wzmmmm/phycics_dataset · Datasets at Hugging Face

image imagewidth (px) 44 2.33k	text stringlengths 1 14.3k
	\[ c_{nm}=-\frac{d_{nm}}{\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{m\pi}{b}\right)^2} \]
	\[ -\sum_{n = 1}^{\infty}\sum_{m = 1}^{\infty}c_{nm}\left[\left(\frac{n\pi}{a}\right)^{2}+\left(\frac{m\pi}{b}\right)^{2}\right]\sin\frac{n\pi}{a}x\sin\frac{m\pi}{b}y=\sum_{n = 1}^{\infty}\sum_{m = 1}^{\infty}d_{nm}\sin\frac{n\pi}{a}x\sin\frac{m\pi}{b}y \]
	\[T_n(0) = 0\quad T_n'(0) = 0\]
	将 \(u(x,t)\) 展开式代入初始条件，得
	\[ \begin{cases} \Delta_{2}u = 0, (x,y) \in \Omega \\ u(x,-x) = \varphi(x) \end{cases} \]
	\[ \begin{cases} u_{xx} + a^{2}u_{yy} = 0, (-\infty < x < +\infty, y < 1)\\ \left.u\right\|_{y = 1}=\varphi(x) \end{cases} \]
	1. 写出 D 内泊松方程第一边值问题的 \(Green\) 函数所满足的定解问题，并求出 \(Green\) 函数.
	1.7.6 2020 春数理方程 B 毕业班期末第六题
	2. 求出区域\(\Omega\)的定解问题
	1. 求出区域 \(\Omega\) 的 \(Green\) 函数.
	V.4 晶体的三阶极张量性质（压电模量 \(d\)，二级非线性极化率\(\chi^{2}\)，线性电光系数 \(\gamma\)） ....................................................... 466 V.5 具有Kleinman全对称性的晶体的二级非线性极化率张量 ......... 469 V.6 晶体的四阶极张量性质 ....................................................... 471 V.7 晶体的弹性劲度系数和弹性顺服系数 ....................................... 474 参考文献............................................................................. 476
	\begin{enumerate}[VI.] \item 1 二阶张量主轴化的解析方法 \dotfill 477 \item 2 矩阵与数值解法 \dotfill 480 \begin{enumerate}[VI. 2.] \item 1 用矩阵方法由实验数据求解 $[a_{ij}]$ 各独立分量 \dotfill 480 \item 2 利用逐步逼近法求主轴和主系数 \dotfill 483 \end{enumerate} \item 参考文献 \dotfill 485 \end{enumerate}
	VIII. 1.1 C-G 级数与 C-G 系数........................................ 492 VIII. 1.2 C-G 系数的计算 .............................................. 493
	VIII. 2.1 普通基函数的计算\dotfill 494 VIII. 2.2 对称化基函数的计算\dotfill 495 VIII. 2.3 部分对称基函数的计算\dotfill 495 VIII. 2.4 张量元的读取\dotfill 496
	\[J_{z}^{-}(\vec{r}) = \frac{\phi(\vec{r})}{4} + \frac{1}{6\Sigma_{s}} \frac{\partial\phi(\vec{r})}{\partial z}\]
	对\(\vec{\Omega}\)的积分沿\((\vec{\Omega}\cdot\vec{e}_{z}) < 0\)的半个空间积分，得：
	$\S 3.2$ 斐克定律
	即：每秒自\(xoy\)平面（沿正\(Z\)方向）自上向下穿过\(dA\)上单位面积的中子数。
	$J_{z}^{-}$：沿Z轴负方向的分中子流密度，
	$\Rightarrow:$ 假设 $\dim X=\infty$，则存在一列 $\{e_n:n\in\mathbb{N}\}$ 线性无关，令 $X_n = \mathrm{Span}(e_1,\cdots,e_n)$，则存在一列（闭）子空间 $X_1\subset X_2\subset\cdots$，根据 Riesz 引理，取 $\varepsilon = 1/2$，则对任意 $n$，存在 $x_n\in X_n\cap S_1$ 使得 $d(x_n,X_{n - 1})\geqslant1/2$，即 $\{x_n\}\subset S_1$ 但对任意 $n\neq m$ 有 $\\|x_n - x_m\\|\geqslant1/2$，故 $S_1$ 不列紧.
	注意到子空间中的单位球实际上是其与大空间单位球之交，因此根据 Riesz 引理，对一列闭子空间 \(X_1\subsetneq X_2\subsetneq\cdots\)，可规定 \(\varepsilon > 0\)，取得 \(x_n\in X_n\cap S_1\) 满足 \(d(x_n,X_{n - 1})\geqslant 1-\varepsilon\)，由此对任意 \(m,n\) 有 \(\\|x_n - x_m\\|\geqslant 1-\varepsilon\)，即得大空间中单位球面上的一个无收敛子列的点列. 由此可证
	证明 $\Leftarrow$：考虑同构 $T: X \to \mathbb{F}^n$（同前述定理中的构造），则存在 $C_1, C_2 > 0$ 使得
	取\(\{x_{n}\}\subset [x], \{y_{n}\}\subset [y]\) 使得
	\[ C_{1}\|Tx\| \leqslant \\|x\\| \leqslant C_{2}\|Tx\|, \]
	证明 \(Y \subsetneq X\) 说明存在 \(x \in X \setminus Y\)，因此 \(d = d(x, Y) > 0\) (结合 \(Y\) 闭). 对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(y_0 \in Y\) 使得
	证明首先证明这确实是一个范数，齐次是显然的，若$\\|[x]\\|_* = 0$，则存在$x_n\in [x]$使得$\\|x_n\\|\to 0\Rightarrow x_n\to 0$，$X_0$的闭性说明$0\in [x]$，因此$[x]=[0]$，得证. 再证三角不等式，首先
	\(\\|e - z\\|=\frac{1}{\\|x - y_0\\|}\\|x - (y_0+\\|x - y_0\\|z)\\|\geqslant\frac{1 - \varepsilon}{d}\cdot d = 1 - \varepsilon,\)
	$\left\|\left\|[x]+[y]\right\|\right\|_=\left\|\left\|[x + y]\right\|\right\|_=\inf_{z\in[x + y]}\\|z\\|,$
	\[ d \leqslant \left\\|x - y_0\right\\| \leqslant \frac{d}{1 - \varepsilon}, \]
	$\\|[x]\\|_* = \inf_{y\in[x]} \\|y\\|$
	\(\lim_{n \to \infty} \left\lVert x_n \right\rVert = \left\lVert [x] \right\rVert_, \quad \lim_{n \to \infty} \left\lVert y_n \right\rVert = \left\lVert [y] \right\rVert_,\)
	继续假设在单连通区域中，回顾涡量定义有 $\Gamma = \iint_{A} \vec{\Omega} \cdot \vec{n}\mathrm{d}A$。在速度环量守恒成立的条件下，由于 $\Gamma$ 为常数，只要某刻是无旋流动，所有 $\Gamma = 0$，此后一直都是无旋流动。[从空间角度，即上游无旋，下游永远无旋。]
	* 不可压缩流动 $\nabla \cdot \vec{v} = 0$，无旋流动 $\vec{v} = \nabla \varphi$，从而无旋不可压缩时有 $\triangle\phi = 0$，速度场直接由 Laplace 方程确定。
	流体系统的随体导数：某流体系统$\tau_0$中，若某时间其与控制体$CV$重合，则此时对某物理量$\eta$的积分的随体导数满足
	由体应变率定义为 $\frac{1}{\mathrm{d}\tau} \frac{D(\mathrm{d}\tau)}{Dt}$，$\frac{D}{Dt} \mathrm{d}\tau = \nabla \cdot \vec{v} \mathrm{d}\tau$，直接将随体导数拆分化简可得
	由于质量力有势，设其可写为 \(-\nabla U\)，则根据理想流体 \(\nabla\cdot\boldsymbol{P}=-\nabla p\)，代入动量守恒方程有
	* 无论容器何种形状，若接触空气的面压强 \(p_0\)，在此面下方距离 \(h\) (可以为负) 的面压强仍为 \(p_0 + \rho gh\)。对于多种流体，利用交界面压强相同即可计算。
	通过静力学平衡可以推出容器中静止流体，表面接触空气，压强为 \(p_0\)，则流体深度 \(h\) 处压强为 \(p_0 + \rho gh\)。[从 NS 方程的视角，由静止流体 \(\vec{v} = 0\) 也可以推出。]
	$\frac{\partial}{\partial t} \int_{CV} \rho \mathrm{d}\tau + \int_{CV} \nabla \cdot (\rho \vec{v})\mathrm{d}\tau = 0$
	* 也可利用随体导数定义考虑 \(\Delta t\) 时刻后流体团的位置计算极限，则前后重合部分的积分成为第一项，不重合部分的差成为第二项。
	第二项为全微分 $\mathrm{d}\frac{v^{2}}{2}$ 的环路积分，必然为 0，从而得证。
	第二项为全微分 $\mathrm{d}\frac{v^{2}}{2}$ 的环路积分，必然为 0，从而得证。
	* 也可利用随体导数定义考虑\(\Delta t\)时刻后流体团的位置计算极限，则前后重合部分的积分成为第一项，不重合部分的差成为第二项。 * 物理意义：实现流体系统与控制体的转换。
	\(\frac{D}{Dt} \int_{\tau_0} \eta \mathrm{d}\tau = \int_{\tau_0} \left(\frac{D\eta}{Dt} \mathrm{d}\tau + \eta \frac{D}{Dt} \mathrm{d}\tau\right)\)
	$\S4.1$ 雷诺输运公式
	四积分形式的基本方程
	$\frac{D}{Dt} \int_{\tau_{0}} \eta \mathrm{d}\tau=\frac{\partial}{\partial t} \int_{CV} \eta \mathrm{d}\tau+\int_{CV} \nabla \cdot (\eta \vec{v}) \mathrm{d}\tau=\frac{\partial}{\partial t} \int_{CV} \eta \mathrm{d}\tau+\iint_{A} (\vec{v} \cdot \vec{n}) \eta \mathrm{d}A$
	$\frac{D\Gamma}{Dt} = \oint \frac{D\vec{v}}{Dt} \cdot \mathrm{d}\vec{l}= \oint \left( \vec{f} - \frac{1}{\rho}\nabla p \right) \cdot \mathrm{d}\vec{l}= \oint (-\nabla U - \nabla \hat{P}) \cdot \mathrm{d}\vec{l}= - \oint \mathrm{d}(U + \hat{P}) = 0$
	选择多: $(T,p),(T,V),(p,V),\cdots$ $\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V, \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_S, \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p, \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_S,\cdots$
	“Entropy Measurement in Strongly Coupled Complex Plasmas”, F. Wieben and D. Block, PRL \textbf{123}, 225001 (2019)
	大量抽象的物理量，很难或者无法测量，和原始物理量没有很直观的关系。
	参数多：$T,p,V,S,N,\cdots$ 选择多：$(T,p),(T,V),(p,V),\cdots$ $\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V, \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_S, \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p, \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_S, \cdots$
	同一相仍然有 \(T,p\) 一定，于是参量为 \(T,p,n_1,n_2,\ldots,n_k\)，而广延量也即在 \(n_1\) 到 \(n_k\) 都变为 \(\lambda\) 倍时结果也成为 \(\lambda\) 倍。利用齐次函数的性质可知 \(V = \sum_i n_i v_i\)，其余小写字母同理，而 \(G = \sum_i n_i \mu_i\)。将 \((\frac{\partial G}{\partial T})_{p,n_i}\) 看作多元系的熵，即有
	\[ \begin{align} \mathrm{d}U&=T\mathrm{d}S - p\mathrm{d}V+\sum_{i} \mu_{i}\mathrm{d}n_{i}\\ \mathrm{d}F&=-S\mathrm{d}T - p\mathrm{d}V+\sum_{i} \mu_{i}\mathrm{d}n_{i}\\ \mathrm{d}H&=T\mathrm{d}S + V\mathrm{d}p+\sum_{i} \mu_{i}\mathrm{d}n_{i}\\ \mathrm{d}G&=-S\mathrm{d}T + V\mathrm{d}p+\sum_{i} \mu_{i}\mathrm{d}n_{i} \end{align} \]
	例：盐水，$k = 2, \phi = 1\Rightarrow f = 3$，需要三个强度量，如温度、压强、浓度；在考虑气态时$\phi = 2\Rightarrow f = 2$，只有温度、浓度是独立变化的：利用$\mu_{\alpha}=\mu_{\beta}$原则上可解出$p$；进一步考虑固态时$\phi = 3\Rightarrow f = 1$，只有浓度，温度、压强被三相平衡确定；若再考虑盐的结晶，$f = 0$，完全确定。
	共有 \((k + 2)(\phi - 1)\) 个约束关系，而每个相独立强度量共有 \(\phi(k + 1)\) 个，因此自由度 \(k + 2 - \phi\)。
	类似上方，需要不同相的\(T,p\)相等时，才可整体定义热力学势。假设\(\phi\)个相，\(k\)个组元，平衡需要
	\[ \begin{cases} T^{\alpha}=\cdots =T^{\phi}=T\\ p^{\alpha}=\cdots =p^{\phi}=p\\ \mu_{i}^{\alpha}=\mu_{i}^{\beta}=\cdots =\mu_{i} \end{cases} \]
	\(-S \mathrm{d}T + V \mathrm{d}p = \sum_{i} n_{i} \mathrm{d}\mu_{i}\)
	$\S3.3\ \ 气液相变$
	$T,p,\mu_1,\ldots,\mu_k$ 这 $k + 2$ 个强度量，由于 Gibbs 关系约束可知只有 $k + 1$ 个独立参量
	范德瓦尔斯方程 \(p = \frac{RT}{v - b} - \frac{a}{v^2}\)，假设其对气液相都成立，对固定的 \(T\) 可得到等温线形状如下：
	\[\begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} f(\mathbf{p})&=\int_{+\infty}^{-\infty} \frac{d^{3}(-p)}{(2 \pi)^{3}} f(-\mathbf{p})\\ &=-\int_{+\infty}^{-\infty} \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} f(-\mathbf{p})\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} f(-\mathbf{p}). \end{align}\]
	\(\delta(f(x)) = \sum_{i} \frac{\delta(x - x_{i})}{\left\|f'(x_{i})\right\|}\)
	\(\Delta(x;m)=-i\int\frac{d^{4}p}{(2\pi)^{4}}(2\pi)\varepsilon(p_{0})\delta(p^{2}-m^{2})e^{-ipx},\)
	\(\Delta(x;m)=-i\int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^{3}}\frac{1}{2E_{\mathbf{p}}}(e^{-ipx}-e^{+ipx}).\)
	3.2 数字显示基础知识
	\[\frac{dp}{dT}=\frac{\alpha^{(2)}-\alpha^{(1)}}{\kappa_T^{(2)}-\kappa_T^{(1)}}\] \[\frac{dp}{dT}=\frac{c_p^{(2)}-c_p^{(1)}}{T v(\alpha^{(2)}-\alpha^{(1)})}\]
	\(\frac{dp}{dT}=\frac{s^{(2)}-s^{(1)}}{v^{(2)}-v^{(1)}}=\frac{T(s^{(2)}-s^{(1)})}{T(v^{(2)}-v^{(1)})}=\frac{L}{T(v^{(2)}-v^{(1)})}\)
	$\mathbf{n}$级相变：根据埃伦菲斯特的分类，如果在相变点两相的化学势和化学势的一级、二级……直到$\mathrm{n}-1$级偏导数连续，但化学势的$\mathbf{n}$级偏导数存在突变，则称为$\mathrm{n}$级相变。
	连续相变：后来，人们发现热容、等温压缩系数、磁化率等在趋近相变点时往往趋于无穷，因此现在人们习惯上只把相变分为一级相变和连续相变两类，把非一级相变统称为连续相变。（p81）
	\(\alpha = \alpha' = 0, \beta = \frac{1}{2}, \gamma = \gamma' = 1, \delta = 3\)
	对于二级相变，在临界点上，有埃伦菲斯特方程
	对于一级相变，在两相平衡曲线上，有克拉珀龙方程
	- 核心观点：连续相变的特征是物质有序程度的改变及与之相伴随的物质对称性质的变化。
	狄拉克（1902 - 1984）的表述（1926）。（简介，后面会更详细一些地讨论）听了海森堡的演讲之后，意识到，可以将互易子与泊松括号相联系\([x,p]_q = i\hbar[x,p]_c\)，作为量子化条件。给出了量子力学的狄拉克表述。
	$2.4\quad \text{薛定谔方程及波函数的物理意义}$
	2.3 德布罗意的波动说（1923）（1学时）
	哈密顿原理：$\delta S = 0, S = \int_{A}^{B} Ldt$，其中，$L$为拉格朗日量。
	实验：Clinton Davisson and Lester Germer 于1927年在贝尔实验室测量了电子在镍表面的反射，发现反射电子强度对角度的依赖与X光的布拉格衍射类似。消息传到英国后，G.P.汤姆逊用金属薄做了透射实验。
	郎之万告知爱因斯坦，受到了爱因斯坦的重视，提醒玻恩注意，促使薛定谔注意。
	（作业：从哈密顿原理，推导拉格朗日方程。从费马原理推导光线在两个不同、但均匀的介质之间的折射定律。）
	所受启发：（1）爱因斯坦，光的波粒二象性。（2）哈密顿，力学运动方程（哈密顿原理），与几何光学方程（费马原理）有相似的数学结构。
	\[ [u, v]_c=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial p}-\frac{\partial u}{\partial p}\frac{\partial v}{\partial x}. \]
	推测：光子与电子在最基本的性质上是类似的，于是，电子等物质粒子也有波动性。
	（作业：在二维情况下，解释光的、由晶格长度为\(a\)的晶体所产生的布拉格衍射，求各级衍射角与入射波的波长的关系。）
	费马原理：$\delta D = 0, D = \int_{A}^{B} n dl$称为光程，其中，$n$为介质折射率，$l$指路径，$dl$为路径长度。
	对空间平移不变的拉格朗日系统，有对称性 \(q_{\epsilon}(t)=q(t)+\epsilon v\)，这是由于空间平移不变要求对此的 \(\delta L = 0\)，这里 \(v\) 为任何位形空间矢量，于是计算得 \(\delta q = v\)，取 \(l = 0\)，则有 \(v\cdot p\) 守恒 \([p\) 为各个 \(p_{\alpha}\) 拼接\(]\)，由 \(v\) 任意性知 \(p\) 守恒，也即广义动量守恒，若广义坐标取空间坐标，这里广义动量就成为普通动量。
	\[ \begin{align} \frac{\partial L}{\partial\dot{\vec{r}}}&=m\dot{\vec{r}}+\frac{e}{c}\vec{A}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{\vec{r}}}&=m\ddot{\vec{r}}+\frac{e}{c}(\dot{\vec{r}}\cdot\nabla)\vec{A}+\frac{e}{c}\dot{\vec{A}}\\ \frac{\partial L}{\partial\vec{r}}&=-e\nabla\phi+\frac{e}{c}\nabla_{r}(\dot{\vec{r}}\cdot\vec{A}) \end{align} \]
	\[ H=\sum_{\alpha} p_{\alpha} \dot{q}_{\alpha}-L \]
	* 若对特定方向旋转不变，由此即推出对特定方向角动量守恒，特别地，三维空间中有三个方向的角动量，若三维空间对任何 \(X\) 守恒即可计算得到 \(p \times q\) 守恒。
	$(\rho_{\epsilon}, \phi_{\epsilon}, z_{\epsilon}) = (\rho, \phi + \epsilon, z - a\epsilon)$
	此变分定义下计算仍可验证 $\delta L = \sum_{\alpha} (\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}} \delta q_{\alpha} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} \delta \dot{q}_{\alpha})$，因此倒数第二步成立。
	* 若条件无$\delta L = 0$，令$q_{\epsilon}(t)=q(t)+\epsilon v$可得$\delta L = v\cdot \dot{p}$，于是可取$l = v\cdot p$，最终会得出$0 = 0$的恒成立式，这意味着任何系统都有某种 “平移对称性”，而只有空间平移不变时才有意义。
	\(\vec{E} = -\nabla\Phi - \frac{1}{c} \frac{\partial\vec{A}}{\partial t}, \quad \vec{B} = \nabla \times \vec{A}\)
	计算可得此时 $\delta L = 0$，于是可取 $l = 0$，守恒荷为 $m\rho^{2}\dot{\phi}-ma\dot{z}$。 * 反之，若已知守恒量，可直接通过动力学方程验证。
	此时有对称性 \(q_{\epsilon}(t) = \mathrm{e}^{\epsilon X}q(t)\)，这是由于空间转动不变要求对此的 \(\delta L = 0\)，这里 \(X\) 为某反对称阵，于是计算得 \(\delta q = X\dot{q}\)，取 \(l = 0\)，则有 \(p\cdot X\dot{q}\) 守恒，由 \(X\) 任意性，可取 \(\alpha\beta\) 与 \(\beta\alpha\) 位置分别为 \(\pm1\)，其他为 \(0\)，得到 \(p_{\alpha}q_{\beta} - q_{\alpha}p_{\beta}\) 守恒，也即广义角动量守恒。
	对时间平移不变的拉格朗日系统，有对称性 \(q_{\epsilon}(t)=q(t + \epsilon)\)，这是由于 \(\delta L = \dot{L},\delta q_{\alpha}=\dot{q}_{\alpha}\)，因此可取 \(l = L\)，根据诺特定理得哈密顿量守恒：
	\[ =\sum_{\alpha}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}} \delta q_{\alpha}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} \delta \dot{q}_{\alpha}\right)-\delta L=\delta L-\delta L = 0 \]
	对空间转动不变的拉格朗日系统，我们不加证明地使用如下结论：$\mathrm{e}^{X}$ 是 $n$ 阶实反对称阵到 $n$ 阶特殊正交阵的满射，且对给定的 $X$，$\mathrm{e}^{\epsilon X},\epsilon \in \mathbb{R}$ 的“旋转方向”一致 [此处事实上是高维旋转方向一致的定义，在三维时即为转轴相同]。

\[ c_{nm}=-\frac{d_{nm}}{\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{m\pi}{b}\right)^2} \]

\[ -\sum_{n = 1}^{\infty}\sum_{m = 1}^{\infty}c_{nm}\left[\left(\frac{n\pi}{a}\right)^{2}+\left(\frac{m\pi}{b}\right)^{2}\right]\sin\frac{n\pi}{a}x\sin\frac{m\pi}{b}y=\sum_{n = 1}^{\infty}\sum_{m = 1}^{\infty}d_{nm}\sin\frac{n\pi}{a}x\sin\frac{m\pi}{b}y \]

\[T_n(0) = 0\quad T_n'(0) = 0\]

将 $u(x,t)$ 展开式代入初始条件，得

\[ \begin{cases} \Delta_{2}u = 0, (x,y) \in \Omega \\ u(x,-x) = \varphi(x) \end{cases} \]

\[ \begin{cases} u_{xx} + a^{2}u_{yy} = 0, (-\infty < x < +\infty, y < 1)\\ \left.u\right|_{y = 1}=\varphi(x) \end{cases} \]

1. 写出 D 内泊松方程第一边值问题的 $Green$ 函数所满足的定解问题，并求出 $Green$ 函数.

1.7.6 2020 春数理方程 B 毕业班期末第六题

2. 求出区域$\Omega$的定解问题

1. 求出区域 $\Omega$ 的 $Green$ 函数.

V.4 晶体的三阶极张量性质（压电模量 $d$，二级非线性极化率$\chi^{2}$，线性电光系数 $\gamma$） ....................................................... 466 V.5 具有Kleinman全对称性的晶体的二级非线性极化率张量 ......... 469 V.6 晶体的四阶极张量性质 ....................................................... 471 V.7 晶体的弹性劲度系数和弹性顺服系数 ....................................... 474 参考文献............................................................................. 476

\begin{enumerate}[VI.] \item 1 二阶张量主轴化的解析方法 \dotfill 477 \item 2 矩阵与数值解法 \dotfill 480 \begin{enumerate}[VI. 2.] \item 1 用矩阵方法由实验数据求解 $[a_{ij}]$ 各独立分量 \dotfill 480 \item 2 利用逐步逼近法求主轴和主系数 \dotfill 483 \end{enumerate} \item 参考文献 \dotfill 485 \end{enumerate}

VIII. 1.1 C-G 级数与 C-G 系数........................................ 492 VIII. 1.2 C-G 系数的计算 .............................................. 493

VIII. 2.1 普通基函数的计算\dotfill 494 VIII. 2.2 对称化基函数的计算\dotfill 495 VIII. 2.3 部分对称基函数的计算\dotfill 495 VIII. 2.4 张量元的读取\dotfill 496

\[J_{z}^{-}(\vec{r}) = \frac{\phi(\vec{r})}{4} + \frac{1}{6\Sigma_{s}} \frac{\partial\phi(\vec{r})}{\partial z}\]

对$\vec{\Omega}$的积分沿$(\vec{\Omega}\cdot\vec{e}_{z}) < 0$的半个空间积分，得：

$\S 3.2$ 斐克定律

即：每秒自$xoy$平面（沿正$Z$方向）自上向下穿过$dA$上单位面积的中子数。

$J_{z}^{-}$：沿Z轴负方向的分中子流密度，

$\Rightarrow:$ 假设 $\dim X=\infty$，则存在一列 $\{e_n:n\in\mathbb{N}\}$ 线性无关，令 $X_n = \mathrm{Span}(e_1,\cdots,e_n)$，则存在一列（闭）子空间 $X_1\subset X_2\subset\cdots$，根据 Riesz 引理，取 $\varepsilon = 1/2$，则对任意 $n$，存在 $x_n\in X_n\cap S_1$ 使得 $d(x_n,X_{n - 1})\geqslant1/2$，即 $\{x_n\}\subset S_1$ 但对任意 $n\neq m$ 有 $\|x_n - x_m\|\geqslant1/2$，故 $S_1$ 不列紧.

注意到子空间中的单位球实际上是其与大空间单位球之交，因此根据 Riesz 引理，对一列闭子空间 $X_1\subsetneq X_2\subsetneq\cdots$，可规定 $\varepsilon > 0$，取得 $x_n\in X_n\cap S_1$ 满足 $d(x_n,X_{n - 1})\geqslant 1-\varepsilon$，由此对任意 $m,n$ 有 $\|x_n - x_m\|\geqslant 1-\varepsilon$，即得大空间中单位球面上的一个无收敛子列的点列. 由此可证

证明 $\Leftarrow$：考虑同构 $T: X \to \mathbb{F}^n$（同前述定理中的构造），则存在 $C_1, C_2 > 0$ 使得

取$\{x_{n}\}\subset [x], \{y_{n}\}\subset [y]$ 使得

\[ C_{1}|Tx| \leqslant \|x\| \leqslant C_{2}|Tx|, \]

证明 $Y \subsetneq X$ 说明存在 $x \in X \setminus Y$，因此 $d = d(x, Y) > 0$ (结合 $Y$ 闭). 对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $y_0 \in Y$ 使得

证明首先证明这确实是一个范数，齐次是显然的，若$\|[x]\|_* = 0$，则存在$x_n\in [x]$使得$\|x_n\|\to 0\Rightarrow x_n\to 0$，$X_0$的闭性说明$0\in [x]$，因此$[x]=[0]$，得证. 再证三角不等式，首先

$\|e - z\|=\frac{1}{\|x - y_0\|}\|x - (y_0+\|x - y_0\|z)\|\geqslant\frac{1 - \varepsilon}{d}\cdot d = 1 - \varepsilon,$

$\left|\left|[x]+[y]\right|\right|_*=\left|\left|[x + y]\right|\right|_*=\inf_{z\in[x + y]}\|z\|,$

\[ d \leqslant \left\|x - y_0\right\| \leqslant \frac{d}{1 - \varepsilon}, \]

$\|[x]\|_* = \inf_{y\in[x]} \|y\|$

$\lim_{n \to \infty} \left\lVert x_n \right\rVert = \left\lVert [x] \right\rVert_*, \quad \lim_{n \to \infty} \left\lVert y_n \right\rVert = \left\lVert [y] \right\rVert_*,$

继续假设在单连通区域中，回顾涡量定义有 $\Gamma = \iint_{A} \vec{\Omega} \cdot \vec{n}\mathrm{d}A$。在速度环量守恒成立的条件下，由于 $\Gamma$ 为常数，只要某刻是无旋流动，所有 $\Gamma = 0$，此后一直都是无旋流动。[从空间角度，即上游无旋，下游永远无旋。]

* 不可压缩流动 $\nabla \cdot \vec{v} = 0$，无旋流动 $\vec{v} = \nabla \varphi$，从而无旋不可压缩时有 $\triangle\phi = 0$，速度场直接由 Laplace 方程确定。

流体系统的随体导数：某流体系统$\tau_0$中，若某时间其与控制体$CV$重合，则此时对某物理量$\eta$的积分的随体导数满足

由体应变率定义为 $\frac{1}{\mathrm{d}\tau} \frac{D(\mathrm{d}\tau)}{Dt}$，$\frac{D}{Dt} \mathrm{d}\tau = \nabla \cdot \vec{v} \mathrm{d}\tau$，直接将随体导数拆分化简可得

由于质量力有势，设其可写为 $-\nabla U$，则根据理想流体 $\nabla\cdot\boldsymbol{P}=-\nabla p$，代入动量守恒方程有

* 无论容器何种形状，若接触空气的面压强 $p_0$，在此面下方距离 $h$ (可以为负) 的面压强仍为 $p_0 + \rho gh$。对于多种流体，利用交界面压强相同即可计算。

通过静力学平衡可以推出容器中静止流体，表面接触空气，压强为 $p_0$，则流体深度 $h$ 处压强为 $p_0 + \rho gh$。[从 NS 方程的视角，由静止流体 $\vec{v} = 0$ 也可以推出。]

$\frac{\partial}{\partial t} \int_{CV} \rho \mathrm{d}\tau + \int_{CV} \nabla \cdot (\rho \vec{v})\mathrm{d}\tau = 0$

* 也可利用随体导数定义考虑 $\Delta t$ 时刻后流体团的位置计算极限，则前后重合部分的积分成为第一项，不重合部分的差成为第二项。

第二项为全微分 $\mathrm{d}\frac{v^{2}}{2}$ 的环路积分，必然为 0，从而得证。

* 也可利用随体导数定义考虑$\Delta t$时刻后流体团的位置计算极限，则前后重合部分的积分成为第一项，不重合部分的差成为第二项。 * 物理意义：实现流体系统与控制体的转换。

$\frac{D}{Dt} \int_{\tau_0} \eta \mathrm{d}\tau = \int_{\tau_0} \left(\frac{D\eta}{Dt} \mathrm{d}\tau + \eta \frac{D}{Dt} \mathrm{d}\tau\right)$

$\S4.1$ 雷诺输运公式

四积分形式的基本方程

$\frac{D}{Dt} \int_{\tau_{0}} \eta \mathrm{d}\tau=\frac{\partial}{\partial t} \int_{CV} \eta \mathrm{d}\tau+\int_{CV} \nabla \cdot (\eta \vec{v}) \mathrm{d}\tau=\frac{\partial}{\partial t} \int_{CV} \eta \mathrm{d}\tau+\iint_{A} (\vec{v} \cdot \vec{n}) \eta \mathrm{d}A$

$\frac{D\Gamma}{Dt} = \oint \frac{D\vec{v}}{Dt} \cdot \mathrm{d}\vec{l}= \oint \left( \vec{f} - \frac{1}{\rho}\nabla p \right) \cdot \mathrm{d}\vec{l}= \oint (-\nabla U - \nabla \hat{P}) \cdot \mathrm{d}\vec{l}= - \oint \mathrm{d}(U + \hat{P}) = 0$

选择多: $(T,p),(T,V),(p,V),\cdots$ $\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V, \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_S, \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p, \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_S,\cdots$

“Entropy Measurement in Strongly Coupled Complex Plasmas”, F. Wieben and D. Block, PRL \textbf{123}, 225001 (2019)

大量抽象的物理量，很难或者无法测量，和原始物理量没有很直观的关系。

参数多：$T,p,V,S,N,\cdots$ 选择多：$(T,p),(T,V),(p,V),\cdots$ $\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V, \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_S, \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p, \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_S, \cdots$

同一相仍然有 $T,p$ 一定，于是参量为 $T,p,n_1,n_2,\ldots,n_k$，而广延量也即在 $n_1$ 到 $n_k$ 都变为 $\lambda$ 倍时结果也成为 $\lambda$ 倍。利用齐次函数的性质可知 $V = \sum_i n_i v_i$，其余小写字母同理，而 $G = \sum_i n_i \mu_i$。将 $(\frac{\partial G}{\partial T})_{p,n_i}$ 看作多元系的熵，即有

\[ \begin{align*} \mathrm{d}U&=T\mathrm{d}S - p\mathrm{d}V+\sum_{i} \mu_{i}\mathrm{d}n_{i}\\ \mathrm{d}F&=-S\mathrm{d}T - p\mathrm{d}V+\sum_{i} \mu_{i}\mathrm{d}n_{i}\\ \mathrm{d}H&=T\mathrm{d}S + V\mathrm{d}p+\sum_{i} \mu_{i}\mathrm{d}n_{i}\\ \mathrm{d}G&=-S\mathrm{d}T + V\mathrm{d}p+\sum_{i} \mu_{i}\mathrm{d}n_{i} \end{align*} \]

例：盐水，$k = 2, \phi = 1\Rightarrow f = 3$，需要三个强度量，如温度、压强、浓度；在考虑气态时$\phi = 2\Rightarrow f = 2$，只有温度、浓度是独立变化的：利用$\mu_{\alpha}=\mu_{\beta}$原则上可解出$p$；进一步考虑固态时$\phi = 3\Rightarrow f = 1$，只有浓度，温度、压强被三相平衡确定；若再考虑盐的结晶，$f = 0$，完全确定。

共有 $(k + 2)(\phi - 1)$ 个约束关系，而每个相独立强度量共有 $\phi(k + 1)$ 个，因此自由度 $k + 2 - \phi$。

类似上方，需要不同相的$T,p$相等时，才可整体定义热力学势。假设$\phi$个相，$k$个组元，平衡需要

\[ \begin{cases} T^{\alpha}=\cdots =T^{\phi}=T\\ p^{\alpha}=\cdots =p^{\phi}=p\\ \mu_{i}^{\alpha}=\mu_{i}^{\beta}=\cdots =\mu_{i} \end{cases} \]

$-S \mathrm{d}T + V \mathrm{d}p = \sum_{i} n_{i} \mathrm{d}\mu_{i}$

$\S3.3\ \ 气液相变$

$T,p,\mu_1,\ldots,\mu_k$ 这 $k + 2$ 个强度量，由于 Gibbs 关系约束可知只有 $k + 1$ 个独立参量

范德瓦尔斯方程 $p = \frac{RT}{v - b} - \frac{a}{v^2}$，假设其对气液相都成立，对固定的 $T$ 可得到等温线形状如下：

\[\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} f(\mathbf{p})&=\int_{+\infty}^{-\infty} \frac{d^{3}(-p)}{(2 \pi)^{3}} f(-\mathbf{p})\\ &=-\int_{+\infty}^{-\infty} \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} f(-\mathbf{p})\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} f(-\mathbf{p}). \end{align*}\]

$\delta(f(x)) = \sum_{i} \frac{\delta(x - x_{i})}{\left|f'(x_{i})\right|}$

$\Delta(x;m)=-i\int\frac{d^{4}p}{(2\pi)^{4}}(2\pi)\varepsilon(p_{0})\delta(p^{2}-m^{2})e^{-ipx},$

$\Delta(x;m)=-i\int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^{3}}\frac{1}{2E_{\mathbf{p}}}(e^{-ipx}-e^{+ipx}).$

3.2 数字显示基础知识

\[\frac{dp}{dT}=\frac{\alpha^{(2)}-\alpha^{(1)}}{\kappa_T^{(2)}-\kappa_T^{(1)}}\] \[\frac{dp}{dT}=\frac{c_p^{(2)}-c_p^{(1)}}{T v(\alpha^{(2)}-\alpha^{(1)})}\]

$\frac{dp}{dT}=\frac{s^{(2)}-s^{(1)}}{v^{(2)}-v^{(1)}}=\frac{T(s^{(2)}-s^{(1)})}{T(v^{(2)}-v^{(1)})}=\frac{L}{T(v^{(2)}-v^{(1)})}$

$\mathbf{n}$级相变：根据埃伦菲斯特的分类，如果在相变点两相的化学势和化学势的一级、二级……直到$\mathrm{n}-1$级偏导数连续，但化学势的$\mathbf{n}$级偏导数存在突变，则称为$\mathrm{n}$级相变。

连续相变：后来，人们发现热容、等温压缩系数、磁化率等在趋近相变点时往往趋于无穷，因此现在人们习惯上只把相变分为一级相变和连续相变两类，把非一级相变统称为连续相变。（p81）

$\alpha = \alpha' = 0, \beta = \frac{1}{2}, \gamma = \gamma' = 1, \delta = 3$

对于二级相变，在临界点上，有埃伦菲斯特方程

对于一级相变，在两相平衡曲线上，有克拉珀龙方程

- 核心观点：连续相变的特征是物质有序程度的改变及与之相伴随的物质对称性质的变化。

狄拉克（1902 - 1984）的表述（1926）。（简介，后面会更详细一些地讨论）听了海森堡的演讲之后，意识到，可以将互易子与泊松括号相联系$[x,p]_q = i\hbar[x,p]_c$，作为量子化条件。给出了量子力学的狄拉克表述。

$2.4\quad \text{薛定谔方程及波函数的物理意义}$

2.3 德布罗意的波动说（1923）（1学时）

哈密顿原理：$\delta S = 0, S = \int_{A}^{B} Ldt$，其中，$L$为拉格朗日量。

实验：Clinton Davisson and Lester Germer 于1927年在贝尔实验室测量了电子在镍表面的反射，发现反射电子强度对角度的依赖与X光的布拉格衍射类似。消息传到英国后，G.P.汤姆逊用金属薄做了透射实验。

郎之万告知爱因斯坦，受到了爱因斯坦的重视，提醒玻恩注意，促使薛定谔注意。

（作业：从哈密顿原理，推导拉格朗日方程。从费马原理推导光线在两个不同、但均匀的介质之间的折射定律。）

所受启发：（1）爱因斯坦，光的波粒二象性。（2）哈密顿，力学运动方程（哈密顿原理），与几何光学方程（费马原理）有相似的数学结构。

\[ [u, v]_c=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial p}-\frac{\partial u}{\partial p}\frac{\partial v}{\partial x}. \]

推测：光子与电子在最基本的性质上是类似的，于是，电子等物质粒子也有波动性。

（作业：在二维情况下，解释光的、由晶格长度为$a$的晶体所产生的布拉格衍射，求各级衍射角与入射波的波长的关系。）

费马原理：$\delta D = 0, D = \int_{A}^{B} n dl$称为光程，其中，$n$为介质折射率，$l$指路径，$dl$为路径长度。

对空间平移不变的拉格朗日系统，有对称性 $q_{\epsilon}(t)=q(t)+\epsilon v$，这是由于空间平移不变要求对此的 $\delta L = 0$，这里 $v$ 为任何位形空间矢量，于是计算得 $\delta q = v$，取 $l = 0$，则有 $v\cdot p$ 守恒 $[p$ 为各个 $p_{\alpha}$ 拼接$]$，由 $v$ 任意性知 $p$ 守恒，也即广义动量守恒，若广义坐标取空间坐标，这里广义动量就成为普通动量。

\[ \begin{align*} \frac{\partial L}{\partial\dot{\vec{r}}}&=m\dot{\vec{r}}+\frac{e}{c}\vec{A}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{\vec{r}}}&=m\ddot{\vec{r}}+\frac{e}{c}(\dot{\vec{r}}\cdot\nabla)\vec{A}+\frac{e}{c}\dot{\vec{A}}\\ \frac{\partial L}{\partial\vec{r}}&=-e\nabla\phi+\frac{e}{c}\nabla_{r}(\dot{\vec{r}}\cdot\vec{A}) \end{align*} \]

\[ H=\sum_{\alpha} p_{\alpha} \dot{q}_{\alpha}-L \]

* 若对特定方向旋转不变，由此即推出对特定方向角动量守恒，特别地，三维空间中有三个方向的角动量，若三维空间对任何 $X$ 守恒即可计算得到 $p \times q$ 守恒。

$(\rho_{\epsilon}, \phi_{\epsilon}, z_{\epsilon}) = (\rho, \phi + \epsilon, z - a\epsilon)$

*此变分定义下计算仍可验证 $\delta L = \sum_{\alpha} (\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}} \delta q_{\alpha} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} \delta \dot{q}_{\alpha})$，因此倒数第二步成立。*

* 若条件无$\delta L = 0$，令$q_{\epsilon}(t)=q(t)+\epsilon v$可得$\delta L = v\cdot \dot{p}$，于是可取$l = v\cdot p$，最终会得出$0 = 0$的恒成立式，这意味着任何系统都有某种 “平移对称性”，而只有空间平移不变时才有意义。

$\vec{E} = -\nabla\Phi - \frac{1}{c} \frac{\partial\vec{A}}{\partial t}, \quad \vec{B} = \nabla \times \vec{A}$

计算可得此时 $\delta L = 0$，于是可取 $l = 0$，守恒荷为 $m\rho^{2}\dot{\phi}-ma\dot{z}$。 * 反之，若已知守恒量，可直接通过动力学方程验证。

此时有对称性 $q_{\epsilon}(t) = \mathrm{e}^{\epsilon X}q(t)$，这是由于空间转动不变要求对此的 $\delta L = 0$，这里 $X$ 为某反对称阵，于是计算得 $\delta q = X\dot{q}$，取 $l = 0$，则有 $p\cdot X\dot{q}$ 守恒，由 $X$ 任意性，可取 $\alpha\beta$ 与 $\beta\alpha$ 位置分别为 $\pm1$，其他为 $0$，得到 $p_{\alpha}q_{\beta} - q_{\alpha}p_{\beta}$ 守恒，也即广义角动量守恒。

对时间平移不变的拉格朗日系统，有对称性 $q_{\epsilon}(t)=q(t + \epsilon)$，这是由于 $\delta L = \dot{L},\delta q_{\alpha}=\dot{q}_{\alpha}$，因此可取 $l = L$，根据诺特定理得哈密顿量守恒：

\[ =\sum_{\alpha}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}} \delta q_{\alpha}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} \delta \dot{q}_{\alpha}\right)-\delta L=\delta L-\delta L = 0 \]

对空间转动不变的拉格朗日系统，我们不加证明地使用如下结论：$\mathrm{e}^{X}$ 是 $n$ 阶实反对称阵到 $n$ 阶特殊正交阵的满射，且对给定的 $X$，$\mathrm{e}^{\epsilon X},\epsilon \in \mathbb{R}$ 的“旋转方向”一致 [此处事实上是高维旋转方向一致的定义，在三维时即为转轴相同]。