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string
\widetilde \gamma _ { \mathrm { h o p f } } \simeq \sum _ { n > 0 } \widetilde { G } _ { n } { \frac { ( - a ) ^ { n } } { 2 ^ { 2 n - 1 } } }
( { \cal L } _ { a } g ) _ { i j } = 0 , \ \ \ \ ( { \cal L } _ { a } H ) _ { i j k } = 0 ,
S _ { s t a t } = 2 \pi \sqrt { N _ { 5 } ^ { ( 1 ) } N _ { 5 } ^ { ( 2 ) } N _ { 5 } ^ { ( 3 ) } } \left( \sqrt { n } + \sqrt { \bar { n } } \right)
\hat { N } _ { 3 } = \sum \sp f _ { j = 1 } a _ { j } \sp { \dagger } a _ { j } \, .
+ \int \! \! d ^ { D } \! z _ { 1 } d ^ { D } \! z _ { 2 } d ^ { D } \! z _ { 3 } \left. \frac { \delta ^ { 2 } W } { \delta j ( x ) \delta j ( z _ { 1 } ) } \, \frac { \delta ^ { 2 } W } { \delta j ( x ) \delta j ( z _ { 2 } ) } \, \frac { \delta ^ { 2 } W } { \delta j ( x ) \delta j ( z _ { 3 } ) } \, \frac { \delta ^ { 3 } \Gamma } { \delta \Phi ( z _ { 1 } ) \delta \Phi ( z _ { 2 } ) \delta \Phi ( z _ { 3 } ) } \right] ,
\, ^ { * } d \, ^ { * } H = \kappa \, ^ { * } d \phi = J _ { B } .
{ \frac { \phi ^ { \prime \prime } } { A } } + { \frac { 1 } { A } } \left( - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { A ^ { \prime } } { A } } + 2 { \frac { B ^ { \prime } } { B } } + { \frac { 2 } { r } } \right) \phi ^ { \prime } - { \frac { 2 } { r ^ { 2 } } } \phi - \lambda \phi ( \phi ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } ) = 0 \, .
\partial _ { \mu } ( F ^ { \mu \nu } - e j ^ { \mu } x ^ { \nu } ) = 0 .
E _ { A D M } = \frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { 1 0 } } \oint _ { \infty } d \Sigma ^ { m } \lbrace { } ^ { \circ } D _ { n } g _ { m p } - { } ^ { \circ } D _ { m } g _ { n p } \rbrace { } ^ { \circ } g ^ { n p }
P _ { ( 2 ) } ^ { - } = \int \beta d \beta d ^ { 9 } p d ^ { 8 } \lambda \Phi ( - p , - \lambda ) \left( - \frac { p ^ { I } p ^ { I } } { 2 \beta } \right) \Phi ( p , \lambda ) \, .
V _ { n s } ( { \tilde { x } } ) = \left( \frac { { \tilde { m } } N ^ { 2 } } { 1 6 \pi } \right) N g ^ { 2 n s - 1 } { \tilde { x } } ^ { 2 } \left\{ { \tilde { x } } ^ { 2 } - \frac { 2 { \tilde { b } } } { 3 } { \tilde { x } } + \frac { { \tilde { b } } ^ { 2 } } { 3 } - ( - 1 ) ^ { n s } { \tilde { c } } \right\} \, .
\begin{array} { l l } { { \sigma ^ { 0 } = - { \bf 1 } _ { 2 \times 2 } = { \bar { \sigma } } ^ { 0 } , } } & { { \sigma ^ { 1 } = \tau _ { z } = - { \bar { \sigma } } ^ { 1 } , } } \\ { { \sigma ^ { 2 } = \tau _ { x } = - { \bar { \sigma } } ^ { 2 } , } } & { { \sigma ^ { 3 } = \tau _ { y } = - { \bar { \sigma } } ^ { 3 } , \quad ( \mathrm { o r } \quad \sigma ^ { y } = \tau _ { y } = - { \bar { \sigma } } ^ { y } ) , } } \end{array}
\rho _ { L } ( q ) = \sum _ { m = 1 } ^ { L } \ P _ { L } ( m ) \ { \frac { 1 } { q ^ { m - 1 } } } \ \ .
\Lambda _ { - 1 , 1 } = \lambda ^ { - 1 } ( e _ { 1 , 2 p } - e _ { 2 , 2 p + 1 } ) + ( e _ { 2 , 1 } - e _ { 2 p + 1 , 2 p } ) + 2 \sum _ { k = 1 } ^ { p - 1 } e _ { 2 + k , 1 + k } - 2 \sum _ { k = 1 } ^ { p - 1 } e _ { p + 1 + k , p + k } ,
e x p \left( - \frac { \partial } { \partial \alpha _ { j } } \theta ^ { j k } \frac { \partial } { \partial \alpha _ { k } } \right)
L _ { 0 } = \Phi ( w ) = \bigtriangleup \Phi ( w ) ,
\left( D ^ { * } D ^ { * } + m ^ { 2 } \right) { \cal H } = 0
g ( z , \bar { z } ) = - \frac { 1 } { 2 } \left[ x ( z , \bar { z } ) \, s + x ^ { * } ( z , \bar { z } ) \, s ^ { * } + u ^ { * } ( z , \bar { z } ) \, t + u ( z , \bar { z } ) \, t ^ { * } \right] ,
s = { \frac { S } { V } } = { \frac { A _ { H } } { l _ { p } ^ { 8 } V } } = { \frac { T ^ { 2 } } { \gamma } } .
\psi ( \gamma ) = \exp { - ( { \textstyle { \frac { g ^ { 2 } } { 2 } } } ) \int _ { \gamma } d y ^ { a } \int _ { \gamma } d y ^ { a ^ { \prime } } D _ { 1 } ( y - y ^ { \prime } ) }
E = E _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 \sinh ( \gamma ( 0 ) / 2 ) } \sinh \left( \gamma ( 0 ) \left( \frac { 1 } { 2 } + c ( 0 ) \right) \right) h c \nu _ { \mathrm { v i b } }
\dot { z } _ { 1 } = - N ^ { z } ( z _ { 1 } ) = - g ( z _ { 1 } ) = - \frac { z _ { 1 } } { P _ { z } ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) } ; ~ ~ ~ \dot { z } _ { 2 } = - \frac { z _ { 2 } } { P _ { z } ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) }
\partial _ { u } \xi _ { z } ^ { ( 1 ) } + { \frac { 1 } { u } } \xi _ { z } ^ { ( 1 ) } = { \frac { 1 } { ( \pi T R ) ^ { 2 } u } } \left[ C _ { z } H _ { z z } ^ { \prime } + C _ { t } H _ { t z } ^ { \prime } \right] \, .
{ \cal L } = - { \frac { 1 } { 4 } } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } + { \bar { \psi } } ( i \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } - m ) \psi \, ,
C ( x ^ { \prime } , x ^ { \prime \prime } ) = C \Phi ( x ^ { \prime } , x ^ { \prime \prime } ) \ , \quad \Phi ( x ^ { \prime } , x ^ { \prime \prime } ) = \exp \left[ - i e \int _ { x ^ { \prime \prime } } ^ { x ^ { \prime } } d x ^ { \mu } A _ { \mu } ( x ) \right] \ ,
\tilde { \alpha } = \alpha \beta ^ { - m } = \left( \begin{array} { c c c } { { \omega _ { k } ^ { - 2 y } \omega _ { 2 d } ^ { 2 m } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \omega _ { k } ^ { y } \omega _ { 2 d } ^ { - m } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \omega _ { k } ^ { y } \omega _ { 2 d } ^ { - m } } } \end{array} \right)
d s ^ { 2 } = H ^ { - 2 } f ( r ) d t ^ { 2 } + H ^ { 2 / ( n - 1 ) } ( f ( r ) ^ { - 1 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega _ { n } ^ { 2 } ) ,
y ^ { 2 } = \rho \; \cosh \beta \; \sin \theta \; \sin \phi \qquad \qquad y ^ { 3 } = \rho \; \cos \theta
\gamma _ { j } { \cal P } _ { j i } = \frac { 4 } { 3 } \{ [ A d \, T ] [ t _ { 8 } ^ { c } , [ t _ { 8 } ^ { c } , { \gamma } _ { j } ] ] [ A d \, T ^ { - 1 } ] \} { A d \, { \hat { g } } } _ { i j } .
\Omega _ { k } ^ { ( l ) } = \sum _ { s = 0 } \int d ^ { 3 } y \left( ( - 1 ) ^ { s + 1 } \frac { d ^ { s } } { d t ^ { s } } \phi _ { k } ^ { i ( s ) } ( x , y ) L _ { i } ^ { ( 0 ) } ( y ) \right) .
K _ { \mu \nu } ~ = ~ \frac { 1 } { 2 } \dot { g } _ { \mu \nu } .
X ( u ) = { \frac { \left( \pm i + e ^ { 3 \eta } \right) \left( - 1 + { e ^ { u } } \right) \left( 1 + { e ^ { u } } \right) x _ { 1 } } { 2 { e ^ { u } } \left( \pm i + { e ^ { 3 \eta + u } } \right) } } ,
\beta ( g ) \frac { \partial } { \partial g } = 2 g \beta ( g ) \frac { \partial } { \partial g ^ { 2 } }
A = a r ^ { \beta } , \quad B = b r ^ { \beta + 2 } ; \qquad a / b = c ( \beta + 2 ) / ( \beta - 2 ) ,
\delta W _ { P \mu } = A _ { \mu } \Phi + B _ { P \mu } ^ { \alpha } K _ { P } ^ { \alpha } \ .
\frac { 1 } { d - 2 } \tilde { \Pi } ^ { 2 } - \tilde { \Pi } _ { a b } \tilde { \Pi } ^ { a b } = \frac { \left( d - 1 \right) \left( d - 2 \right) } { \ell ^ { 2 } } + R
\hat { e } = e / \varepsilon , \ \ \ \ \ \ \ \ \ \hat { G } _ { 4 } = G _ { 4 } ,
R ( e _ { 1 } ) = \epsilon ^ { - J _ { 6 7 } + J _ { 8 9 } } , \quad R ( e _ { 2 } ) = \epsilon ^ { J _ { 4 5 } - J _ { 8 9 } } .
{ \tilde { \cal { E } } } _ { m < 0 } = { \cal { E } } _ { m < 0 } ( B ) - { \cal { E } } ( 0 ) = \frac { B ^ { 2 } } { 2 } + \frac { ( e B ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { 2 \pi } g \left( \frac { e B } { m ^ { 2 } } \right) \, ,
V _ { ( n , \, m ) } ( z , \overline { { { z } } } ) = : \exp i ( p _ { + } \phi ( z ) + p _ { - } \bar { \phi } ( \overline { { { z } } } ) ) : \: .
g _ { n } ^ { > } ( r , r ^ { \prime } ) = E _ { n } K _ { | n / \alpha | } ( \beta r ) , \quad \mathrm { f o r ~ r > r ^ { ' } ~ . }
\tilde { s } ^ { 0 } ( x , y ) = i e ^ { 2 } \int \! d ^ { 4 } \! z \, S _ { \mathrm { F } } ( x , z ) \, \gamma ^ { \mu } \, S _ { \mathrm { F } } ( z , y ) \, [ d _ { \mu } ( x - z ) + d _ { \mu } ( z - y ) ]
\psi ( x ) = - 2 \phi ( x ) + 2 \phi ( L ) + c ,
{ } ^ { ( { } ^ { \scriptstyle x } y ) } ( { } ^ { x } z ) = { } ^ { x } ( { } ^ { y } z ) , \qquad \forall x , y , z \in X .
\delta ( L _ { 1 } + L _ { 2 } ) = 2 \delta \bar { \theta } ( 1 + \gamma ^ { ( p ) } ) T _ { ( p ) } ^ { \nu } \partial _ { \nu } \theta .
\frac { 1 } { 2 \lambda f ^ { 2 } } \int \; d ^ { 4 } X \, \frac { d ^ { 4 } q } { \left( 2 \pi \right) ^ { 4 } } \left( \varphi ( X ) \right) ^ { 2 } \tilde { \pi } _ { 0 } ( q ) \left[ \partial _ { q } ^ { 2 } + \frac { 4 i \lambda } { q ^ { 2 } - \Sigma ^ { 2 } ( q ) } \right] \tilde { \pi } _ { 0 } ( q ) ,
( K ^ { - 1 } ) _ { S } ^ { U } = - \frac { z ^ { * 3 } ( 1 - A | z | ^ { 2 } ) P ^ { \prime } ( y ) } { e ^ { \tilde { K } / 2 } P ^ { \prime \prime } ( y ) } , \mathrm { ~ } ( K ^ { - 1 } ) _ { T } ^ { U } = \frac { ( T + T ^ { * } ) z ^ { * 3 } ( 1 - A | z | ^ { 2 } ) } { e ^ { \tilde { K } / 2 } ( 1 - \frac { \bar { n } } { 3 } B ( 1 - A | z | ^ { 2 } ) \| \Pi \| ) } ,
G ^ { \mu \nu \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } = g ^ { \mu \mu ^ { \prime } } g ^ { \nu \nu ^ { \prime } } + g ^ { \mu \nu ^ { \prime } } g ^ { \nu \mu ^ { \prime } } - { \frac { 2 } { D } } g ^ { \mu \nu } g ^ { \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } + C g ^ { \mu \nu } g ^ { \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } \: .
[ M _ { \mu \nu } , M _ { \rho \tau } ] = g _ { \mu \tau } \, M _ { \nu \rho } - g _ { \nu \tau } M _ { \mu \rho } + g _ { \nu \rho } M _ { \mu \tau } - g _ { \mu \rho } M _ { \nu \tau } \, ,
A _ { 0 } = \pm \sqrt { { \frac { 4 } { 3 ( 1 - \alpha ) } } } e ^ { ( \alpha - 1 ) \phi } \ .
C _ { m } ( \mu ) = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { \Gamma _ { r } } { \frac { C _ { m } ( z ) } { z - \mu } } d z ,
\xi = \alpha ^ { - 1 } \sqrt { \rho } \cosh ( 2 \alpha ^ { 2 } t ) \, , \quad \eta = \alpha ^ { - 1 } \sqrt { \rho } \sinh ( 2 \alpha ^ { 2 } t )
a _ { 1 } = \frac { 2 \tilde { q } } { \alpha ^ { 2 } ( D - 2 ) + 2 q \tilde { q } } , ~ ~ ~ ~ a _ { 2 } = \frac { \alpha ^ { 2 } ( D - 2 ) } { \alpha ^ { 2 } d ( D - 2 ) + 2 \tilde { d } q ^ { 2 } }
{ e _ { \hat { \mu } } ^ { \ \hat { m } } = \left( \begin{array} { l l } { { e _ { \sigma } ^ { \ s } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e _ { \alpha } ^ { \ a } } } \end{array} \right) }
\theta \epsilon ^ { i } = \zeta ^ { i } \, ; \qquad \theta \zeta ^ { i } = \epsilon ^ { i } \, ; \qquad \theta \eta ^ { i } = - \eta ^ { i } \, .
{ \cal A } _ { f i } ( s ) = - i \frac { Q _ { \mu \nu } V _ { f } ^ { \mu } ( \bar { s } ) V _ { i } ^ { \nu } ( \bar { s } ) } { ( s - \bar { s } ) [ 1 - A ^ { \prime } ( \bar { s } ) ] } + N ,
S = \frac { 1 } { G } \int d x d t \: \sqrt { - \bar { g } } \: e ^ { - 2 \bar { \phi } } ( \bar { R } + 4 ( \bar { \nabla } \bar { \phi } ) ^ { 2 } + 4 \lambda ^ { 2 } ) - \frac { 1 } { 2 } \int d x d t \: \sqrt { - \bar { g } } \: \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \bar { \nabla } f _ { i } ) ^ { 2 } ,
Q ^ { M } = \dot { g } _ { 0 } \int _ { \phi ( \Sigma ) } \sum _ { i = 1 } ^ { l } \beta _ { i } \eta _ { i } \int _ { N _ { i } } \frac 1 { \sqrt { g } } \delta ^ { D } ( x - z _ { i } ( u ) ) \sqrt { g _ { u } }
\psi ( x ) = [ 2 \pi \sigma ^ { 2 } ] ^ { - 1 / 4 } \exp \left[ - \left( \frac { x - x _ { 0 } } { 2 \sigma } \right) ^ { 2 } + i p _ { 0 } x \right] ,
A _ { \mu } = \bar { A } _ { \mu } ( \phi ) + a _ { \mu } \ ,
\left[ D _ { f } , D \right] = 0 \, .
G = \! e ^ { i \tau L _ { - 1 } } e ^ { i U ^ { ( 1 ) } L _ { 1 } } e ^ { i U ^ { ( 2 ) } L _ { 2 } } e ^ { i U ^ { ( 3 ) } L _ { 3 } } \ldots \! e ^ { i { U ^ { ( 0 ) } } L _ { 0 } } ,
\langle b _ { 1 } ( z , \bar { z } ) a _ { 1 } ( z ^ { \prime } , \bar { z } ^ { \prime } ) \rangle = - { \frac { 1 } { \pi } } \partial ~ K _ { 0 } ( d ^ { 2 } m ^ { 2 } ( { \bf p } ) ) ~ ,
\lambda _ { + } = \frac { 1 + i \omega } { 2 } , \quad \lambda _ { - } = \frac { 1 - i \omega } { 2 }
1 + \frac { 2 \pi \Lambda G } { 9 \alpha } > 0
e ^ { - K } = \pm \frac { W ^ { 3 / 2 } } { \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } \omega _ { 3 } } \ ,
{ \cal { Z } } ( \tau { } ) = \sum _ { m } \int { \cal { D } } \Omega { \cal { D } } V { \mathrm { V o l } } _ { Z M } { \mathrm { d e t } } ( d _ { 2 } )
| 0 ( t ) \rangle _ { e , \mu } \equiv G _ { \theta } ^ { - 1 } ( t ) | 0 \rangle _ { 1 , 2 } \, ,
\left( \alpha ^ { \prime } \right) ^ { - 1 } e ^ { - \phi / 2 } f _ { 1 6 } \, s i m \ g ^ { - 2 4 } \sqrt { N } \ ,
{ \cal { F } } : \ < g > = \int d ^ { 3 } \theta \ g ( { \vec { \theta } } ) f ( { \vec { \theta } } , t ) \,
\tilde { S } _ { r , \Lambda } ( t _ { 2 } , t _ { 1 } ; g ) = - 2 i \delta ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) H _ { I } ^ { ( r ) } ( t _ { 1 } ) + \tilde { S } _ { r , \Lambda } ^ { \prime } ( t _ { 2 } , t _ { 1 } ; g ) ,
\nu _ { R } ( E ) = \int _ { \mu } ^ { E - \mu _ { Q } } \nu ( E ^ { \prime } ) \nu _ { Q } ( E - E ^ { \prime } ) d E ^ { \prime } ~ ~ ~ .
{ \mathrm { \boldmath ~ e ~ } } ( t ) = \dot { { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } } } / \sqrt { { \dot { { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } } } } ^ { 2 } } \; ,
V _ { e f f } ( z ) = \frac { 3 ( 5 \alpha + 4 ) k ^ { 2 } } { 6 4 \left( { \frac { k z } { 2 } } + 1 \right) ^ { 2 } } + { \frac { l ^ { 2 } } { 2 R ^ { 2 } } } \left( { \frac { k z } { 2 } } + 1 \right) ^ { { \frac { 5 } { 2 } } ( \alpha - 2 ) } - { \frac { 3 k } { 4 } } \delta ( z )
Z _ { \mathrm { F } } [ A ] = \int \! D { \bar { \psi } } D \psi e ^ { - \int \! d ^ { 2 } x \, [ \psi _ { 1 } ^ { \dagger } i \partial \psi _ { 1 } + \psi _ { 2 } ^ { \dagger } i { \bar { \partial } } \psi _ { 2 } - \psi _ { 1 } ^ { \dagger } A \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } ^ { \dagger } { \bar { A } } \psi _ { 2 } ] } \; ,
R : ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \alpha ^ { \prime } M ^ { 2 } = - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . . . . . . . . . .
f _ { i j } ( u ) = f _ { j i } ( u ) = c \, \mathrm { s g n } ( u ) = c \, [ \theta ( u ) - \theta ( - u ) ] , \qquad 1 \le i < j \le N ,
P _ { n } ^ { p } = \frac { ( - 1 ) ^ { p + n } } { n ! ( p - n ) ! } \mathop { { \prod } ^ { \prime } } _ { k = 0 } ^ { p } ( N - k ) , \quad n = 0 , . . . , p ,
T _ { { \cal G } } ( - t , - t ^ { - 1 } ) = \sum x ^ { i ( B ) } x ^ { - e ( B ) }
\left. \begin{array} { c c c } { { S _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \nonumber } } \\ { { S _ { \Delta } \nonumber } } \\ { { \tilde { S } _ { \Delta } } } \end{array} \right\} \varpi = ( \varpi + 2 ) \left\{ \begin{array} { c c c } { { S _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \nonumber } } \\ { { S _ { \Delta } \nonumber } } \\ { { \tilde { S } _ { \Delta } } } \end{array} \right. .
\Phi _ { 0 } ( Z ) = \delta ^ { - 1 } \alpha , \qquad \Phi _ { 0 } ( Z ) = \alpha ^ { - 1 } \delta
{ \xi } _ { i } ^ { \ast } , { p } _ { i } ^ { \ast } , \quad i = 2 , \dots , l + 1
\varrho _ { L } - { \cal L } _ { E } = [ 2 \dot { \Phi } ^ { 2 } ] \; K ^ { \prime } ( \dot { \Phi } ^ { 2 } , \Phi ) - K ( \dot { \Phi } ^ { 2 } , \Phi ) + K ( - \dot { \Phi } ^ { 2 } , \Phi ) .
b ( k ) b ^ { \dagger } ( l ) - q _ { e } b ^ { \dagger } ( l ) b ( k ) = \delta ( k - l ) ,
{ \cal L } = - \mathrm { \small ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } f ^ { 2 } \, \partial _ { \mu } \pi _ { r } \, \partial ^ { \mu } \pi _ { r } - \mathrm { \small ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } f ^ { 2 } \lambda \left( \pi _ { r } \pi _ { r } - N \right) \; ,
E _ { \mathrm { q u a s i l o c a l } } = E _ { + } - E _ { - } = \left( r \left[ 1 - \left| r , _ { y } \right| \right] \right) _ { y = y _ { + } } - \left( r \left[ 1 - \left| r , _ { y } \right| \right] \right) _ { y = y _ { - } } .
I = 2 \left( { \frac { \alpha } { \sinh ^ { 2 } A + \sin ^ { 2 } { \frac { \gamma } { 2 } } } } - { \frac { \sinh { \frac { 2 A } { \alpha } } } { \sinh { 2 A } } } ~ { \frac { 1 } { ( \sinh ^ { 2 } { \frac { A } { \alpha } } + \sin ^ { 2 } { \frac { [ \gamma ] } { 2 \alpha } } ) } } \right) ~ ~ .
\delta \chi _ { \mu \nu } = i b _ { \mu \nu } , \qquad \delta b _ { \mu \nu } = 0 .
W ( x ) = \frac { x ^ { 3 } } { 3 } - a ^ { 2 } x ,
Z _ { M } = \sum _ { j _ { s } } \int d U _ { f } \Pi _ { s } \left( 2 j _ { s } + 1 \right) T r _ { j _ { s } } U _ { s }
\{ \langle n | O | p \rangle \: | n \in \Sigma _ { s } ^ { \prime } \}
{ \cal L } ^ { ( 0 ) } ( B ) = - { \frac { 1 } { 2 } } B ^ { 2 } \; ,
\phi ( \rho ) = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \phi ^ { ( 1 ) } ( \rho ) } } & { { i n r e g i o n 1 } } \\ { { \bar { \phi } ^ { ( 1 ) } ( \rho ) } } & { { i n r e g i o n 1 ^ { * } } } \\ { { ( - 1 ) ^ { - d _ { \phi } } \, \phi ^ { ( 2 ) } ( - \rho ) } } & { { i n r e g i o n 2 } } \\ { { ( - 1 ) ^ { - d _ { \phi } } \, \bar { \phi } ^ { ( 2 ) } ( - \rho ) } } & { { i n r e g i o n 2 ^ { * } . } } \end{array} \right. \right.
\ddot { h } = - \nabla _ { h } \Phi
\langle 0 | T _ { \mu \nu } | 0 \rangle _ { \mathrm { \tiny ~ R e n . } } = \mathrm { d i a g } \left[ \langle 0 | T _ { t t } | 0 \rangle , 0 , \langle 0 | T _ { l l } | 0 \rangle , \langle 0 | T _ { l l } | 0 \rangle \right] .
\frac { 1 } { 2 4 . 8 \pi ^ { 2 } } \, \int _ { \cal M } R \wedge R = \frac { 1 } { 2 4 . 8 \pi ^ { 2 } } \, \int _ { { \cal M } } \mathrm { d } C = \frac { 1 } { 2 4 . 8 \pi ^ { 2 } } \, \int _ { \partial { \cal M } } C \, ,
\quad | A _ { 1 } | ^ { 2 } + | A _ { 2 } | ^ { 2 } - | B _ { 1 } | ^ { 2 } - | B _ { 2 } | ^ { 2 } = 0 .
e ^ { \phi _ { c } ^ { 6 } } = - { \frac { v _ { a } } { \tilde { v } _ { a } } }
\mathrm { \boldmath ~ \ p i ~ } = \mu ^ { - 1 } \, { \bf p } \; .
\Psi \sim \exp \left\{ - \frac { 1 } { \hbar } \int _ { a } ^ { x } \sqrt { 2 ( v - e ) } \right\} \sim \exp \left\{ - \frac { 1 } { \hbar } x ^ { \frac { 5 } { 2 } } \right\}
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LaTeX-OCR Dataset

Summary

This dataset was created to train LaTeX-OCR, a model for recognizing LaTeX code from images of mathematical formulas. Each sample consists of a synthetically rendered formula image and its corresponding LaTeX formula. The images were generated from scratch using xelatex with multiple fonts, offering more typographic variety than many other datasets that use a single font (typically Computer Modern).

Data Sources

Formulas were collected from these sources:

  1. Im2LaTeX-100k (Deng et al., 2017): The original dataset consists of LaTeX formulas extracted from scientific papers and paired with low-resolution images.
  2. arXiv Papers: Additional LaTeX expressions were scraped from publicly available PDFs on arXiv.org using automated tools. Only standalone mathematical expressions were retained.
  3. wikipedia: A small portion of formulas come from technical wikipedia pages

This dataset uses the LaTeX formulas from the sources above but re-renders all images from scratch using xelatex and a broader set of fonts.

Fonts Used

Latin Modern Math, GFSNeohellenicMath.otf, Asana Math, XITS Math, Cambria Math

Structure

Each dataset entry includes:

  • A rendered PNG image of a LaTeX formula
  • The original LaTeX string

Usage 

from datasets import load_dataset

# Load the dataset
dataset = load_dataset("lukbl/LaTeX-OCR-dataset", split="train")

# Dataset({
#     features: ['image', 'text'],
#     num_rows: 158479
# })

# Inspect a sample
sample = dataset[0]
print(sample)
# Output example:
# {
#   'image': <PIL.PngImagePlugin.PngImageFile image mode=L size=192x64 at 0x7F3A38642D10>,
#   'text': '\\widetilde \\gamma _ { \\mathrm { h o p f } } \\simeq \\sum _ { n > 0 } \\widetilde { G } _ { n } { \\frac { ( - a ) ^ { n } } { 2 ^ { 2 n - 1 } } }'
# }

Citation

If you use this dataset, please cite:

@misc{deng2017imagetomarkupgenerationcoarsetofineattention,
      title={Image-to-Markup Generation with Coarse-to-Fine Attention}, 
      author={Yuntian Deng and Anssi Kanervisto and Jeffrey Ling and Alexander M. Rush},
      year={2017},
      eprint={1609.04938},
      archivePrefix={arXiv},
      primaryClass={cs.CV},
      url={https://arxiv.org/abs/1609.04938}, 
}
@misc{blecher2025latexocr,
  author       = {Lukas Blecher},
  title        = {LaTeX-OCR: Optical Character Recognition for LaTeX Formulas},
  howpublished = {\url{https://github.com/lukas-blecher/LaTeX-OCR}},
  year         = {2025},
  note         = {GitHub repository}
}
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Size of downloaded dataset files:
238 MB
Size of the auto-converted Parquet files:
238 MB
Number of rows:
165,244