wzmmmm/phycics_dataset · Datasets at Hugging Face

image imagewidth (px) 44 2.33k	text stringlengths 1 14.3k
	\[ \begin{cases} \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = 0 & 0 < x < a,0 < y < b \\ \left.u\right\|_{x = 0}=0,\quad\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\|_{x = a}=0 & 0\leq y\leq b \\ \left.u\right\|_{y = 0}=f(x),\quad\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right\|_{y = b}=0 & 0\leq x\leq a \end{cases} \]
	\(\int_{0}^{l} X_{n}^{*}(x)X_{m}(x)\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\delta_{nm}\)
	由于偏微分方程和边界条件都是齐次的，我们就把全部无穷多个特解叠加起来得到一般解:
	\[ u_{n}(t)=\left(C_{n} \sin \frac{n \pi}{l} a t+D_{n} \cos \frac{n \pi}{l} a t\right) \sin \frac{n \pi}{l} x \quad n=1,2,3, \cdots \]
	\[T_n(t)=C_n\sin\frac{n\pi}{l}at + D_n\cos\frac{n\pi}{l}at\]
	\[ T''(t) + \lambda a^{2}T(t) = 0, \quad \lambda_{n} = \left(\frac{n\pi}{1}\right)^{2}, \quad n = 1,2,3,\cdots \]
	\(\lambda_{n}=\left(\frac{n\pi}{l}\right)^{2}\quad n = 1,2,3,\cdots\)
	微分方程的通解为 \(X(x)=A\sin\sqrt{\lambda}x + B\cos\sqrt{\lambda}x\) 边界条件 \(\Rightarrow B = 0\quad A\sin\sqrt{\lambda}l = 0\Rightarrow\sqrt{\lambda}=n\pi\) 本征值
	\[ T''(t)+\lambda a^{2}T(t)=0,\quad \lambda_{n}=\left(\frac{n\pi}{1}\right)^{2},\quad n = 1,2,3,\cdots \]
	\(\sum_{n = 1}^{\infty} D_{n} \sin \frac{n \pi}{l} x=\phi(x) \quad \sum_{n = 1}^{\infty} C_{n} \frac{n \pi a}{1} \sin \frac{n \pi}{l} x=\psi(x)\)
	\[ u\|_{t = 0}=\phi(x)\quad\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right\|_{t = 0}=\psi(x) \]
	\[u(t)=\sum_{n = 1}^{\infty}\left(C_{n} \sin \frac{n\pi}{l}at+D_{n} \cos \frac{n\pi}{l}at\right)\sin \frac{n\pi}{l}x\quad n = 1,2,3,\cdots\]
	\[ D_{n}=\frac{2}{l} \int_{0}^{l} \phi(x) \sin \frac{n \pi}{l} x \mathrm{~d} x \quad C_{n}=\frac{2}{n \pi a} \int_{0}^{l} \psi(x) \sin \frac{n \pi}{l} x \mathrm{~d} x \]
	\[ X_{n}(x)=\sin\frac{n\pi}{l}x\quad n = 1,2,3,\cdots \]
	这类题目从 2019 春期末开始，近两年都有考察. 主要考察特殊函数的基本概念、性质以及递推公式的应用，并且考察积分求解方法，如换元法、分部积分法等. 对应作业第三章第 9、22、23 题.
	\[ \begin{cases} u_{tt} = u_{xx},(t > 0,0 < x < 1)\\ u(t,0) = u(t,1),u_x(t,0) = u_x(t,1)\\ u(0,x) = \sin 2\pi x,u_t(0,x) = 2\pi \cos 2\pi x \end{cases} \]
	的分离变量解 \(u = T(t)X(x)\).
	1.4.12 2020 春数理方程 B 毕业班期末第三题
	1. 求周期边界条件下
	1.5 特殊函数的积分求解 (性质、递推公式的应用)
	1.4.9 2017 春数理方程 B 期末第五题
	1.4.11 2019春数理方程B期末第五题
	$1.5\ \ 特殊函数的积分求解 (性质、递推公式的应用)$
	\[ \begin{cases} \Delta_{3}u = 0, (x^{2} + y^{2} < 1, 0 < z < 1)\\ \left.u\right\|_{x^{2}+y^{2}=1} = 0\\ \left.u\right\|_{z = 0} = 0, \left.u\right\|_{z = 1} = 1 - (x^{2} + y^{2}) \end{cases} \]
	\[ \begin{cases} u_{tt} = u_{xx}, (0 < x < 1, t > 0) \\ \left.u\right\|_{x = 0} = \left.u\right\|_{x = 1} = 1 \\ \left.u\right\|_{t = 0} = 0, \left.u_t\right\|_{t = 0} = 0 \end{cases} \]
	\[ \begin{cases} u_{tt} = u_{xx}, (t > 0, 0 < x < 1) \\ u(t, 0) = u(t, 1), u_x(t, 0) = u_x(t, 1) \end{cases} \]
	\[\begin{cases} u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=z, (x^{2}+y^{2}+z^{2}<1)\\ \left.u\right\|_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}=0 \end{cases}\]
	1.4.10 2019 春数理方程 B 期末第四题
	求解如下泊松方程的边值问题:
	求解一维有界弦的振动问题
	\begin{enumerate} \item[10.6.1] 基本现象\dotfill 345 \item[10.6.2] 光折变效应的机制\dotfill 347 \item[10.6.3] 光折变效应的可能应用前景\dotfill 348 \end{enumerate}
	\begin{enumerate} \item[10.5.1] 声光效应的基本概念 \dotfill 338 \item[10.5.2] 声光衍射的类型 \dotfill 340 \item[10.5.3] 声光器件的品质因素 \dotfill 344 \end{enumerate}
	\begin{enumerate} \item[10.4.1] 弹光效应的机理 \dotfill 333 \item[10.4.2] 弹光系数（压光系数） \dotfill 333 \item[10.4.3] 弹光效应对晶体光学性质的影响 \dotfill 334 \end{enumerate}
	\begin{enumerate} \item 10.7.1 外界作用影响晶体光学性质的对称性 \dotfill 349 \item 10.7.2 电光效应和弹光效应的相互关系 \dotfill 350 \item 10.7.3 热力学的讨论 \dotfill 352 \item 10.7.4 外界作用下晶体其他效应与光学性质变化的相似性 \dotfill 353 \end{enumerate} 习题\dotfill 354 参考文献\dotfill 355
	\begin{enumerate} \item[11.2.1] 晶体的旋声现象 \dotfill 370 \item[11.2.2] 弹性进度系数张量的空间色散 \dotfill 371 \item[11.2.3] 旋声张量及其对称性 \dotfill 372 \item[11.2.4] 旋声性与空间色散的关系 \dotfill 373 \end{enumerate}
	每秒$dV$内散射沿着$\vec{\Omega}(\theta, \phi)$方向单位立体角运动的中子数是：
	沿着 $\vec{\Omega}$ 方向散射的中子，实际能到达 $dA$的几率: $e^{-\Sigma_{t}\|l\|} \quad \Sigma_{a} \ll \Sigma_{s} \quad\longrightarrow\quad e^{-\Sigma_{s}\|l\|}$
	每秒自$dV$内散射出来沿着$\vec{\Omega}$方向未经碰撞能到达$dA$上的中子数是：
	\(\sum_{s} \phi(\vec{r'}) dV\)
	$dV = dldA\cos\theta 内, 每秒发生散射的中子数目为：$
	散射的中子数目为：
	$dV = dldA\cos\theta 内,每秒发生$
	即 $\widetilde{\mathcal{F}} = T(\mathcal{F})$ 有界，这在 $\mathbb{R}^n$ 中可得其全有界，因此存在 $\varepsilon/3$-网 $\widetilde{N}_{\varepsilon/3} = \{T\varphi_1, \cdots, T\varphi_m\}$，断言 $\{\varphi_1, \cdots, \varphi_m\}$ 是 $\mathcal{F}$ 的 $\varepsilon$ 网，这是因为对任意 $\varphi \in \mathcal{F}$，存在某个 $\varphi_i$ 使得 $\rho_n(T\varphi, T\varphi_i) < \varepsilon/3$，对任意 $x \in M$，存在 $x_r \in N_{\delta}$ 使得 $\rho(x, x_r) < \delta$，因此
	\(\vert\varphi(x) - \varphi_i(x)\vert \leq \vert\varphi(x) - \varphi(x_r)\vert + \vert\varphi(x_r) - \varphi_i(x_r)\vert + \vert\varphi_i(x_r) - \varphi_i(x)\vert\)
	\(\\|T\varphi\\|=\sum_{i = 1}^{n}\|\varphi(x_{i})\|\leqslant nR,\)
	$\leqslant \frac{2}{3} \varepsilon+\rho_{n}\left(T \varphi, T \varphi_{i}\right)$
	2. 对任意$\varepsilon > 0$，存在$M > 0$使得$\sup_{f\in\mathcal{F}}\int_{\|x\|>M}\|f\|^{p}dx < \varepsilon^{p}.$
	设 \(X\) 为向量空间，\(E\subset X\) 线性无关且 \(\mathrm{Span}(E)=X\)，则称 \(E\) 为 \(X\) 的一个 Hamel 基（或代数基），若 \(\|E\|\lt\infty\)，则记 \(\dim X = \|E\|\)，否则记 \(\dim X=\infty\).
	1.4 赋范向量空间
	则 $\mathcal{F}$ 有界说明 $\sup_{x\in M,\varphi\in\mathcal{F}}\|\varphi(x)\| = R < \infty$，故对任意 $\varphi \in \mathcal{F}$
	注 Hamel 基考虑了无穷集合的任意有限和，因此 \(e_n = (\delta_{in})\) 不是 \(\ell^2\) 的一个 Hamel 基.
	1.4.1 赋范空间
	从应用的角度来看，直流（DC）分析通常用于通信的静态功率和暂停时间。交流（AC）分析是用于通信稳定状态时的重要工具。此外，在信号的开始和停止时，时域反射仪（TDR）可以用来评估信号传输。通常，TDR和矢量网络分析仪（VNA）设备可以帮助我们评估性能；参见\underline{图8}。
	由于很难得到传输线和变压器的高精度模型，因此我们将两个端口的性能作为黑箱来研究。史密斯图和 S 参数可以帮助我们很好地解释通信的行为。
	\(\frac{V_{\text{reflected}}}{V_{\text{incident}}}=\frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1}=\beta\)
	4 评估的重要工具
	4.1 交流（AC）分析方法和 S 参数
	回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析
	\[\begin{cases} p_{nx}\Delta l = p_{xx}\Delta x + \tau_{yx}\Delta y\\ p_{ny}\Delta l = p_{yy}\Delta y + \tau_{xy}\Delta x \end{cases}\]
	\(\vec{n} = \left( \frac{\Delta x}{\Delta l} , \frac{\Delta y}{\Delta l} \right)\)
	取长方体流体元，表面力即代表应力 [下标第一个字母代表面的法线方向，指定面；第二个字母代表该面受力的方向]：
	由受力平衡 [质量力仍为小量] 可得
	此处$\delta_{ij}$当$i = j$时为 1，否则为 0；$\mu$代表动力学粘度；$\varepsilon_{ij}$为应变率矩阵的对应项。
	表面力：接触产生的作用力，代表外表面单位面积受力，即
	由此有应力矩阵 \(P = \begin{pmatrix} p_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & p_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & p_{zz} \end{pmatrix}\)。
	静止流体的应力状态：静止流体不能承受剪切应力，因此无论如何正交相似都是对角阵，只能为单位阵的倍数。又由于流体元只能承受压力、不能承受拉力，必然有 \(p_{xx} < 0\)，即应力矩阵为 \(P = -pI,p > 0\)。 * 对理想流体也满足此性质
	证明 \(\tau_{xy}=\tau_{yx}\)：为方便考虑二维情况 \(xy\) 平面，对原点的力矩为 [质量力与法向应力产生力矩为高阶小量，可忽略，左侧两倍是由于对称的两边产生相同的力矩]
	\((2\tau_{xy}\Delta y)\frac{\Delta x}{2}-(2\tau_{yx}\Delta x)\frac{\Delta y}{2}=I\dot{\varepsilon}\)
	2. 各向同性 [即应力与应变力关系无关坐标系选择]；
	1. 应力与应变速率成线性关系； 2. 各向同性 [即应力与应变力关系无关坐标系选择]； 3. 角变形率为 0 [静止时法向压力等于静压强]。
	定义平均压强 \(p = -\frac{1}{3}(p_{xx} + p_{yy} + p_{zz})\) [由于此处讨论的未必是平衡态系统，此压强与热力学中压强的一致性是难以证明的]，记应力矩阵 \(P = (p_{ij})\)，对牛顿流体有本构关系：
	这里 \(I\) 为转动惯量 \(\int r^{2}\mathrm{d}m\)，为 \((\Delta x)^{4}\) 阶小量 \([m\) 为二阶，\(r^{2}\) 也为二阶\(]\)，\(\varepsilon\) 为角速度。若 \(\tau_{xy} \neq \tau_{yx}\)，则 \(\dot{\varepsilon}\) 为 \(\frac{1}{(\Delta x)^{2}}\) 阶无穷大，不符合连续介质假设。
	\[p_{ij}=-\left(p + \frac{2}{3}\mu\nabla\cdot\vec{v}\right)\delta_{ij}+2\mu\varepsilon_{ij}\]
	\(\lim_{\delta A\rightarrow 0} \frac{\delta F_{s}}{\delta A}, F_{s} = \iint_{A} \vec{p}_{s} \mathrm{d}A\)
	\[p_{xx}=\lim_{\delta A \to 0} \frac{\delta F_{xx}}{\delta A},\tau_{xy}=\lim_{\delta A \to 0} \frac{\delta F_{xy}}{\delta A}\]
	若已知应力矩阵，求过该点某一法向为\(\vec{n}\)平面单位面积受力：仍考虑二维情况，在该点附近作直角三角形，直角边在坐标轴上，斜边法线方向为\(\vec{n}\)。设三边长\(\Delta x,\Delta y,\Delta l\)，根据三角函数知识有
	$\S3.3$ 牛顿流体
	热力学参量是宏观物理量，是微观物理量的总和或者平均，忽略了大量微观细节
	\[ \begin{align} U(T,V)&=U(T_0,V_0)+\int_{T_0}^{T} C_V \mathrm{d}T - Na^2\left(\frac{1}{V}-\frac{1}{V_0}\right)\\ S(T,V)&=S(T_0,V_0)+\int_{T_0}^{T} \frac{C_V}{T} \mathrm{d}T + Nk_B \ln\frac{V - Nb}{V_0 - Nb}\\ F(T,V)&=U(T,V)-TS(T,V) \end{align} \]
	$\left(\frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial \left(T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V - p\right)}{\partial T}\right)_V$
	计算得其为 0，因此范德瓦尔斯气体的 \(C_V\) 与 \(V\) 无关，亦可计算得
	其中 \(v = \frac{V}{n_m},\tilde{a} = N_A^2 a,\tilde{b} = N_A b\)，后在无歧义时仍记为 \(a,b\)，可计算出 \(\mu_{JT}\)，令其为 \(0\) 可解得
	$\S 2.2$ 范德瓦尔斯气体
	对理想气体，$\alpha_p = \frac{1}{T}$，于是 $\mu_{JT} = 0$。
	假设 \(V_1\) 体积 \(U_2\) 内能气体过多孔塞后体积、内能为 \(V_2,U_2\)，由外界体积功可知 \(U_2 - U_1 = p_1V_1 - p_2V_2\)，于是 \(H_1 = H_2\)，节流过程是等焓过程。
	* 令 \(p = 0\) 可以解得 \(C(T_1)=\frac{1}{3},C(T_2)=1\)，于是 \(T_2 = 9T_1\)，能利用节流过程降温的温区为 \([T_1,T_2]\)。实际操作：利用绝热膨胀将温度降至 \(T_2\) 以下，再通过节流降温。
	定义焦汤系数 $\mu_{JT} = \left( \frac{\partial T}{\partial p} \right)_H$，由于对 $\mathrm{d}H$ 坐标变换有：
	\(\mu_{JT}=\frac{1}{C_{p}}\left(T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}-V\right)=\frac{V}{C_{p}}(T\alpha_{p}-1)\)
	\[p = \frac{a}{b^{2}}(1 - C(T))(3C(T) - 1),C(T)=\sqrt{\frac{RbT}{2a}}\]
	性质：利用 \( \mathrm{d}U = C_V \mathrm{d}T + \left( T \left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)_V - p \right) \mathrm{d}V \) 可知
	* 令 \(p = 0\) 可以解得 \(C(T_1)=\frac{1}{3},C(T_2)=1\)，于是 \(T_2 = 9T_1\)，能利用节流过程降温的温区为 \([T_1,T_2]\)。实际操作：利用绝热膨胀将温度降至 \(T_2\) 以下，再通过节流降温。 * 考虑二阶维里展开 \(\frac{pV}{T}=R + \frac{B(T)}{T}p\)，此时可计算得
	* 考虑二阶维里展开 $\frac{pV}{T}=R + \frac{B(T)}{T}p$，此时可计算得
	\[ p = \frac{a}{b^{2}}(1 - C(T))(3C(T)-1),C(T)=\sqrt{\frac{RbT}{2a}} \]
	* 回顾平均场思想，应用：朗道理论、核的壳层模型…… 性质：利用 \(dU = C_V dT + \left(T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V - p\right) dV\) 可知
	\[ p=\frac{N k_{B} T}{V - N b}-a\left(\frac{N}{V}\right)^{2} \]
	\[\mu_{JT} = \frac{T^{2}}{C_{p}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}T}\left(\frac{B(T)}{T}\right)\]
	$\left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)_{u}=-\frac{T^{2}}{C_{V} V^{2}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} T}\left(\frac{B^{\prime}(T)}{T}\right)$
	\[C_{p}=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{p}=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{p},\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{T}=V - T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\]
	\[p = \frac{RT}{v - \tilde{b}} - \frac{\tilde{a}}{v^{2}}\]
	(3)微观解释：分压定律原是道尔顿从实验中总结出来的。现从理想气体微观模型上很容易得到，分子之间无作用力，一种气体存在不影响其他气体分子运动状态，因此，混合气体的总压是各种气体分压之和。

\[ \begin{cases} \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = 0 & 0 < x < a,0 < y < b \\ \left.u\right|_{x = 0}=0,\quad\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x = a}=0 & 0\leq y\leq b \\ \left.u\right|_{y = 0}=f(x),\quad\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{y = b}=0 & 0\leq x\leq a \end{cases} \]

$\int_{0}^{l} X_{n}^{*}(x)X_{m}(x)\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\delta_{nm}$

由于偏微分方程和边界条件都是齐次的，我们就把全部无穷多个特解叠加起来得到一般解:

\[ u_{n}(t)=\left(C_{n} \sin \frac{n \pi}{l} a t+D_{n} \cos \frac{n \pi}{l} a t\right) \sin \frac{n \pi}{l} x \quad n=1,2,3, \cdots \]

\[T_n(t)=C_n\sin\frac{n\pi}{l}at + D_n\cos\frac{n\pi}{l}at\]

\[ T''(t) + \lambda a^{2}T(t) = 0, \quad \lambda_{n} = \left(\frac{n\pi}{1}\right)^{2}, \quad n = 1,2,3,\cdots \]

$\lambda_{n}=\left(\frac{n\pi}{l}\right)^{2}\quad n = 1,2,3,\cdots$

微分方程的通解为 $X(x)=A\sin\sqrt{\lambda}x + B\cos\sqrt{\lambda}x$ 边界条件 $\Rightarrow B = 0\quad A\sin\sqrt{\lambda}l = 0\Rightarrow\sqrt{\lambda}=n\pi$ 本征值

\[ T''(t)+\lambda a^{2}T(t)=0,\quad \lambda_{n}=\left(\frac{n\pi}{1}\right)^{2},\quad n = 1,2,3,\cdots \]

$\sum_{n = 1}^{\infty} D_{n} \sin \frac{n \pi}{l} x=\phi(x) \quad \sum_{n = 1}^{\infty} C_{n} \frac{n \pi a}{1} \sin \frac{n \pi}{l} x=\psi(x)$

\[ u|_{t = 0}=\phi(x)\quad\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t = 0}=\psi(x) \]

\[u(t)=\sum_{n = 1}^{\infty}\left(C_{n} \sin \frac{n\pi}{l}at+D_{n} \cos \frac{n\pi}{l}at\right)\sin \frac{n\pi}{l}x\quad n = 1,2,3,\cdots\]

\[ D_{n}=\frac{2}{l} \int_{0}^{l} \phi(x) \sin \frac{n \pi}{l} x \mathrm{~d} x \quad C_{n}=\frac{2}{n \pi a} \int_{0}^{l} \psi(x) \sin \frac{n \pi}{l} x \mathrm{~d} x \]

\[ X_{n}(x)=\sin\frac{n\pi}{l}x\quad n = 1,2,3,\cdots \]

这类题目从 2019 春期末开始，近两年都有考察. 主要考察特殊函数的基本概念、性质以及递推公式的应用，并且考察积分求解方法，如换元法、分部积分法等. 对应作业第三章第 9、22、23 题.

\[ \begin{cases} u_{tt} = u_{xx},(t > 0,0 < x < 1)\\ u(t,0) = u(t,1),u_x(t,0) = u_x(t,1)\\ u(0,x) = \sin 2\pi x,u_t(0,x) = 2\pi \cos 2\pi x \end{cases} \]

的分离变量解 $u = T(t)X(x)$.

1.4.12 2020 春数理方程 B 毕业班期末第三题

1. 求周期边界条件下

1.5 特殊函数的积分求解 (性质、递推公式的应用)

1.4.9 2017 春数理方程 B 期末第五题

1.4.11 2019春数理方程B期末第五题

$1.5\ \ 特殊函数的积分求解 (性质、递推公式的应用)$

\[ \begin{cases} \Delta_{3}u = 0, (x^{2} + y^{2} < 1, 0 < z < 1)\\ \left.u\right|_{x^{2}+y^{2}=1} = 0\\ \left.u\right|_{z = 0} = 0, \left.u\right|_{z = 1} = 1 - (x^{2} + y^{2}) \end{cases} \]

\[ \begin{cases} u_{tt} = u_{xx}, (0 < x < 1, t > 0) \\ \left.u\right|_{x = 0} = \left.u\right|_{x = 1} = 1 \\ \left.u\right|_{t = 0} = 0, \left.u_t\right|_{t = 0} = 0 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} u_{tt} = u_{xx}, (t > 0, 0 < x < 1) \\ u(t, 0) = u(t, 1), u_x(t, 0) = u_x(t, 1) \end{cases} \]

\[\begin{cases} u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=z, (x^{2}+y^{2}+z^{2}<1)\\ \left.u\right|_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}=0 \end{cases}\]

1.4.10 2019 春数理方程 B 期末第四题

求解如下泊松方程的边值问题:

求解一维有界弦的振动问题

\begin{enumerate} \item[10.6.1] 基本现象\dotfill 345 \item[10.6.2] 光折变效应的机制\dotfill 347 \item[10.6.3] 光折变效应的可能应用前景\dotfill 348 \end{enumerate}

\begin{enumerate} \item[10.5.1] 声光效应的基本概念 \dotfill 338 \item[10.5.2] 声光衍射的类型 \dotfill 340 \item[10.5.3] 声光器件的品质因素 \dotfill 344 \end{enumerate}

\begin{enumerate} \item[10.4.1] 弹光效应的机理 \dotfill 333 \item[10.4.2] 弹光系数（压光系数） \dotfill 333 \item[10.4.3] 弹光效应对晶体光学性质的影响 \dotfill 334 \end{enumerate}

\begin{enumerate} \item 10.7.1 外界作用影响晶体光学性质的对称性 \dotfill 349 \item 10.7.2 电光效应和弹光效应的相互关系 \dotfill 350 \item 10.7.3 热力学的讨论 \dotfill 352 \item 10.7.4 外界作用下晶体其他效应与光学性质变化的相似性 \dotfill 353 \end{enumerate} 习题\dotfill 354 参考文献\dotfill 355

\begin{enumerate} \item[11.2.1] 晶体的旋声现象 \dotfill 370 \item[11.2.2] 弹性进度系数张量的空间色散 \dotfill 371 \item[11.2.3] 旋声张量及其对称性 \dotfill 372 \item[11.2.4] 旋声性与空间色散的关系 \dotfill 373 \end{enumerate}

每秒$dV$内散射沿着$\vec{\Omega}(\theta, \phi)$方向单位立体角运动的中子数是：

沿着 $\vec{\Omega}$ 方向散射的中子，实际能到达 $dA$的几率: $e^{-\Sigma_{t}|l|} \quad \Sigma_{a} \ll \Sigma_{s} \quad\longrightarrow\quad e^{-\Sigma_{s}|l|}$

每秒自$dV$内散射出来沿着$\vec{\Omega}$方向未经碰撞能到达$dA$上的中子数是：

$\sum_{s} \phi(\vec{r'}) dV$

$dV = dldA\cos\theta 内, 每秒发生散射的中子数目为：$

散射的中子数目为：

$dV = dldA\cos\theta 内,每秒发生$

即 $\widetilde{\mathcal{F}} = T(\mathcal{F})$ 有界，这在 $\mathbb{R}^n$ 中可得其全有界，因此存在 $\varepsilon/3$-网 $\widetilde{N}_{\varepsilon/3} = \{T\varphi_1, \cdots, T\varphi_m\}$，断言 $\{\varphi_1, \cdots, \varphi_m\}$ 是 $\mathcal{F}$ 的 $\varepsilon$ 网，这是因为对任意 $\varphi \in \mathcal{F}$，存在某个 $\varphi_i$ 使得 $\rho_n(T\varphi, T\varphi_i) < \varepsilon/3$，对任意 $x \in M$，存在 $x_r \in N_{\delta}$ 使得 $\rho(x, x_r) < \delta$，因此

$\vert\varphi(x) - \varphi_i(x)\vert \leq \vert\varphi(x) - \varphi(x_r)\vert + \vert\varphi(x_r) - \varphi_i(x_r)\vert + \vert\varphi_i(x_r) - \varphi_i(x)\vert$

$\|T\varphi\|=\sum_{i = 1}^{n}|\varphi(x_{i})|\leqslant nR,$

$\leqslant \frac{2}{3} \varepsilon+\rho_{n}\left(T \varphi, T \varphi_{i}\right)$

2. 对任意$\varepsilon > 0$，存在$M > 0$使得$\sup_{f\in\mathcal{F}}\int_{|x|>M}|f|^{p}dx < \varepsilon^{p}.$

设 $X$ 为向量空间，$E\subset X$ 线性无关且 $\mathrm{Span}(E)=X$，则称 $E$ 为 $X$ 的一个 Hamel 基（或代数基），若 $|E|\lt\infty$，则记 $\dim X = |E|$，否则记 $\dim X=\infty$.

1.4 赋范向量空间

则 $\mathcal{F}$ 有界说明 $\sup_{x\in M,\varphi\in\mathcal{F}}|\varphi(x)| = R < \infty$，故对任意 $\varphi \in \mathcal{F}$

注 Hamel 基考虑了无穷集合的任意有限和，因此 $e_n = (\delta_{in})$ 不是 $\ell^2$ 的一个 Hamel 基.

1.4.1 赋范空间

从应用的角度来看，直流（DC）分析通常用于通信的静态功率和暂停时间。交流（AC）分析是用于通信稳定状态时的重要工具。此外，在信号的开始和停止时，时域反射仪（TDR）可以用来评估信号传输。通常，TDR和矢量网络分析仪（VNA）设备可以帮助我们评估性能；参见\underline{图8}。

由于很难得到传输线和变压器的高精度模型，因此我们将两个端口的性能作为黑箱来研究。史密斯图和 S 参数可以帮助我们很好地解释通信的行为。

$\frac{V_{\text{reflected}}}{V_{\text{incident}}}=\frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1}=\beta$

4 评估的重要工具

4.1 交流（AC）分析方法和 S 参数

回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析

\[\begin{cases} p_{nx}\Delta l = p_{xx}\Delta x + \tau_{yx}\Delta y\\ p_{ny}\Delta l = p_{yy}\Delta y + \tau_{xy}\Delta x \end{cases}\]

$\vec{n} = \left( \frac{\Delta x}{\Delta l} , \frac{\Delta y}{\Delta l} \right)$

取长方体流体元，表面力即代表应力 [下标第一个字母代表面的法线方向，指定面；第二个字母代表该面受力的方向]：

由受力平衡 [质量力仍为小量] 可得

此处$\delta_{ij}$当$i = j$时为 1，否则为 0；$\mu$代表动力学粘度；$\varepsilon_{ij}$为应变率矩阵的对应项。

表面力：接触产生的作用力，代表外表面单位面积受力，即

由此有应力矩阵 $P = \begin{pmatrix} p_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & p_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & p_{zz} \end{pmatrix}$。

静止流体的应力状态：静止流体不能承受剪切应力，因此无论如何正交相似都是对角阵，只能为单位阵的倍数。又由于流体元只能承受压力、不能承受拉力，必然有 $p_{xx} < 0$，即应力矩阵为 $P = -pI,p > 0$。 * 对理想流体也满足此性质

证明 $\tau_{xy}=\tau_{yx}$：为方便考虑二维情况 $xy$ 平面，对原点的力矩为 [质量力与法向应力产生力矩为高阶小量，可忽略，左侧两倍是由于对称的两边产生相同的力矩]

$(2\tau_{xy}\Delta y)\frac{\Delta x}{2}-(2\tau_{yx}\Delta x)\frac{\Delta y}{2}=I\dot{\varepsilon}$

2. 各向同性 [即应力与应变力关系无关坐标系选择]；

1. 应力与应变速率成线性关系； 2. 各向同性 [即应力与应变力关系无关坐标系选择]； 3. 角变形率为 0 [静止时法向压力等于静压强]。

定义平均压强 $p = -\frac{1}{3}(p_{xx} + p_{yy} + p_{zz})$ [由于此处讨论的未必是平衡态系统，此压强与热力学中压强的一致性是难以证明的]，记应力矩阵 $P = (p_{ij})$，对牛顿流体有本构关系：

这里 $I$ 为转动惯量 $\int r^{2}\mathrm{d}m$，为 $(\Delta x)^{4}$ 阶小量 $[m$ 为二阶，$r^{2}$ 也为二阶$]$，$\varepsilon$ 为角速度。若 $\tau_{xy} \neq \tau_{yx}$，则 $\dot{\varepsilon}$ 为 $\frac{1}{(\Delta x)^{2}}$ 阶无穷大，不符合连续介质假设。

\[p_{ij}=-\left(p + \frac{2}{3}\mu\nabla\cdot\vec{v}\right)\delta_{ij}+2\mu\varepsilon_{ij}\]

$\lim_{\delta A\rightarrow 0} \frac{\delta F_{s}}{\delta A}, F_{s} = \iint_{A} \vec{p}_{s} \mathrm{d}A$

\[p_{xx}=\lim_{\delta A \to 0} \frac{\delta F_{xx}}{\delta A},\tau_{xy}=\lim_{\delta A \to 0} \frac{\delta F_{xy}}{\delta A}\]

若已知应力矩阵，求过该点某一法向为$\vec{n}$平面单位面积受力：仍考虑二维情况，在该点附近作直角三角形，直角边在坐标轴上，斜边法线方向为$\vec{n}$。设三边长$\Delta x,\Delta y,\Delta l$，根据三角函数知识有

$\S3.3$ 牛顿流体

热力学参量是宏观物理量，是微观物理量的总和或者平均，忽略了大量微观细节

\[ \begin{align*} U(T,V)&=U(T_0,V_0)+\int_{T_0}^{T} C_V \mathrm{d}T - Na^2\left(\frac{1}{V}-\frac{1}{V_0}\right)\\ S(T,V)&=S(T_0,V_0)+\int_{T_0}^{T} \frac{C_V}{T} \mathrm{d}T + Nk_B \ln\frac{V - Nb}{V_0 - Nb}\\ F(T,V)&=U(T,V)-TS(T,V) \end{align*} \]

$\left(\frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial \left(T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V - p\right)}{\partial T}\right)_V$

计算得其为 0，因此范德瓦尔斯气体的 $C_V$ 与 $V$ 无关，亦可计算得

其中 $v = \frac{V}{n_m},\tilde{a} = N_A^2 a,\tilde{b} = N_A b$，后在无歧义时仍记为 $a,b$，可计算出 $\mu_{JT}$，令其为 $0$ 可解得

$\S 2.2$ 范德瓦尔斯气体

对理想气体，$\alpha_p = \frac{1}{T}$，于是 $\mu_{JT} = 0$。

假设 $V_1$ 体积 $U_2$ 内能气体过多孔塞后体积、内能为 $V_2,U_2$，由外界体积功可知 $U_2 - U_1 = p_1V_1 - p_2V_2$，于是 $H_1 = H_2$，节流过程是等焓过程。

* 令 $p = 0$ 可以解得 $C(T_1)=\frac{1}{3},C(T_2)=1$，于是 $T_2 = 9T_1$，能利用节流过程降温的温区为 $[T_1,T_2]$。实际操作：利用绝热膨胀将温度降至 $T_2$ 以下，再通过节流降温。

定义焦汤系数 $\mu_{JT} = \left( \frac{\partial T}{\partial p} \right)_H$，由于对 $\mathrm{d}H$ 坐标变换有：

$\mu_{JT}=\frac{1}{C_{p}}\left(T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}-V\right)=\frac{V}{C_{p}}(T\alpha_{p}-1)$

\[p = \frac{a}{b^{2}}(1 - C(T))(3C(T) - 1),C(T)=\sqrt{\frac{RbT}{2a}}\]

性质：利用 $ \mathrm{d}U = C_V \mathrm{d}T + \left( T \left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)_V - p \right) \mathrm{d}V $ 可知

* 令 $p = 0$ 可以解得 $C(T_1)=\frac{1}{3},C(T_2)=1$，于是 $T_2 = 9T_1$，能利用节流过程降温的温区为 $[T_1,T_2]$。实际操作：利用绝热膨胀将温度降至 $T_2$ 以下，再通过节流降温。 * 考虑二阶维里展开 $\frac{pV}{T}=R + \frac{B(T)}{T}p$，此时可计算得

* 考虑二阶维里展开 $\frac{pV}{T}=R + \frac{B(T)}{T}p$，此时可计算得

\[ p = \frac{a}{b^{2}}(1 - C(T))(3C(T)-1),C(T)=\sqrt{\frac{RbT}{2a}} \]

* 回顾平均场思想，应用：朗道理论、核的壳层模型…… 性质：利用 $dU = C_V dT + \left(T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V - p\right) dV$ 可知

\[ p=\frac{N k_{B} T}{V - N b}-a\left(\frac{N}{V}\right)^{2} \]

\[\mu_{JT} = \frac{T^{2}}{C_{p}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}T}\left(\frac{B(T)}{T}\right)\]

$\left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)_{u}=-\frac{T^{2}}{C_{V} V^{2}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} T}\left(\frac{B^{\prime}(T)}{T}\right)$

\[C_{p}=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{p}=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{p},\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{T}=V - T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\]

\[p = \frac{RT}{v - \tilde{b}} - \frac{\tilde{a}}{v^{2}}\]

(3)微观解释：分压定律原是道尔顿从实验中总结出来的。现从理想气体微观模型上很容易得到，分子之间无作用力，一种气体存在不影响其他气体分子运动状态，因此，混合气体的总压是各种气体分压之和。