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	(1)实际气体$\mathrm{H}_{2}$、$\mathrm{O}_{2}$、$\mathrm{CO}_{2}$都不是在任何条件下($T = 273.15\text{K}$,任何$p$下)符合$pV_{\mathrm{m}}=RT$(常数)方程的。
	表使用单位作了“实行标准化考试是提高教学质量的好方法———进行物理化学标准化考试情况报告”发言。
	\(p是压力(实为压强)，V为一定质量理想气体的体积(即容器的容积)，T是绝对温标， T = 273.15 + t^{\circ}C\approx273 + t^{\circ}C\)
	因为 $\delta S = 0$ 是 $S$ 取极大值的必要条件，且 $\delta U_{1}, \delta V_{1}, \delta n_{1}$ 均可独立改变，所以得以下热动平衡条件：
	其中 \(L\) 为 \(1mol\) 物质从 \(\alpha\) 相转变到 \(\beta\) 相时所吸收的相变潜热，因为相变时物质的温度不变。克拉珀龙方程给出了两相平衡曲线的斜率。该方程推导只需两相 \(d\) 相等即可得到，往年试题有考过。
	由孤立系条件得
	3.4 单元复相系的平衡性质
	代入，得
	\(\delta U = \delta U_1 + \delta U_2 = 0, \ \delta V = \delta V_1 + \delta V_2 = 0, \ \delta n = \delta n_1 + \delta n_2 = 0\)
	$\frac{d p}{d T}=\frac{L}{T\left(V_{m}^{\beta}-V_{m}^{\alpha}\right)}=\frac{S_{m}^{\beta}-S_{m}^{\alpha}}{V_{m}^{\beta}-V_{m}^{\alpha}}$
	\[ \begin{cases} T^{\alpha} = T^{\beta} = T^{\gamma} = T \\ p^{\alpha} = p^{\beta} = p^{\gamma} = p \\ \mu^{\alpha}(T,p) = \mu^{\beta}(T,p) = \mu^{\gamma}(T,p) \end{cases} \]
	考虑一个单元两相系，这个单元两相系构成一个孤立系，可用熵判据推导平衡条件：
	\[ \begin{align} \delta S_{1}&=\frac{\delta U_{1}+p_{1}\delta V_{1}-\mu_{1}\delta n_{1}}{T_{1}}\\ \delta S_{2}&=\frac{\delta U_{2}+p_{2}\delta V_{2}-\mu_{2}\delta n_{2}}{T_{2}} \end{align} \]
	$T_{1} = T_{2} \quad (\text{热平衡条件})$ $p_{1} = p_{2} \quad (\text{力学平衡条件})$ $\mu_{1} = \mu_{2} \quad (\text{相变平衡条件})$
	\[ \left\{ \begin{array}{c} T^{\alpha}=T^{\beta}=T \\ p^{\alpha}=p^{\beta}=p \\ \mu^{\alpha}(T,p)=\mu^{\beta}(T,p) \end{array} \right. \]
	\(\delta S = \delta S_1+\delta S_2 = \delta U_1\left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)+\delta V_1\left(\frac{p_1}{T_1} - \frac{p_2}{T_2}\right)-\delta n_1\left(\frac{\mu_1}{T_1} - \frac{\mu_2}{T_2}\right)\)
	由开系的热力学基本微分方程 \(dU = TdS - pdV + \mu dn\)，得
	某物A的模型：若存在某物B，使得（i）A的某些性质与B的某些性质之间有一定的对应关系（理想情况为一一对应），（ii）B的性质已知、或较容易研究，则，称B为A提供一个模型。
	2. 电子与原子：（1）J.J.汤姆逊实验（1897）—电子的存在。之前人们认为原子为物质的最小组成部分，但是，电子比氢原子轻了近1000倍，且
	注：模型的适用性暗示，我们的世界是统一的，即，其某部分（如光）的某些性质另一部分（如小球或波）的性质有很好的对应关系。（爱因斯坦：这个世界最大的奥秘是它是可理解（描述？）的。）
	维恩（1894还是1986）：由热力学得$\lambda_mT = b$；由热力学与经典统计物理的其半经验公式。高频符合
	普朗克（1858 - 1947）（1900）—光的发射与吸收以一份份的能量形式进行，大小为\(h\nu\)，因此，腔内的电磁场的能量也以一份一份的形式存在。
	（4）两种观点的统一：爱因斯坦的观点：光以光子的形式存在，波动方程（场方程）的预言要给予统计解释。
	（3）粒子性：牛顿的观点：光类似于球。其根据：遮挡阴影等。爱因斯坦（1879 - 1955）的光子说（1905），为解释光电效应等实验。
	将光想象为某人们更熟悉之物，从而，由该更熟悉之物之性质来推演光的性质。
	第一章 \quad 经典力学面临微观世界
	Rayleigh（1990）-Jeans（1905）律：由电动力学+统计物理的，低频符合。
	\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} - \frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}} = 0\)
	于是 \(m\ddot{x}=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\)，从而
	* 对保守系统，代入 \(Q_{\alpha}=-\frac{\partial V}{\partial q_{\alpha}}\) 即得
	2. 拉格朗日力学分析对象是能量量纲的拉格朗日量，分析性质更重，弱化了几何上的矢量方程；
	\[ L = \frac{1}{2} (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2) - V(r) \]
	\[E = \frac{1}{2} \dot{x}^{2}+V(x)\]
	\(m\ddot{r}=mr\dot{\theta}^{2}-V^{\prime}(r)\)
	\S2.4 拉格朗日力学
	\(m\ddot{x} = -V'(x)\)
	\[\begin{align} \int_{0}^{a} rJ_{m}\left(\frac{x_{mn}r}{a}\right)J_{m}\left(\frac{x_{mn'}r}{a}\right)\mathrm{d}r&=\frac{a^{2}}{2}J_{m + 1}^{2}(x_{mn})\delta_{nn'}\\ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{2}{a^{2}J_{m + 1}^{2}(x_{mn})}J_{m}\left(\frac{x_{mn}r}{a}\right)J_{m}\left(\frac{x_{mn}r'}{a}\right)&=\frac{1}{r}\delta(r - r') \end{align}\]
	* 贝塞尔函数也具有正交、归一、完备等特性，如\([0,a]\)上，记\(x_{mn}\)为\(J_m(x)\)在正实轴的第\(n\)个零点，则基本的解形式为\(R(r)=J_m\left(\frac{x_{mn}r}{a}\right)\)，有正交归一与完备条件
	这里 \(P_{l}^{m}\) 为连带勒让德函数。
	称为 Hankel 变换，将 \(r,k\) 对调即为完备关系，类似直角坐标系中的 Fourier 变换。
	分离变量为 \(\Phi(\vec{x}) = Z(z)\Phi(\phi)R(r)\)，这里 \((\phi,r)\) 即为 \(xy\) 平面极坐标，可考虑基本形式的解
	分离变量为\(\varPhi(\vec{x}) = X(x)Y(y)Z(z)\)，可考虑基本形式的解
	\(\hat{L}^2Y_{lm}(\theta,\phi) = l(l + 1)Y_{lm}(\theta,\phi),\quad l \in \mathbb{N},\quad m \in \mathbb{Z} \cap [-l,l]\)
	* 由边界条件确定 \(k_{i}\)，有限区间 \(k_{i}\) 一般取分立纯虚数，本征函数是三角函数，无穷区间则可能连续。
	\[Y_{lm}(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi}\frac{(l - m)!}{(l + m)!}}P_{l}^{m}(\cos\theta)\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi}\]
	\[\nabla^{2}=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial}{\partial r}\right)-\frac{\hat{L}^{2}}{r^{2}}, \quad \hat{L}^{2}=-\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right)-\frac{1}{\sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2}}{\partial \phi^{2}}\]
	\(\int_{0}^{\infty} rJ_{m}(kr)J_{m}(k'r)\mathrm{d}r = \frac{1}{k}\delta(k - k')\)
	$\S2.4$ 泊松方程的分离变量解法
	$X(x) \propto \mathrm{e}^{k_{1}x}, \quad Y(y) \propto \mathrm{e}^{k_{2}y}, \quad Z(z) \propto \mathrm{e}^{k_{3}z}$
	\[Z(z) \propto \mathrm{e}^{\pm kz}, \quad \Phi(\phi) \propto \mathrm{e}^{\pm \mathrm{i}m\phi}, \quad R(r) \propto J_{m}(kr), N_{m}(kr)\]
	而电像法，更广义地说，就是一种试探解。我们根据经验和对称性，猜测一些可能合理的解，然后进行检证——如果猜测解能够在全空间\(^{10}\)满足 Poisson 方程，则唯一性定理确保了这个解一定是正确的。
	能量问题：电像法中的能量问题素来是一个扯皮很多的事情，但这里我们只要遵循一个原则：
	而在外场中，像电荷激发的电势还是照常计算的（这与上面的推论是自洽的）。
	例 5.1. 一个电荷 \(q\) 放在无限大接地金属平板距离为 \(d\) 处，求金属板上面的电荷分布。
	1. 金属球接地，\(d < R\) 2. 金属球接地，\(d > R\) 3. 金属球原本不带电荷，\(d > R\) 4. 金属球原本带电荷\(Q\)，\(d > R\)
	1. 金属球接地，\(d < R\) 2. 金属球接地，\(d > R\) 3. 金属球原本不带电荷，\(d > R\) 4. 金属球原本带电荷\(Q\)，\(d > R\)
	这是 Poisson 方程，在 $\rho(\vec{r}) = 0$ 处，求解会稍显容易——因为这退化为调和方程$^{7}$。但为了求取全空间的解析解，我们还是希望有一套行之有效的办法来处理一些简单的体系，避免在任何情况下都陷入痛苦繁冗的求解中$^{8}$。
	定理 5.1.1 (唯一性定理\(^{9}\)). 若给定第一类边界条件，即电荷密度\(\rho\)在所研究区域\(V\)的边界\(\partial V\)上的取值，则满足 \(Poisson\) 方程的静电场解是唯一的。
	引理 5.3.1 (像电荷能量). 像电荷的任何能量在能量守恒计算中不应该被考虑$^{11}$。换言之，像电荷不“具有”电势能。
	例 5.2. 一个半径为 \(R\) 的中空金属球，在距离球心为 \(d\) 处放置了一个电荷 \(q\)。在以下情形中，分别求空间电场：
	5.2 两个经典的例子
	5.3 电像法的注意事项
	幸运的是，Poisson 方程有一个很好的性质：
	首先我们考虑书中 (2.11) 用 Euler-Lagrange 方程简化表达式的含义. 这一步简化意味着我们只考虑了由最小作用量原理决定的物理的场分布 (对应经典力学中由最小作用量原理决定的粒子运动轨道). 根据 Weinberg 的说法, 此时任意一个对于物理的场分布的全局变换确实都
	这里关于哈密顿形式的场论并没有讲完 (没有导出运动方程). 对于量子场, 导出运动方程要给出场变量和其共轭动量之间的对易/反对易关系, 再计算 Heisenberg equation 得到运动方程.
	而关于这里的边界项 $\partial_{\mu}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\delta\phi\right)$, 注意要分别考虑时间和空间分量 (书中也提到了).
	$2.2.1\ \ \text{P}15 - (2.2)\ (2.3)$
	Hamiltonian Field Theorem 实际上是和 Lagrangian Field Theorem 不同的路径. 而为了保证它能给出正确的运动方程, 正则量子化的方法只有两种, 也就是上面提到的 (等时) 对易/反对易关系.
	$i\frac{\partial }{\partial t}\mathcal{O}=[\mathcal{O},H].$
	\(\mathcal{L}_{\text{Schrödinger}} = i\hbar\psi^{\dagger}\frac{\partial\psi}{\partial t} - \frac{\hbar^{2}}{2m} \boldsymbol{\nabla}\psi^{\dagger}\boldsymbol{\nabla}\psi - V(\mathbf{x})\psi^{\dagger}\psi\)
	这里和下面的计算中出现的都不是四矢量的内积, 而是各分量偏微分的和的简写 (可以全部展开算一遍). 于是最后的 Euler-Lagrange equation 也可以写为
	\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}}\right) + \nabla\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\nabla \phi)}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = 0,
	我此前的疑惑是: 由书中 $(2.11)$ 推导, 任意一个对场的全局变换 $(\alpha$ 为常数) 都会导致Lagrangian 变化一个 4-divergence, 这是不是意味着任意一个对场的全局变换都是对称变换呢?
	$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}} \delta \dot{\phi}+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\nabla \phi)} \delta(\nabla \phi),$
	2.2.2 P16 - Hamiltonian Field Theorem
	\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu} \phi)}\delta(\partial_{\mu} \phi),
	\(\int_{0}^{1} D(x)dx = \int_{0}^{1} \chi_{Q_0}(x)dx = m(Q_0) = 0\)
	测量结果的有效数字位数由不确定度来确定．由于不确定度本身只是一个估计值，一般情况下，不确定度的有效数字位数只取一到两位．测量值的末位须与不确定度的末位取齐．在初学阶段，可以认为有效数字只有最后一位是不确定的．相应地，不确定度也只取
	有效数字位数的多少，大致反映相对误差的大小．有效数字位数越多，则相对误差越小，测量结果的准确度越高．
	3. 有效数字及其运算规则
	—沿晶体的不同方向，晶体的机械、物理特性也是不相同的，这种情况称为晶体的各向异性。用密勒指数表示晶面。
	晶体的各向异性
	—密勒指数（Miller indices)：表示晶面
	（1）确定某一平面在直角坐标系三个轴上的截点，并以晶格常数为单位测出相应的截距；
	（2）取截距的倒数，然后约化为三个最小的整数，这就是密勒指数。
	气体电离
	- 只要气体有1%的电离，其行为就会由电磁场主导。
	- 等离子体的复合率为 $\alpha n_{i}n_{e}$ 这里 $\alpha$ 是常系数
	- 气体温度升高导致电离，从而形成等离子体态。
	$\bullet$ 等离子体的温度和电子（离子）密度是它的重要参量。
	三.（10 分）实验上观测到强衰变过程\(\rho^{0} \to \pi^{+}\pi^{-}\)，但没有观测到\(\rho^{0} \to \pi^{0}\pi^{0}\)衰变过程。请据此推导出\(\rho\)的量子数：（1）\(G -\)宇称，（2）自旋，（3）内禀宇称；并提供禁戒\(\rho^{0} \to \pi^{0}\pi^{0}\)衰变过程的三种不同原因。
	四.（10分）在未来质心系能量为1000 GeV的正负电子直线加速器上，我们期望可观测到一对正反顶夸克事例，
	二.（15分）请说明下面那些过程是可以发生并通过何种相互作用发生。如果某过程被禁戒，请说明原因。
	2. 请说明顶夸克对事例的衰变末态中可以存在2个，4个或6个夸克，并给出每种情况出现的几率。（4分）
	3. 考虑如下两种末态：（1）4个夸克、\(\mu^{+}\)；（2）2个夸克、\(e^{-}\)、\(\mu^{+}\)，请画图说明如何在探测器上观测这两种末态。（5分）
	上述命题实际上说明了线性无关组与张成组存在某种 “边界”，无关组可以通过扩张达到边界，张成组可以通过缩减达到边界，这个边界，同时也是上面命题的取等条件，就是基，线性空间中的线性无关张成组. 由此可以给出一个基的判定准则.
	证明任取 \(V\) 的两个基 \(B_1,B_2\)，则 \(B_1\) 是 \(V\) 中的线性无关组，\(B_2\) 是 \(V\) 中的张成组，因此 \(B_1\) 的长度不超过 \(B_2\) 的长度；交换 \(B_1,B_2\) 的角色，即 \(B_2\) 是 \(V\) 中的线性无关组，\(B_1\) 是 \(V\) 中的张成组，因此 \(B_2\) 的长度不超过 \(B_1\) 的长度，这说明 \(B_1,B_2\) 的长度相等.
	先考虑前一种情况，由多到少，自然要删去一些“无用”的向量，比如若某个$v \in V\setminus W$，那么它对于张成$W$毫无帮助，因此我们保留$W \cap \{v_1,v_2,\cdots ,v_n\}$中元素即可，不妨设为$v_1,\cdots ,v_m$，由于线性相关组的子向量组仍然线性相关，因此我们只需证明，$W = \mathrm{Span}(v_1,\cdots ,v_m)$.
	\[w = \sum_{k=1}^{n} a_{k}v_{k} = \sum_{k=1}^{m} a_{k}v_{k} + \sum_{k=m + 1}^{n} a_{k}v_{k}\]
	二者不仅有维数上的关系，在基的角度上还有更精确的关系：借助\(V\)的一组基，我们可以得到\(W\)的一组基；同样借助\(W\)一组基，也可将其扩张为\(V\)的一组基.

(1)实际气体$\mathrm{H}_{2}$、$\mathrm{O}_{2}$、$\mathrm{CO}_{2}$都不是在任何条件下($T = 273.15\text{K}$,任何$p$下)符合$pV_{\mathrm{m}}=RT$(常数)方程的。

表使用单位作了“实行标准化考试是提高教学质量的好方法———进行物理化学标准化考试情况报告”发言。

$p是压力(实为压强)，V为一定质量理想气体的体积(即容器的容积)，T是绝对温标， T = 273.15 + t^{\circ}C\approx273 + t^{\circ}C$

因为 $\delta S = 0$ 是 $S$ 取极大值的必要条件，且 $\delta U_{1}, \delta V_{1}, \delta n_{1}$ 均可独立改变，所以得以下热动平衡条件：

其中 $L$ 为 $1mol$ 物质从 $\alpha$ 相转变到 $\beta$ 相时所吸收的相变潜热，因为相变时物质的温度不变。克拉珀龙方程给出了两相平衡曲线的斜率。该方程推导只需两相 $d$ 相等即可得到，往年试题有考过。

由孤立系条件得

3.4 单元复相系的平衡性质

代入，得

$\delta U = \delta U_1 + \delta U_2 = 0, \ \delta V = \delta V_1 + \delta V_2 = 0, \ \delta n = \delta n_1 + \delta n_2 = 0$

$\frac{d p}{d T}=\frac{L}{T\left(V_{m}^{\beta}-V_{m}^{\alpha}\right)}=\frac{S_{m}^{\beta}-S_{m}^{\alpha}}{V_{m}^{\beta}-V_{m}^{\alpha}}$

\[ \begin{cases} T^{\alpha} = T^{\beta} = T^{\gamma} = T \\ p^{\alpha} = p^{\beta} = p^{\gamma} = p \\ \mu^{\alpha}(T,p) = \mu^{\beta}(T,p) = \mu^{\gamma}(T,p) \end{cases} \]

考虑一个单元两相系，这个单元两相系构成一个孤立系，可用熵判据推导平衡条件：

\[ \begin{align*} \delta S_{1}&=\frac{\delta U_{1}+p_{1}\delta V_{1}-\mu_{1}\delta n_{1}}{T_{1}}\\ \delta S_{2}&=\frac{\delta U_{2}+p_{2}\delta V_{2}-\mu_{2}\delta n_{2}}{T_{2}} \end{align*} \]

$T_{1} = T_{2} \quad (\text{热平衡条件})$ $p_{1} = p_{2} \quad (\text{力学平衡条件})$ $\mu_{1} = \mu_{2} \quad (\text{相变平衡条件})$

\[ \left\{ \begin{array}{c} T^{\alpha}=T^{\beta}=T \\ p^{\alpha}=p^{\beta}=p \\ \mu^{\alpha}(T,p)=\mu^{\beta}(T,p) \end{array} \right. \]

$\delta S = \delta S_1+\delta S_2 = \delta U_1\left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)+\delta V_1\left(\frac{p_1}{T_1} - \frac{p_2}{T_2}\right)-\delta n_1\left(\frac{\mu_1}{T_1} - \frac{\mu_2}{T_2}\right)$

由开系的热力学基本微分方程 $dU = TdS - pdV + \mu dn$，得

某物A的模型：若存在某物B，使得（i）A的某些性质与B的某些性质之间有一定的对应关系（理想情况为一一对应），（ii）B的性质已知、或较容易研究，则，称B为A提供一个模型。

2. 电子与原子：（1）J.J.汤姆逊实验（1897）—电子的存在。之前人们认为原子为物质的最小组成部分，但是，电子比氢原子轻了近1000倍，且

注：模型的适用性暗示，我们的世界是统一的，即，其某部分（如光）的某些性质另一部分（如小球或波）的性质有很好的对应关系。（爱因斯坦：这个世界最大的奥秘是它是可理解（描述？）的。）

维恩（1894还是1986）：由热力学得$\lambda_mT = b$；由热力学与经典统计物理的其半经验公式。高频符合

普朗克（1858 - 1947）（1900）—光的发射与吸收以一份份的能量形式进行，大小为$h\nu$，因此，腔内的电磁场的能量也以一份一份的形式存在。

（4）两种观点的统一：爱因斯坦的观点：光以光子的形式存在，波动方程（场方程）的预言要给予统计解释。

（3）粒子性：牛顿的观点：光类似于球。其根据：遮挡阴影等。爱因斯坦（1879 - 1955）的光子说（1905），为解释光电效应等实验。

将光想象为某人们更熟悉之物，从而，由该更熟悉之物之性质来推演光的性质。

第一章 \quad 经典力学面临微观世界

Rayleigh（1990）-Jeans（1905）律：由电动力学+统计物理的，低频符合。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} - \frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}} = 0$

于是 $m\ddot{x}=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$，从而

* 对保守系统，代入 $Q_{\alpha}=-\frac{\partial V}{\partial q_{\alpha}}$ 即得

2. 拉格朗日力学分析对象是能量量纲的拉格朗日量，分析性质更重，弱化了几何上的矢量方程；

\[ L = \frac{1}{2} (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2) - V(r) \]

\[E = \frac{1}{2} \dot{x}^{2}+V(x)\]

$m\ddot{r}=mr\dot{\theta}^{2}-V^{\prime}(r)$

\S2.4 拉格朗日力学

$m\ddot{x} = -V'(x)$

\[\begin{align*} \int_{0}^{a} rJ_{m}\left(\frac{x_{mn}r}{a}\right)J_{m}\left(\frac{x_{mn'}r}{a}\right)\mathrm{d}r&=\frac{a^{2}}{2}J_{m + 1}^{2}(x_{mn})\delta_{nn'}\\ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{2}{a^{2}J_{m + 1}^{2}(x_{mn})}J_{m}\left(\frac{x_{mn}r}{a}\right)J_{m}\left(\frac{x_{mn}r'}{a}\right)&=\frac{1}{r}\delta(r - r') \end{align*}\]

* 贝塞尔函数也具有正交、归一、完备等特性，如$[0,a]$上，记$x_{mn}$为$J_m(x)$在正实轴的第$n$个零点，则基本的解形式为$R(r)=J_m\left(\frac{x_{mn}r}{a}\right)$，有正交归一与完备条件

这里 $P_{l}^{m}$ 为连带勒让德函数。

称为 Hankel 变换，将 $r,k$ 对调即为完备关系，类似直角坐标系中的 Fourier 变换。

分离变量为 $\Phi(\vec{x}) = Z(z)\Phi(\phi)R(r)$，这里 $(\phi,r)$ 即为 $xy$ 平面极坐标，可考虑基本形式的解

分离变量为$\varPhi(\vec{x}) = X(x)Y(y)Z(z)$，可考虑基本形式的解

$\hat{L}^2Y_{lm}(\theta,\phi) = l(l + 1)Y_{lm}(\theta,\phi),\quad l \in \mathbb{N},\quad m \in \mathbb{Z} \cap [-l,l]$

* 由边界条件确定 $k_{i}$，有限区间 $k_{i}$ 一般取分立纯虚数，本征函数是三角函数，无穷区间则可能连续。

\[Y_{lm}(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi}\frac{(l - m)!}{(l + m)!}}P_{l}^{m}(\cos\theta)\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi}\]

\[\nabla^{2}=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial}{\partial r}\right)-\frac{\hat{L}^{2}}{r^{2}}, \quad \hat{L}^{2}=-\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right)-\frac{1}{\sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2}}{\partial \phi^{2}}\]

$\int_{0}^{\infty} rJ_{m}(kr)J_{m}(k'r)\mathrm{d}r = \frac{1}{k}\delta(k - k')$

$\S2.4$ 泊松方程的分离变量解法

$X(x) \propto \mathrm{e}^{k_{1}x}, \quad Y(y) \propto \mathrm{e}^{k_{2}y}, \quad Z(z) \propto \mathrm{e}^{k_{3}z}$

\[Z(z) \propto \mathrm{e}^{\pm kz}, \quad \Phi(\phi) \propto \mathrm{e}^{\pm \mathrm{i}m\phi}, \quad R(r) \propto J_{m}(kr), N_{m}(kr)\]

而电像法，更广义地说，就是一种试探解。我们根据经验和对称性，猜测一些可能合理的解，然后进行检证——如果猜测解能够在全空间$^{10}$满足 Poisson 方程，则唯一性定理确保了这个解一定是正确的。

能量问题：电像法中的能量问题素来是一个扯皮很多的事情，但这里我们只要遵循一个原则：

而在外场中，像电荷激发的电势还是照常计算的（这与上面的推论是自洽的）。

例 5.1. 一个电荷 $q$ 放在无限大接地金属平板距离为 $d$ 处，求金属板上面的电荷分布。

1. 金属球接地，$d < R$ 2. 金属球接地，$d > R$ 3. 金属球原本不带电荷，$d > R$ 4. 金属球原本带电荷$Q$，$d > R$

这是 Poisson 方程，在 $\rho(\vec{r}) = 0$ 处，求解会稍显容易——因为这退化为调和方程$^{7}$。但为了求取全空间的解析解，我们还是希望有一套行之有效的办法来处理一些简单的体系，避免在任何情况下都陷入痛苦繁冗的求解中$^{8}$。

定理 5.1.1 (唯一性定理$^{9}$). 若给定第一类边界条件，即电荷密度$\rho$在所研究区域$V$的边界$\partial V$上的取值，则满足 $Poisson$ 方程的静电场解是唯一的。

引理 5.3.1 (像电荷能量). 像电荷的任何能量在能量守恒计算中不应该被考虑$^{11}$。换言之，像电荷不“具有”电势能。

例 5.2. 一个半径为 $R$ 的中空金属球，在距离球心为 $d$ 处放置了一个电荷 $q$。在以下情形中，分别求空间电场：

5.2 两个经典的例子

5.3 电像法的注意事项

幸运的是，Poisson 方程有一个很好的性质：

首先我们考虑书中 (2.11) 用 Euler-Lagrange 方程简化表达式的含义. 这一步简化意味着我们只考虑了由最小作用量原理决定的物理的场分布 (对应经典力学中由最小作用量原理决定的粒子运动轨道). 根据 Weinberg 的说法, 此时任意一个对于物理的场分布的全局变换确实都

这里关于哈密顿形式的场论并没有讲完 (没有导出运动方程). 对于量子场, 导出运动方程要给出场变量和其共轭动量之间的对易/反对易关系, 再计算 Heisenberg equation 得到运动方程.

而关于这里的边界项 $\partial_{\mu}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\delta\phi\right)$, 注意要分别考虑时间和空间分量 (书中也提到了).

$2.2.1\ \ \text{P}15 - (2.2)\ (2.3)$

Hamiltonian Field Theorem 实际上是和 Lagrangian Field Theorem 不同的路径. 而为了保证它能给出正确的运动方程, 正则量子化的方法只有两种, 也就是上面提到的 (等时) 对易/反对易关系.

$i\frac{\partial }{\partial t}\mathcal{O}=[\mathcal{O},H].$

$\mathcal{L}_{\text{Schrödinger}} = i\hbar\psi^{\dagger}\frac{\partial\psi}{\partial t} - \frac{\hbar^{2}}{2m} \boldsymbol{\nabla}\psi^{\dagger}\boldsymbol{\nabla}\psi - V(\mathbf{x})\psi^{\dagger}\psi$

这里和下面的计算中出现的都不是四矢量的内积, 而是各分量偏微分的和的简写 (可以全部展开算一遍). 于是最后的 Euler-Lagrange equation 也可以写为

\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}}\right) + \nabla\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\nabla \phi)}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = 0,

我此前的疑惑是: 由书中 $(2.11)$ 推导, 任意一个对场的全局变换 $(\alpha$ 为常数) 都会导致Lagrangian 变化一个 4-divergence, 这是不是意味着任意一个对场的全局变换都是对称变换呢?

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}} \delta \dot{\phi}+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\nabla \phi)} \delta(\nabla \phi),$

2.2.2 P16 - Hamiltonian Field Theorem

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu} \phi)}\delta(\partial_{\mu} \phi),

$\int_{0}^{1} D(x)dx = \int_{0}^{1} \chi_{Q_0}(x)dx = m(Q_0) = 0$

测量结果的有效数字位数由不确定度来确定．由于不确定度本身只是一个估计值，一般情况下，不确定度的有效数字位数只取一到两位．测量值的末位须与不确定度的末位取齐．在初学阶段，可以认为有效数字只有最后一位是不确定的．相应地，不确定度也只取

有效数字位数的多少，大致反映相对误差的大小．有效数字位数越多，则相对误差越小，测量结果的准确度越高．

3. 有效数字及其运算规则

—沿晶体的不同方向，晶体的机械、物理特性也是不相同的，这种情况称为晶体的各向异性。用密勒指数表示晶面。

晶体的各向异性

—密勒指数（Miller indices)：表示晶面

（1）确定某一平面在直角坐标系三个轴上的截点，并以晶格常数为单位测出相应的截距；

（2）取截距的倒数，然后约化为三个最小的整数，这就是密勒指数。

气体电离

- 只要气体有1%的电离，其行为就会由电磁场主导。

- 等离子体的复合率为 $\alpha n_{i}n_{e}$ 这里 $\alpha$ 是常系数

- 气体温度升高导致电离，从而形成等离子体态。

$\bullet$ 等离子体的温度和电子（离子）密度是它的重要参量。

三.（10 分）实验上观测到强衰变过程$\rho^{0} \to \pi^{+}\pi^{-}$，但没有观测到$\rho^{0} \to \pi^{0}\pi^{0}$衰变过程。请据此推导出$\rho$的量子数：（1）$G -$宇称，（2）自旋，（3）内禀宇称；并提供禁戒$\rho^{0} \to \pi^{0}\pi^{0}$衰变过程的三种不同原因。

四.（10分）在未来质心系能量为1000 GeV的正负电子直线加速器上，我们期望可观测到一对正反顶夸克事例，

二.（15分）请说明下面那些过程是可以发生并通过何种相互作用发生。如果某过程被禁戒，请说明原因。

2. 请说明顶夸克对事例的衰变末态中可以存在2个，4个或6个夸克，并给出每种情况出现的几率。（4分）

3. 考虑如下两种末态：（1）4个夸克、$\mu^{+}$；（2）2个夸克、$e^{-}$、$\mu^{+}$，请画图说明如何在探测器上观测这两种末态。（5分）

上述命题实际上说明了线性无关组与张成组存在某种 “边界”，无关组可以通过扩张达到边界，张成组可以通过缩减达到边界，这个边界，同时也是上面命题的取等条件，就是基，线性空间中的线性无关张成组. 由此可以给出一个基的判定准则.

证明任取 $V$ 的两个基 $B_1,B_2$，则 $B_1$ 是 $V$ 中的线性无关组，$B_2$ 是 $V$ 中的张成组，因此 $B_1$ 的长度不超过 $B_2$ 的长度；交换 $B_1,B_2$ 的角色，即 $B_2$ 是 $V$ 中的线性无关组，$B_1$ 是 $V$ 中的张成组，因此 $B_2$ 的长度不超过 $B_1$ 的长度，这说明 $B_1,B_2$ 的长度相等.

先考虑前一种情况，由多到少，自然要删去一些“无用”的向量，比如若某个$v \in V\setminus W$，那么它对于张成$W$毫无帮助，因此我们保留$W \cap \{v_1,v_2,\cdots ,v_n\}$中元素即可，不妨设为$v_1,\cdots ,v_m$，由于线性相关组的子向量组仍然线性相关，因此我们只需证明，$W = \mathrm{Span}(v_1,\cdots ,v_m)$.

\[w = \sum_{k=1}^{n} a_{k}v_{k} = \sum_{k=1}^{m} a_{k}v_{k} + \sum_{k=m + 1}^{n} a_{k}v_{k}\]

二者不仅有维数上的关系，在基的角度上还有更精确的关系：借助$V$的一组基，我们可以得到$W$的一组基；同样借助$W$一组基，也可将其扩张为$V$的一组基.