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这里$\vec{n}$为$\vec{x}_{2}-\vec{x}_{1}$方向的单位矢量。 |
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考虑原点的一个点电偶极矩$\vec{p}$，计算可发现电势与非原点处场强为 (这里$\vec{n}$指$\vec{x}$方向单位矢量) |
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* 这里 \(l = 0\) 称为单极矩 (总电荷)，随后随 \(l\) 增大分别称电偶极矩、电四极矩、电八极矩等，对应带电体系的多极矩张量。一般来说带电体系的多极矩依赖原点选取，但非零最低阶的电多极矩与原点选取无关。 |
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* 定义 \(Q = \int \mathrm{d}^{3}x^{\prime}\rho(\vec{x}^{\prime})\) 为总电荷，\(\vec{p} = \int \mathrm{d}^{3}x^{\prime}\rho(\vec{x}^{\prime})\vec{x}\) 为该电荷分布的电偶极矩，电四极矩张量 \(\mathbf{D}\) 满足 |
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\(\int_{r<R} \mathrm{d}^{3}x\vec{E}(\vec{x}) = -\int_{r = R} R^{2} \mathrm{d}\Omega_{n} \Phi(\vec{x})\vec{n}=-\frac{R^{2}}{4\pi\epsilon_{0}}\int \mathrm{d}^{3}x'\rho(\vec{x}')\int_{r = R} \mathrm{d}\Omega_{n}\frac{\vec{n}}{|\vec{x}-\vec{x}'|}\) |
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\(-\frac{R^{2}}{3\epsilon_{0}}\int \mathrm{d}^{3}x'\frac{r_{<}}{r_{>}^{2}}\vec{n}'\rho(\vec{x}')\) |
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\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{\vec{p}_1\cdot\vec{p}_2 - 3(\vec{n}\cdot\vec{p}_1)(\vec{n}\cdot\vec{p}_2)}{|\vec{x}_1 - \vec{x}_2|^2}+\frac{4\pi}{3}(\vec{p}_1\cdot\vec{p}_2)\delta^3(\vec{x}_1 - \vec{x}_2)\right) |
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\[
U \approx Q\Phi(0) - \vec{p} \cdot \vec{E}(0) - \frac{1}{6} \sum_{i,j} D_{ij} \frac{\partial E_{j}(0)}{\partial x_{i}}
\] |
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\[
D_{ij}=\int \mathrm{d}^{3}x'\left(3x_{i}'x_{j}'-(r')^{2}\delta_{ij}\right)\rho(\vec{x}')
\] |
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若电荷分布全在球内，\(r_{<}\) 恒为 \(r'\)，可直接计算得到积分为 \(-\frac{\vec{p}}{3\epsilon_{0}}\)；若全在球外，即为 \(\frac{4\pi R^{2}}{3}\vec{E}(0)\)。由此，为使球内的积分成立，电场实际上是 |
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\(\Phi(\vec{x}) = \frac{1}{4\pi \epsilon} \frac{\vec{p} \cdot \vec{x}}{r^{3}}, \quad \vec{E}(\vec{x}) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{3\vec{n}(\vec{n} \cdot \vec{p}) - \vec{p}}{r^{3}}\) |
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但此场强事实上还差一个正比于\(\delta\)函数的项，考虑静电场在球心原点、半径\(R\)的球体积分，由高斯公式可得 |
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电磁学是一门实验学科，诞生与发展依赖于实验现象与分析。 |
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静电学 |
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（4）标写图名：一般在图纸上部附近空旷位置写出简洁完整的图名，下部标明班级、姓名和日期．所写字体，一律用仿宋体． |
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$x = x_1、x_2、\cdots、x_i;$
$y = y_1、y_2、\cdots、y_i.$ |
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（5）Origin 作图：现在用毫米方格纸作图的方法已逐渐被淘汰，普遍应用作图软件作图，所以实验中心要求一律采用 Origin 作图. 用 Origin 作图的具体方法可参见附录. |
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式中自变量只有\(x\)一个，故称一元线性回归．实验得到的一组数据为 |
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晶面(111) 晶向[111] 截距[111]密勒指数[111] |
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晶面(100) 晶向[100] 截距[1∞ ∞]密勒指数[100] |
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Principle of Semiconductor Devices |
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\begin{align*}
\phi(\mathbf{x}, t) &=\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}\left(a_{1}(\mathbf{p}) e^{-i \omega_{p} t}+a_{2}(\mathbf{p}) e^{i \omega_{p} t}\right) \\
&=\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}}\left(a_{1}(\mathbf{p}) e^{-i \omega_{p} t+i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}+a_{1}^{\dagger}(-\mathbf{p}) e^{i \omega_{p} t+i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}\right) \\
&=\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}}\left(a_{1}(\mathbf{p}) e^{-i \omega_{p} t+i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}+a_{1}^{\dagger}(\mathbf{p}) e^{i \omega_{p} t-i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}\right) \\
&=\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_{\mathbf{p}}}}\left(a(\mathbf{p}) e^{-i p x}+a^{\dagger}(\mathbf{p}) e^{+i p x}\right).
\end{align*} |
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关于求 \(a_{\mathbf{p}}\) 和 \(a_{\mathbf{p}}^{\dagger}\) 的表达式: 将 (2.25) 和 (2.26) 系数凑合适, 加减消去其中一个后, 再同时对两端做积分 \(\int e^{-i\mathbf{p}'\cdot\mathbf{x}}d^{3}x\) 即可. |
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确实很 easy, Peskin & Schroeder 没有骗你. |
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于是 \(\phi(x)\) 可以表示为 (将 \(a_1(\mathbf{p})\) 替换为 \(\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathrm{p}}(\mathbf{p})}}a(\mathbf{p})\)): |
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\[
\begin{cases}
a_1^{\dagger}(\mathbf{p}) = a_2(-\mathbf{p}) \\
a_2^{\dagger}(\mathbf{p}) = a_1(-\mathbf{p})
\end{cases}
\] |
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2.3.2 P21 - (2.26) 下面那一段 |
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\cdot 而粒子的动能是与温度有关的，常以\(kT\)作为典型值或数量级。对于等离子体，一般来说，其动能要比势能大得多。 |
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动能与势能 |
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\[U = \frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}L}\] |
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- 从等离子体密度可以估算粒子之间的平均
距离：
\[
L = n^{-\frac{1}{3}}
\] |
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在这个距离上，带电粒子之间的势能为 |
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1. 何为粒子物理？ |
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\[
w = f(v)=f\left(\sum_{k = 1}^{n}a_{k}v_{k}\right)=\sum_{k = m + 1}^{n}a_{k}f(v_{k})
\] |
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\[
0 = \sum_{k=m + 1}^{n} a_{k} f\left(v_{k}\right)=f\left(\sum_{k=m + 1}^{n} a_{k} v_{k}\right) \Longleftrightarrow \sum_{k=m + 1}^{n} a_{k} v_{k} \in \operatorname{Ker} f
\] |
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这里顺便证明了一个结论：有限维线性空间\(V\)在线性映射\(f\)下的像仍然是有限维线性空间. 但不止于此，从上面的对比我们可以看出很明显的数量关系，这是线性代数中一个非常重要的结论： |
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1. \(f\) 为单射当且仅当 \(\text{Ker }f = \{0\}\).
2. \(f\) 为满射当且仅当 \(\text{Im }f = W\). |
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反之，假设$f$为单射，由于$0\in \mathrm{Ker} f$，若$\mathrm{Ker} f$含有非$0$元素，则存在$v\neq 0$，$f(v)=f(0)=0$，这与$f$的单性矛盾，故$\mathrm{Ker} f = \{0\}$. |
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1. 对任意$u,v \in V$，若$f(u)=f(v)$，则$f(u - v)=0$. 假设$\mathrm{Ker} f = \{0\}$，则说明$f(u - v)=0$必然有$u - v = 0,u = v$，这说明$f$为单射. |
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\[f(v)=f\left(\sum_{k = 1}^{n}a_{k}v_{k}\right)=\sum_{k = m + 1}^{n}a_{k}f\left(v_{k}\right)=f\left(\sum_{k = m + 1}^{n}a_{k}v_{k}\right)\] |
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设$f \in \mathcal{L}(V,W)$，则
1. $f$ 为单射当且仅当 $\mathrm{Ker} f = \{0\}$.
2. $f$ 为满射当且仅当 $\mathrm{Im} f = W$. |
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则根据$\mathrm{Ker} f$的定义，必有$f(v_{i}) = 0,i = 1,\cdots ,m,\ f(v_{j}) \neq 0,j = m + 1,\cdots ,n$. 这些都是我们在子空间维
数部分讨论过的结果，但核的特性使得我们可以由此理解像的结构. 假设$v = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}v_{k}$，则 |
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因此 \(w \in \mathrm{Span}(f(v_{m + 1}), \cdots, f(v_{n}))\)，这表明 \(\mathrm{Im} f \subset \mathrm{Span}(f(v_{m + 1}), \cdots, f(v_{n}))\)，根据互相包含性，我们有（同时将核空间的结果对比） |
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对于线性映射，其核与像和其单性与满性有非常紧密的联系，像方面与一般映射相同，但是在核方面有更强的结论. |
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由于 \(v_{m + 1}, \cdots , v_{n}\) 线性无关，因此 \(a_{m + 1}v_{m + 1} + \cdots + a_{n}v_{n} = 0\) 当且仅当 \(a_{m + 1} = \cdots = a_{n} = 0\)，并且 \(f(v_{j}) \neq 0\)，因此 |
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对于 \(f \in \mathcal{L}(V,W)\)，我们取 \(V\) 的一组基 \(v_1,\cdots ,v_n\)，由于 \(\mathrm{Ker} f \leqslant V\)，因此其中必有一些向量能张成 \(\mathrm{Ker} f\)，不妨设 |
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泊松分布是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布，适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。 |
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\[
P(r;dt)=
\begin{cases}
1 - \lambda dt & r = 0 \\
\lambda dt & r = 1 \\
0 & r \geq 2
\end{cases}
\quad \lambda = \text{const.}
\] |
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\[
E: e^{+}e^{-} \to f\bar{f}
\quad
\begin{cases}
F = \{f\text{前向：} \cos\theta > 0\} & P(F) = p \\
B = \{f\text{后向：} \cos\theta < 0\} & P(B) = q
\end{cases}
\] |
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2. $\Delta t > 0$ 时，$R(t)$ 与 $R(t + \Delta t) - R(t)$ 相互独立。 |
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事件 \(F\) 诱导伯努利试验 \(E_F\)。显然，\(N_F\) 为 \(N\) 次独立伯努利试验 \(E_F\) 中试验成功的次数，\(N_F \sim B(N,p)\)。\(\langle N_F \rangle = Np\)，\(V(N_F)=Npq\)。 |
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$R(t): [0,t]$ 时间段内随机事件发生的次数。\(P(r;t): R(t)=r\ (r\in \mathbb{N})\) 的概率。
假设 (Poisson) |
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$R(t): [0,t]$ 时间段内随机事件发生的次数。\(P(r;t): R(t)=r\ (r\in\mathbb{N})\) 的概率。 |
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\[
\begin{align*}
P(r;t + dt) &= P(r;t) \otimes P(r;dt)\\
&= P(r;t)P(0;dt) + P(r - 1;t)P(1;dt)
\end{align*}
\] |
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\(\langle Y \rangle = \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \mu_{i}\) \(\qquad V(Y) = \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}^{2} \sigma_{i}^{2}\) |
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\(\because A_{FB}=\frac{2N_F}{N}-1\) \(\therefore \begin{cases}
\langle A_{FB}\rangle=\frac{2}{N}\langle N_F\rangle - 1=p - q\\
V(A_{FB})=\left(\frac{2}{N}\right)^2V(N_F)=\frac{4pq}{N}
\end{cases}\) |
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\[Y = \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} X_{i}\] |
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\[P(r;t)=\frac{1}{r!}(\lambda t)^r e^{-\lambda t}\] |
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1.2.5 泊松分布 |
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\(R(t + dt) = R(t) + R(dt)\) |
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只能取分立值。既然电子在这种情况下能级是分立的，当然也有理由相信电子在其他情况下，例如原子中的电子能级也可以分立。 |
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在 \(x = 0\) 和 \(x = b\) 处此函数值必须是 \(0\)，这由边界条件要求。这样，\(k\) 不能取任意值，\(k\) 值必须满足条件： |
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\[E_{\mathrm{d}}=\frac{p^{2}}{2 m_{\mathrm{e}}}\] |
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\[
k = \frac{n\pi}{b}
\] |
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测不准关系：设 $[\hat{A}, \hat{B}] = \mathrm{i}\hat{C}$，直接计算可得 $\Delta\hat{A}, \Delta\hat{B}$ 是厄米算符，且 $[\Delta\hat{A}, \Delta\hat{B}] = \mathrm{i}\hat{C}$。
任取实数 $\zeta$，右矢 $|\Psi\rangle$，记 |
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这里 \(i,j\) 表示坐标、动量的不同分量，由此代入上方可得 |
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则计算得 [这里均值皆指 \(|\Psi\rangle\) 意义下] |
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$[\hat{x}_i, \hat{p}_j] = \mathrm{i}\hbar\delta_{ij} \hat{A}$ |
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$\S 3.3\ \ 测不准关系$ |
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$\S4.1$ 位置表象 |
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四 位置与动量 |
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\(\Delta \hat{A} = \hat{A} - \langle \hat{A} \rangle \hat{I}\) |
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最早出自 Heisenberg 假设，因此称为 Heisenberg 测不准原理。 |
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考虑粒子限制在一条直线 [$x$ 轴] 上运动，其位置算符 $\hat{x}$ 以所有 $x'\in\mathbb{R}$ 为本征值，对应的完备本征矢量组记为 $|x'\rangle$。此处，由于本征值构成连续谱，完备性条件为积分 |
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回顾之前对力学量在态下平均值的定义 $\langle \hat{A} \rangle_{\Psi}$，下面均考虑 $|\Psi\rangle$ 态下，定义误差算符 |
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不相容力学量：由其均为厄米算符，计算可知 $[\hat{A}, \hat{B}] = \mathrm{i}\hat{C}$，$\hat{C}$ 为厄米算符。根据数学知识，若 $\mathcal{H}$ 有限维
有 $\mathrm{tr}\hat{C} = 0$。
不相容力学量没有完备的共同本征右矢系，但仍可能有共同本征右矢。 |
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不相容力学量：由其均为厄米算符，计算可知 $[\hat{A}, \hat{B}] = \mathrm{i}\hat{C}$，$\hat{C}$ 为厄米算符。根据数学知识，若 $\mathcal{H}$ 有限维有 $\mathrm{tr}\hat{C} = 0$。 |
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\(\Delta A = \sqrt{\langle(\Delta \hat{A})^2\rangle} = \sqrt{\langle\hat{A}^2\rangle - \langle\hat{A}\rangle^2}\) |
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* 有限维时，即代表这些矩阵可同时对角化，且对任何两个不同对角位置，总有某个矩阵使得对应的对角元不同。对单个力学量来说，其是力学量完全集意味着本征值无简并。 |
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$\Delta x_{i}\Delta p_{j}\geq \frac{\hbar}{2}\delta_{ij}$ |
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$(\Delta A)^2(\Delta B)^2 \geq \frac{\langle C\rangle^2}{4}$ |
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\(\int_{\mathbb{R}} \left|x'\right\rangle\left\langle x'\right| \mathrm{d}x' = \hat{I}\) |
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$|\eta\rangle = (\zeta\Delta\hat{A} - \mathrm{i}\Delta\hat{B})|\psi\rangle$ |
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第八部分 附录 |
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第七部分 路径积分量子化：标量场 |
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28.2.4 各种群之间的关系 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 409 |
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24.10生成泛函\(W_{ba}[J]\) \hspace{\fill} 344 |
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26.3 一维线性谐振子的经典作用量 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 369 |
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\begin{enumerate}
\item 27.1 Gauss型积分( Gaussian integration) \dotfill 378
\begin{enumerate}
\item 27.1.1 将Gauss积分推广到无穷维空间 \dotfill 382
\end{enumerate}
\item 27.2 自由标量粒子Green函数 \dotfill 384
\item 27.3 路径积分和Green函数 \dotfill 389
\item 27.4 Wick定理 \dotfill 391
\end{enumerate} |
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第二十七章 标量场的生成泛函 \hspace{\fill} 375 |
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第二十五章 自由粒子的路径积分：
另一种方法···························349 |
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另一种方法 \hspace{34em} |
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第二十八章 群论简引 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 395 |
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可见, 在自然单位制中, 速度没有量纲 (dimension); 长度量纲与时间量纲相同, 是能量量纲的倒数; 能量、质量和动量具有相同的量纲。可以将能量单位电子伏特 ($\mathrm{eV}$) 视作上述有量纲物理量的基本单位。 |
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$e = \sqrt{4\pi\alpha} = 0.3028$ |
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\(1\ \mathrm{GeV}^{-1}=6.582\times 10^{-25}\ \mathrm{s}=1.973\times 10^{-14}\ \mathrm{cm}\) |
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\[t' = \gamma(t - \beta x),\quad x' = \gamma(x - \beta t),\quad y' = y,\quad z' = z,\] |
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是没有量纲的；$4\pi$ 因子会出现在 Coulomb 定律中，点电荷 $Q$ 的 Coulomb 势表达成 |
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\(1\ \mathrm{s}^{-1}=6.582\times 10^{-22}\ \mathrm{MeV},\ 1\ \mathrm{cm}^{-1}=1.973\times 10^{-11}\ \mathrm{MeV}\) |
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精细结构常数 (fine-structure constant) |
Subsets and Splits
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