大小”的一个偏序关系，根据上面的讨论也很容易看出，不存在与$V$维数相等的，真包含于$V$的子空间.

上面的过程实际上在暗示补空间是不唯一的，实际上考虑$\mathbb{R}^3$，很容易得到例子（考虑两个向量张成的平面与平面外的向量）.

1. $\forall u, v \in V, f(u + v)=f(u)+f(v).$ 2. $\forall\lambda\in\mathbb{F}, v\in V, f(\lambda v)=\lambda f(v).$

有了线性空间，可以定义线性空间之间的一种特殊映射：线性映射. 简单来说，线性映射就是“保加法与数乘”的映射.

上面的过程实际上还反映出一个结果：若$V = W \oplus W'$，那么$\dim V = \dim W + \dim W'$. 重复使用这个结论，我们可以得到如下命题.

考虑另一方面，假设给出了$w$的一组基$w_1,\cdots ,w_m$，只要添加$n - m$个处于$V\backslash W$中的线性无关向量，即可得到$V$中的一组基（根据定义）.

因此给定$V$的子空间$W$，我们可以找到$V$的另一个子空间，使得$V$可以表示为两个子空间直和的形式，由此自然引出了补空间的概念.

1.2 线性映射

均匀分布随机变量在蒙特卡洛方法中是非常基本而重要的。原则上，任意分布的随机数序列均可通过对$[0,1]$区间上均匀分布的随机数序列的改造来得到。

均匀分布是最简单的连续型随机变量分布。顾名思义，$[a,b]$ 区间上均匀分布随机变量在任意等长度子区间内取值的概率相同，因此，在 $[a,b]$ 区间内分布密度函数为常数。

几个主要数字特征分别为

\[\mu = \frac{a + b}{2} \quad \sigma^{2} = \frac{(b - a)^{2}}{12} \quad \gamma_{1} = 0 \quad \gamma_{2} = -1.2\]

显然，$dN/dt$ 比 $N$ 更易于测量。

\[ f(t; \lambda)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda t} & t\geqslant0\\ 0 & t<0 \end{cases} \]

1.2.2 均匀分布

\[ \because\quad \frac{1}{N} \frac{dN}{dt} = -\lambda = \mathrm{const.} \qquad \therefore\quad \frac{N(t_1)}{N(t_2)} = \frac{\frac{dN(t_1)}{dt}}{\frac{dN(t_2)}{dt}} \]

$\lambda = \frac{1}{t_{2}-t_{1}}\mathrm{Ln}\left[\frac{dN(t_{1})}{dt}\Bigg/ \frac{dN(t_{2})}{dt}\right]$

\[ N(t)=N_{0}e^{-\lambda t} \quad \frac{1}{N}\frac{dN}{dt}=-\lambda \]

记$t$时刻不稳定粒子数目为$N(t)$。若初始时刻粒子数目足够大，则终了与初始时刻不稳定粒子数目之比为

$\lambda = \frac{1}{t_{2} - t_{1}} \mathrm{Ln} \frac{N(t_{1})}{N(t_{2})}$

\[ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{b - a} & 0\leqslant x\leqslant b\\ 0 & \text{else} \end{cases} \]

\frac{N(t_2)}{N(t_1)} \simeq P(T > t_2 - t_1) = e^{-\lambda(t_2 - t_1)}

\[P(T > t)=\int^{t} f(\tau, \lambda)d\tau = 1 - F(t;\lambda)=e^{-\lambda t}\]

$\mu = \frac{1}{\lambda}$ $\sigma^{2} = \frac{1}{\lambda^{2}}$ $\gamma_{1} = 2$ $\gamma_{2} = 6$

1.2.3 指数衰减分布

下面考虑其与态矢量的关系。若 $|\Psi\rangle$ 所在态矢量空间 $\mathcal{H}$ 中存在某力学量 $F$，使得其算符 $\hat{F}$ 对应的本征矢量 $|f_i\rangle$ 构成一组单位正交基，则此基下的表示称为选择了 $F$ 表象：

习惯上把 $|\Psi\rangle$ 的坐标 $\langle f_i|\Psi\rangle$ 称为 $F$ 表象中的波函数。若 $\hat{F}$ 本征值有限或可数，常把波函数表示为列矩阵，但连续时就成为了通常的函数，如考虑一维，位置算符的本征值是一切 $r \in \mathbb{R}$，于是

$\mathrm{tr}(\hat{\rho}^{2}) = \mathrm{tr}(\hat{\rho}) = 1$

三表象理论

$\hat{\rho} = |\Psi\rangle\langle\Psi|$

量子力学教材中，常引入三维空间中平方可积的波函数$\Psi(\mathbf{r})$，即满足

\[\Psi(r)=\langle r|\Psi\rangle\]

对纯态 $|\Psi\rangle = \sum_{i} c_{i}|a_{i}\rangle$ 与对应的力学量算符 $\hat{A}$，由于 $|\Psi\rangle$ 坍缩到 $|a_{i}\rangle$ 的概率为 $|c_{i}|^{2}$，其系综平均值为

在给定表象 (以坐标表象为例) 后，由于基的性质，即知线性组合 $a|\Psi\rangle + b|\Phi\rangle$ 的表象为 $a\Psi(r)+b\Phi(r)$，而由完备与正交性可知内积

若量子力学体系可以用一个态矢量描写，则称其为纯态 [纯态可能是叠加态]。纯态可以用归一化的态矢量 $|\Psi\rangle$ [满足 $\langle\Psi|\Psi\rangle = 1$] 表示，对应可以定义算符

* 其是厄米算符，事实上是纯态上的投影算符，仍有迹为 1。其有非简并本征值 1，本征矢量 $|\Psi\rangle$；简并本征值 0，对应本征矢量为与 $|\Psi\rangle$ 正交的全部矢量。

$\langle\hat{A}\rangle_{\Psi}=\sum_{i} a_{i}|c_{i}|^{2}=\sum_{i} a_{i}|\langle a_{i}|\Psi\rangle|^{2}$

$\int_{V} |\Psi(\mathbf{r})|^{2} \mathrm{d}^{3}x < \infty$

$\langle\Psi|\Phi\rangle=\sum_{r} \Psi(r)^{*} \Phi(r)\langle r|r\rangle=\int \Psi(r)^{*} \Phi(r) \mathrm{d} r$

若将 $|\Psi\rangle\langle\Psi|$ 合并，即得其为 $\mathrm{tr}(\hat{\rho}\hat{A})$；若乘法交换后将 $\sum_{i}|a_{i}\rangle\langle a_{i}|$ 合并，即得其为 $\langle\Psi|\hat{A}|\Psi\rangle$。 * 维数有限时迹可交换，也可等价写为 $\mathrm{tr}(\hat{A}\hat{\rho})$。

$\S 3.1$ 表象理论基础

$|\Psi\rangle = \sum_{i} \langle f_i | \Psi \rangle |f_i\rangle$

$\langle\hat{A}\rangle_{\Psi}=\sum_{i}\langle a_{i}|\Psi\rangle\langle\Psi|\hat{A}|a_{i}\rangle$

第二十章相互作用的微扰处理 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 273

19.3 Lorenz规范下电磁场的量子化 \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots 263

为了解决负能量困难, Dirac 提出真空 (vacuum) 是所有 $E < 0$ 的态都被填满而所有 $E > 0$ 的态都为空的状态 [4]。这样一来, $Pauli$ 不相容原理会阻止一个 $E > 0$ 的电子跃迁到 $E < 0$ 的态, 因而激发态电子的能量总是正的。如果负能海中缺失一个带有电荷 $-e$ 和能量 $-|E|$ 的电子, 即产生一个空穴 (hole) , 则空穴的行为等价于一个带有电荷 $+e$ 和能量 $+|E|$ 的 “反粒子 (antiparticle)”, 称为正电子 (positron)。正电子在 1932 年被 Carl Anderson 发现 [5]。

但是, Dirac 的空穴理论仍然面临一些困难, 比如, 为何没有观测到无穷多个负能电子具有的无穷大电荷密度所引起的电场? 另一方面, Dirac 方程一开始作为描述单个粒子波函数的方程提出来, 但 Dirac 的解释却包含了无穷多个粒子。而且, 像光子和 $\alpha$ 粒子这样具有整数自旋的玻色子, 不满足 Pauli 不相容原理, 空穴理论无法解决它们的负能量困难。此外, Dirac 方程只能描述自旋 $1/2$ 的粒子, 不能解决整数自旋粒子的负概率困难。

$E = \pm\sqrt{|\mathbf{p}|^{2}c^{2} + m^{2}c^{4}}$

1.1 量子场论的必要性

其中 $\mathbf{p}$ 为粒子动量, $m$ 为粒子静止质量。可见, 能量 $E$ 可以为正, 取值范围为 $mc^{2} \leq E < \infty$;也可以为负, 取值范围为 $-\infty < E \leq -mc^{2}$。即使粒子的初始能量为正, 也可以通过跃迁到负能态而改变能量的符号。能量可取负无穷大意味着稳定的基态不存在, 这在物理上是不可接受的, 称为负能量困难。另一方面, 通过 Klein-Gordon 方程构造符合概率守恒的连续性方程, 则应该将粒子在空间中的概率密度定义为

Klein-Gordon 方程出现负概率困难的根源在于方程中含有波函数对时间的二阶导数。Paul Dirac 于 1928 年提出的 $\text{Dirac}$ 方程 $[3]$ 克服了这个问题，它只包含对时间的一阶导数，且具有 Lorentz 协变性。$\text{Dirac}$ 方程描述自旋（spin）为 $1/2$ 的粒子，一开始是用来描述电子（electron）的。$\text{Dirac}$ 方程能够保证概率密度正定和概率守恒。但是，负能量困难仍然存在。

在量子力学的基础课程中, 量子化的对象常常是由粒子组成的动力学系统。如果对相对论性的粒子作类似的量子化, 会遇到一些困难。1926 年, Klein-Gordon 方程 [1, 2] 被提出来描述单个粒子的相对论性运动, 它是第一个相对论性的波函数方程, 形式为

量子力学是描述微观世界的物理理论。然而, 非相对论性量子力学的适用范围有限, 不能正确地描述伴随着高速粒子产生和湮灭的相对论性系统。为了合理而自洽地描述这样的系统, 需要用到量子场论, 它结合了量子力学、相对性原理和场 (field) 的概念。

然而，这样定义的$\rho$不总是正的，有可能在一些空间区域中取负值，不符合物理上对概率密度的要求。这就是负概率困难。

$-\hbar^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\Psi(\mathbf{x}, t)=(-\hbar^{2}c^{2}\nabla^{2}+m^{2}c^{4})\Psi(\mathbf{x}, t)$

$\rho = \frac{\mathrm{i}\hbar}{2mc^{2}} \left( \Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial t} - \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t} \Psi \right).$

其中 $\hbar \equiv h/(2\pi)$ 是约化 Planck 常数, $c$ 是真空中的光速。它给出的自由粒子能量是

9. 在迈克尔逊干涉仪中，由于光源总是有线宽的，条纹的反衬度会有影响。对两条差距很小且为$\Delta\lambda$的光，两束光的波长约为$\lambda$，则每经过：

10. 迈克尔逊干涉仪等厚干涉时，$M_1$镜每移动$\lambda/2$，视场中有一个条纹经过。由此可以精密测长，精度为$\lambda/20$。条纹反衬度限制了干涉测长的量程：$l_M \leq 0.5\Delta L_M = \lambda^2/2\Delta\lambda$。

根条纹移动，两套条纹的峰与峰、谷与谷重新重合一次，反衬度完全恢复。反衬度空间周期为$2N_{1}\lambda$。

$N_{1}=\frac{\lambda}{2\Delta\lambda}$

$\Delta L = \frac{\lambda^{2}}{|\Delta\lambda|}$

此外，由于线宽影响，随着$M_1$与$M_2'$变远，条纹反衬度会单调下降。$\Delta L$由$0$增加至最大光程差：

\textcircled{1} 加法，平行四边形法则或三角形法则。( 图 1-9 )

满足矢量运算法则的物理量才是矢量。\underline{电流}虽然有大小也有方向，但不符合平行四边形法则，是标量。

例如，做功，$W = F\cdot s\cos\theta$。

$\ast$ \textcircled{6} 叉乘( 外积 )，矢量$\times$矢量 = 矢量。

\textcircled{2}减法,结果指向被减矢量。(图1-10)

投影长度

\textcircled{4}数乘，标量$\cdot$矢量 = 矢量。( 图1-12 ) $k\vec{a}=\vec{b}$，矢量方向不变，大小变为$k$倍。

\textcircled{5}点乘( 内积 ),矢量$\cdot$矢量=标量。( 图1-13 ) $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

衰变：$_{92}^{238}U \rightarrow _{90}^{234}Th + _{2}^{4}He$（$\alpha$衰变） $_{90}^{234}Th \rightarrow _{91}^{234}Pa + _{-1}^{0}e$（$\beta$衰变） $_{7}^{14}N + _{2}^{4}He \rightarrow _{8}^{17}O + _{1}^{1}H$（人工核反应；发现质子） $_{13}^{27}Al + _{2}^{4}He \rightarrow _{15}^{30}P + _{0}^{1}n$，$_{15}^{30}P \rightarrow _{14}^{30}Si + _{1}^{0}e$（获得人工放射性同位素） $_{4}^{9}Be + _{2}^{4}He \rightarrow _{6}^{12}C + _{0}^{1}n$（发现中子） $_{92}^{235}U + _{0}^{1}n \rightarrow _{38}^{90}Sr + _{54}^{136}Xe + 10_{0}^{1}n$（裂变） $_{1}^{2}H + _{1}^{3}H \rightarrow _{2}^{4}He + _{0}^{1}n$（聚变）

核能：$\Delta E = \Delta m c^{2}$（$\Delta m$，质量亏损）

4、爱因斯坦质能方程：$E = mc^{2}$

衰变：$_{92}^{238}U\rightarrow_{90}^{234}Th + _{2}^{4}He$（α衰变）

4、爱因斯坦质能方程：$E = mc^{2}$ 核能：$\Delta E = \Delta mc^{2}$（$\Delta m$，质量亏损）

- 可以很容易计算两个随机变量和$X = X_1 + X_2$的密度函数：

引入特征函数有何好处？