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3.4 狄拉克方程(束缚态).............................. |
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6.1 Lippmann-Schwinger 方程\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots （582） |
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5.2 D函数\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots (577) |
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附录五 参考文献 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots (581) |
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1. 径向方程(542)
2. 球对称方势阱(545) |
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附录四 单粒子波动方程(散射态) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots (548) |
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附录六 量子力学补充\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots 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附录四 参考文献 ...... （ |
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1. 球对称势(531) 2. 球对称方势阱(533)
3. 球对称谐振子势(534) 4. 线性势(535) 5. 库仑势(536) |
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1. 引导性例子(590) 2. 玻色子算符(592) 3. 费米子算符(593) 4. 多体哈密顿量(593) |
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4.3 狄拉克方程(散射态) |
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附录五 有关角动量的一些公式…… …… …… …… …… …… …… …… …… ( 568) |
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5.1 Clebsch-Gordon 系数 \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots (568) |
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4.1 薛定谔方程( 散射态) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots (548) |
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6.3 二次量子化\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots （590 |
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4.2 Klein-Gordon 方程(散射态) ...... |
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1. 核物质中的狄拉克方程(565) 2. 狄拉克唯象学(566)
附录四 参考文献 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots(567) |
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5.1 Clebsch-Gordon 系数 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots (568) |
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1. 分波法(549) 2. 有效力程(551) 3. 库仑势散射(552)
4. 复势的散射(555) 5. 包含自旋-轨道耦合势的散射相移(5 |
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1. 球对称势(531)
2. 球对称方势阱(533) |
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3.3 Klein-Gordon 方程( 束缚态) ........................... ( |
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5.3 球张量与 Wigner-Eckart 定理 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots (580) |
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1. 定义(587) 2. 箱中的自由核子(588) 3. 核子-核势散射(589) |
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1. 积分方程(582) 2. 算符形式解(584) 3. T 矩阵方程(586) |
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6.2 黄金规则与态密度 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots (587 |
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1. 核物质中的狄拉克方程( 565) 2. 狄拉克唯象学( 566) |
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Carbon materials |
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graphene Metallic properties 金属性 |
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diamond Insulator 绝缘体 |
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新的发展 |
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$\bullet 超导：BCS理论，高温超导$ |
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$\bullet$ 整数和分数量子霍尔效应 |
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$\bullet$ 强关联体系 |
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$\bullet$ 介观物理和量子输运 |
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$\bullet$ 拓扑体系和新量子物态 |
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\[\oint_{L} \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = \sum_{i} I_{0i} = \iint_{S} \boldsymbol{j}_{0} \cdot d\boldsymbol{S}.\] |
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2.8 铁磁性 |
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内容 2.8.1. 由于交换作用的存在，即使没有外磁场的作用，铁磁质也有一定的磁化强度，称为自发磁化强度. |
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内容 2.7.5. 磁化强度和磁化电流有普遍关系为 $\oint_{L} \boldsymbol{M} \cdot d \boldsymbol{l}=\sum_{i n n} I^{\prime}$. 运用于磁化介质的表面我们可以得到 $\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{e}_{n}=\boldsymbol{i}^{\prime}$. |
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内容 2.7.4. 由于磁化产生的电流称为磁化电流. 考虑均匀磁质的长直圆柱磁介质，则$|\sum \boldsymbol{m}| = i'lS$，则$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}_{0}+\boldsymbol{B}'=\boldsymbol{B}_{0}+\mu_{0}\boldsymbol{i}'=\boldsymbol{B}_{0}+\mu_{0}\boldsymbol{M}$. |
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证明. 考虑真空的安培环路定理得 $\oint_{L} \boldsymbol{B} \cdot d \boldsymbol{l}=\mu_{0}\left(\sum_{i} I_{0 i}+\sum_{i} I_{i}^{\prime}\right)$, 整理即可. |
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内容 2.7.3. 磁介质的磁化强度定义为 \(M = \frac{\sum m}{\Delta \tau}\)，其中 \(\sum m\) 是体积 \(\Delta \tau\) 内的分子磁矩或分子感生磁矩之和. |
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内容2.7.7. 对于各向同性的顺磁质和抗磁质，我们有\(M = \chi_mH\)，称\(\chi_m\)为磁化率. 那么得到\(B = \mu_0(1 + \chi_m)H\)，称\(\mu_r = 1 + \chi_m\)为相对磁导率，称\(\mu = \mu_0\mu_r\)为绝对磁导率. |
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内容 2.7.6 (普遍安培环路定理). 定义磁场强度 $H = \frac{B}{\mu_0} - M$, 则有 |
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2.同时不同地出发-小速追大速（1落后2距离为\(S_{0}\)） |
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本节小结 |
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2.同时不同地出发-大速追小速（2落后1距离为\(S_{0}\)） |
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最初：\(2\)在\(1\)后面，\(v_{2}>v_{1}\) $\Rightarrow$ \(2\)在追\(1\)，\(1,2\)距离减小 |
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\[\tilde{g}(x)=
\begin{cases}
g(x),& x \in \{x_1,\cdots ,x_n\}\\
0,& x \notin \{x_1,\cdots ,x_n\}
\end{cases}\] |
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说明$f_0\in A$, 但$A$不是$X$中的闭集, 或者说$A^c$不是开集, 任取$g\in A^c$, $U$为$g$任意开邻域, 存在$x_1,\cdots,x_n,\varepsilon > 0$使得$\omega(g;x_1,\cdots,x_n;\varepsilon)\subset U$, 但是若定义 |
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2.2.1 一个反例 |
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\(\{x : f_0(x) \neq 0\} \subset \bigcup_{n = 1}^{\infty} \{x : f_n(x) \neq 0\}\) |
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设 \(A\subset X\)，\(x\in X\)，若存在点列 \(\{x_{n}\}\subset A\) 使得 \(x_{n}\to x\)，则称 \(x\) 为 \(A\) 的一个序列极限点. |
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设$\mathcal{N}(x)$为$x$邻域的集合，称$\mathcal{U}\subset \mathcal{N}(x)$为$x$的一个邻域基，若$x$的任意邻域都包含某个$\mathcal{U}$中的元素，或者说对任意$N\in \mathcal{N}(x)$，存在$U\in \mathcal{U}$使得$U\subset N.$ |
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这里的问题在于，对一般的拓扑空间无法刻画“越来越小的邻域”这一概念，由此也可以看出，\(x \in \overline{A}\)并不意味\(A\)中存在收敛到\(x\)的子列. 但二者在结合第一可数性后可以得到一些补救. |
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在度量空间中，闭集可以通过 “对序列极限封闭” 刻画，在一般拓扑空
例 2.1 设 \(X = \mathcal{M}([0,1],\mathbb{R})\)，考虑逐点收敛拓扑 \((X,\mathcal{T}_{p.c.})\)，令 |
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则$\tilde{g} \subset A\cap \omega(g;x_1,\cdots,x_n;\varepsilon) \subset A\cap U$，即$g \in A^c$的任意开邻域$U$都包含$A$中元素，故$A^c$不是开集，$A$不是闭集． |
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证明 只需证明$\Leftarrow$：若$F$不是闭集，则$F^{c}$不是开集，即存在$x_{0}\in F^{c}$，对任意$n\in\mathbb{N}$，$B(x_{0},1/n)\cap F\neq\emptyset$，因此取$x_{n}\in B(x_{0},1/n)\cap F$可知$x_{n}\to x_{0}\Rightarrow x_{0}\in F$，矛盾. |
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2.2.2 第一可数空间 |
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2.2 可数公理 |
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19、将下列函数在指定的环域内展成罗朗级数。 |
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进一步，
\[
\begin{align*}
&\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(z - 1)^{2n+1}}{4^{n + 1}}+\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(z - 1)^{2n}}{4^{n + 1}}\\
=&\sum_{n\text{=奇数}}^{\infty}\frac{(-1)^{\frac{n - 1}{2}}}{2^{n+1}}(z - 1)^{n}+\sum_{n\text{=偶数}}^{\infty}\frac{(-1)^{\frac{n}{2}}}{2^{n+2}}(z - 1)^{n}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{\frac{1}{2}\left[n-\frac{1-(-1)^{n}}{2}\right]}}{2^{n+\frac{3+(-1)^{n}}{2}}}(z - 1)^{n}
\end{align*}
\]
所以\(\frac{z}{z^{2}-2z + 5}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{\frac{1}{2}\left[n-\frac{1-(-1)^{n}}{2}\right]}}{2^{n+\frac{3+(-1)^{n}}{2}}}(z - 1)^{n}\quad|z - 1|<2\)。 |
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a. $\frac{z + 1}{z^{2}(z - 1)},0 < |z| < 1,1 < |z| < \infty$; b. $\frac{z^{2}-2z + 5}{(z - 2)(z^{2}+1)},1 < |z| < 2$。 |
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b. \(\frac{z^{2}-2z + 5}{(z - 2)(z^{2}+1)}=\frac{1}{z - 2}-\frac{2}{z^{2}+1}\)
在\(1<|z|<2\)内，\(\frac{|z|}{2}<1\)，且\(\left|\frac{1}{z}\right|<1\Rightarrow\left|\frac{1}{z^{2}}\right|<1\)，
\(\therefore\frac{1}{z - 2}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{z}{2}}=-\frac{1}{2}\sum_{n = 0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^{n}=-\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{z^{n}}{2^{n + 1}}\)。 |
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解: a. \(\frac{z + 1}{z^{2}(z - 1)}=\frac{z - 1+2}{z^{2}(z - 1)}=\frac{1}{z^{2}}+\frac{2}{z^{2}(z - 1)}\)。
在\(0 < |z| < 1\)内, \(\frac{1}{z - 1}=-\frac{1}{1 - z}=-\sum_{n = 0}^{\infty}z^{n}\)，
\(\therefore\frac{z + 1}{z^{2}(z - 1)}=\frac{1}{z^{2}}-2\sum_{n = 0}^{\infty}z^{n - 2}=\frac{1}{z^{2}}-2\sum_{n = - 2}^{\infty}z^{n}=-\frac{1}{z^{2}}-2\sum_{n = - 1}^{\infty}z^{n}\)。
在\(1 < |z| < \infty\)内, \(\left|\frac{1}{z}\right| < 1\)，\(\frac{1}{z - 1}=\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=\frac{1}{z}\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{z^{n}}=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{z^{n}}\)，
\(\therefore\frac{z + 1}{z^{2}(z - 1)}=\frac{1}{z^{2}}+2\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{z^{n + 2}}=\frac{1}{z^{2}}+2\sum_{n = 3}^{\infty}\frac{1}{z^{n}}\)。 |
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解: a. \(\frac{z + 1}{z^{2}(z - 1)}=\frac{z - 1+2}{z^{2}(z - 1)}=\frac{1}{z^{2}}+\frac{2}{z^{2}(z - 1)}\)。
在\(0 < |z| < 1\)内, \(\frac{1}{z - 1}=-\frac{1}{1 - z}=-\sum_{n = 0}^{\infty}z^{n}\)，
\(\therefore\frac{z + 1}{z^{2}(z - 1)}=\frac{1}{z^{2}}-2\sum_{n = 0}^{\infty}z^{n - 2}=\frac{1}{z^{2}}-2\sum_{n=-2}^{\infty}z^{n}=-\frac{1}{z^{2}}-2\sum_{n=-1}^{\infty}z^{n}\)。
在\(1 < |z| < \infty\)内, \(\left|\frac{1}{z}\right| < 1\)，\(\frac{1}{z - 1}=\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=\frac{1}{z}\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{z^{n}}=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{z^{n}}\)，
\(\therefore\frac{z + 1}{z^{2}(z - 1)}=\frac{1}{z^{2}}+2\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{z^{n + 2}}=\frac{1}{z^{2}}+2\sum_{n = 3}^{\infty}\frac{1}{z^{n}}\)。
b. \(\frac{z^{2}-2z + 5}{(z - 2)(z^{2}+1)}=\frac{1}{z - 2}-\frac{2}{z^{2}+1}\)
在\(1 < |z| < 2\)内，\(\left|\frac{z}{2}\right| < 1\)，且\(\left|\frac{1}{z}\right| < 1\Rightarrow\left|\frac{1}{z^{2}}\right| < 1\)，
\(\therefore\frac{1}{z - 2}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{z}{2}}=-\frac{1}{2}\sum_{n = 0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^{n}=-\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{z^{n}}{2^{n + 1}}\)。 |
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\[
\begin{align*}
u_{2}(r,\theta,\phi)=\sum_{m = 0}^{\infty}\sum_{l = m}^{\infty}&\left[\left(\frac{r}{a}\right)^{l}(\tilde{A}_{lm}\cos m\phi+\tilde{B}_{lm}\sin m\phi)\right.\\
&\left.+\left(\frac{a}{r}\right)^{l + 1}(\tilde{C}_{lm}\cos m\phi+\tilde{D}_{lm}\sin m\phi)\right]\mathrm{P}_{l}^{m}(\cos\theta).
\end{align*}
\] |
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\[u_{2}(r,\theta,\phi)=\frac{u_{0}}{6}\left(\frac{a}{r}\right)^{3}\mathrm{P}_{2}^{2}(\cos\theta)\sin2\phi.\] |
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\((5.25)\) |
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\((5.24)\) |
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\((5.22)\) |
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\((5.23)\) |
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\((5.21)\) |
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头三个虚宗量 Bessel 函数 $\mathrm{I}_{m}(x)$ 和头三个虚宗量 Hankel 函数 $\mathrm{K}_{m}(x)$ 的图像如图 13 所示。 |
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头三个 Bessel 函数 $\mathrm{J}_{m}(x)$ 和头三个 Neumann 函数 $\mathrm{N}_{m}(x)$ 的图像如图 12 所示。 |
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其次，求解球外 \((r > a)\) 的电势，将一般解写作 |
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头三个 Bessel 函数 \( \mathrm{J}_{m}(x) \) 和头三个 Neumann 函数 \( \mathrm{N}_{m}(x) \) 的图像如图 12 所示。
头三个虚宗量 Bessel 函数 \( \mathrm{I}_{m}(x) \) 和头三个虚宗量 Hankel 函数 \( \mathrm{K}_{m}(x) \) 的图像如图 13 所示。 |
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其次，求解球外 $(r > a)$ 的电势，将一般解写作 |
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由于无穷远 ($r = \infty$) 处的电势已取为零, 故对所有 $l$ 和 $m$ 均有 $\tilde{A}_{lm} = \tilde{B}_{lm} = 0$。从而, 球外的解应为 |
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\[
u_{2}(a, \theta, \phi)=\sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{l = m}^{\infty}\left(\tilde{C}_{l m} \cos m \phi+\tilde{D}_{l m} \sin m \phi\right) \mathrm{P}_{l}^{m}(\cos \theta)=\frac{u_{0}}{6} \mathrm{P}_{2}^{2}(\cos \theta) \sin 2 \phi.
\] |
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6 柱函数图像 |
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\(\tilde{D}_{2,2} = \frac{u_0}{6},\) |
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其它系数均为零。于是得到球外的解为 |
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可见, 非零系数只有 |
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\[
u_{2}(r,\theta,\phi)=\sum_{m = 0}^{\infty}\sum_{l = m}^{\infty}\left(\frac{a}{r}\right)^{l + 1}(\tilde{C}_{lm}\cos m\phi+\tilde{D}_{lm}\sin m\phi)\mathrm{P}_{l}^{m}(\cos\theta).
\] |
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视频流是由带固定时序间隔的一系列显示帧组成。这种时序间隔可以使用每秒帧数（FPS）或Hz来描述。传统的电影院投影机使用24 FPS或24 Hz作为时序间隔。现代数字显示器（例如智能手机）使用60Hz或更高的帧间隔频率。 |
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\begin{align*}
\int_{a}^{b} \cos \left(\frac{2n\pi}{b - a} \left(x - \frac{a + b}{2} \right)\right) \mathrm{d}x &=
\begin{cases}
b - a, & n = 0 \\
0, & n \neq 0
\end{cases}\\
\int_{a}^{b} \sin \left(\frac{2n\pi}{b - a} \left(x - \frac{a + b}{2} \right)\right) \mathrm{d}x &= 0, \quad n \in \mathbb{Z}\\
\int_{a}^{b} \cos \left(\frac{2m\pi}{b - a} \left(x - \frac{a + b}{2} \right)\right) \cos \left(\frac{2n\pi}{b - a} \left(x - \frac{a + b}{2} \right)\right) \mathrm{d}x &=
\begin{cases}
b - a, & m = n = 0 \\
(b - a)/2, & |m| = |n| \neq 0 \\
0, & |m| \neq |n|
\end{cases}\\
\int_{a}^{b} \sin \left(\frac{2m\pi}{b - a} \left(x - \frac{a + b}{2} \right)\right) \sin \left(\frac{2n\pi}{b - a} \left(x - \frac{a + b}{2} \right)\right) \mathrm{d}x &=
\begin{cases}
0, & m = n = 0 \\
(b - a)/2, & m = n \neq 0 \\
-(b - a)/2, & m = -n \neq 0 \\
0, & |m| \neq |n|
\end{cases}\\
\int_{a}^{b} \cos \left(\frac{2m\pi}{b - a} \left(x - \frac{a + b}{2} \right)\right) \sin \left(\frac{2n\pi}{b - a} \left(x - \frac{a + b}{2} \right)\right) \mathrm{d}x &= 0, \quad m,n \in \mathbb{Z}
\end{align*} |
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\[
\int_{0}^{\pi} \cos nx dx =
\begin{cases}
\pi, & n = 0 \\
0, & n \neq 0
\end{cases}
\]
\[
\int_{0}^{\pi} \sin nx dx =
\begin{cases}
2/n, & 2 \nmid n \\
0, & 2 \mid n
\end{cases}
\]
\[
\int_{0}^{\pi} \cos mx \cos nx dx =
\begin{cases}
\pi, & m = n = 0 \\
\pi/2, & |m| = |n| \neq 0 \\
0, & |m| \neq |n|
\end{cases}
\]
\[
\int_{0}^{\pi} \sin mx \sin nx dx =
\begin{cases}
0, & m = n = 0 \\
\pi/2, & m = n \neq 0 \\
-\pi/2, & m = -n \neq 0 \\
0, & |m| \neq |n|
\end{cases}
\]
\[
\int_{0}^{\pi} \cos mx \sin nx dx =
\begin{cases}
-\frac{2n}{m^{2}-n^{2}}, & 2 \nmid m - n \\
0, & 2 \mid m - n
\end{cases}
\] |
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2.1.1.2 以两倍区间长度为周期的三角函数的正交性 |
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定理 2.1.4 (\([a,b]\) 上且以 \(b - a\) 为周期的三角函数的正交性) |
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这里的两组边界条件都是齐次的，我们可以任意选择一组来得到完备的本征函数组。由于\(x\)与\(y\)的边界条件均为其次的，这里采用更进一步的做法，即将\(u(x,y)\)和\(f(x,y)\)同时既按本征函数\(\{X_{n}(x)\}\)，又按本征函数\(\{Y_{m}(y)\}\)展开为二重级数： |
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\[
\begin{cases}
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = f(x,y) & 0 < x < a,0 < y < b\\
\left.u\right|_{x = 0}=0,\left.u\right|_{x = a}=0 & 0\leq y\leq b\\
\left.u\right|_{y = 0}=0,\left.u\right|_{y = b}=0 & 0\leq x\leq a
\end{cases}
\] |
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\[T_{n}''(t) + \lambda_{n}a^{2}T_{n}(t) = g_{n}(t)\] |
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总结：按相应齐次问题本征函数展开 |
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\(\sum_{n=1}^{\infty} T_{n}(0)X_{n}(x)=0\quad \sum_{n=1}^{\infty} T_{n}'(0)X_{n}(x)=0\) |
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- 优点: 具有一定的普遍性，适用范围广。
- 依据: 齐次边界条件给出正交完备的本征函数集。
- 不足: 往往给出一个形式十分复杂的级数解。 |
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- 优点: 具有一定的普遍性，适用范围广。 |
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- 依据: 齐次边界条件给出正交完备的本征函数集。 |
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\[
u(x,y)=\sum_{n = 1}^{\infty}\sum_{m = 1}^{\infty}c_{nm}\sin\frac{n\pi}{a}x\sin\frac{m\pi}{b}y
\]
\[
f(x,y)=\sum_{n = 1}^{\infty}\sum_{m = 1}^{\infty}d_{nm}\sin\frac{n\pi}{a}x\sin\frac{m\pi}{b}y
\] |
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\[T_{n}(t)=\frac{l}{n\pi a}\int_{0}^{t}g_{n}(\tau)\sin\frac{n\pi}{l}a(t - \tau)\mathrm{d}\tau\] |
Subsets and Splits
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