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3、密度的应用：鉴别物质：\(\rho = m/V\)。
测量不易直接测量的体积：\(V = m/\rho\)。
测量不易直接测量的质量：\(m = \rho V\)。
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完整版，请访问 \url{www.kaoyancas.net} 科大科院考研网，专注于
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放眼于现今世界，异性恋者的比例远比同性恋者的比例来的高。也因为这样，使到现实社会中出现了所谓的异性恋霸权，把同志是为边缘人、异类的存在，把他们在性取向视为一种病态，这种传统的观念根深蒂固。随着时代的进步，越来越多意识到同性恋者的人权，例如美国便是承认了同性婚姻合法、台湾也举办了多类关于宣扬同性恋无罪的游行或集会。此外还有另一类的做法，即是，将同性恋的议题、社会对同性恋的排斥、同志因外界的眼光而产生的自我不认同等通过文字，以多种文类创作有关同志议题的书写，来为同志的当前的困境和前景发声，借此来抗议异性恋的霸权。不管是为了凸显社会或同志本身对同志身份的不认同或极力提倡恋爱自主权，在小说创作或现实世界中都能看到同志渐渐崭露头角，意味着马华同志小说创作的前景将日趋光明，在现实中同志间的恋爱也或许会在未来被世人接纳。
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有一天，从山西过来一个戏班子，在榆林城里的万福楼前唱戏，榆林中学的许多学生都去看戏。正在大家看得起劲儿的时候，井文龙带着他父亲的几个马弁，摇摇摆摆地闯了进来。他个儿小，看不见，就要前边一个叫苗从权的同学给他让开。这个苗从权平时就最讨厌他，那里肯让，就说：“看不见，为啥不早一点来?”井文龙一听横眉瞪眼地骂道：“老子来迟来早，干你屁事! 你要是识相，就让开!”苗从权也骂道：“老子就是不让! 你能怎么样?”气得井文龙直瞪烂眼睛，就指示马弁们打苗从权。马弁听少爷说打，赶忙就动手打苗从权。多亏苗从权个子大，力气也大，还会一点武功，才没有吃亏。这一闹，戏场大乱，戏也只好停演。
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这种控告既然如此荒诞，控告者又是那样一种人，那就必然引起了一个问题：一个正常的人如何能相信或装着相信这个彻头彻尾的大谎呢？反间谍机关的成功固然是难于了解的，倘若不是归因于战争，失败，破产，革命，以及社会斗争的激烈所造成的一般空气。自从1914年秋天以来，俄国统治阶级没有一件如意事。他们的立足地正在倾陷下去。什么事情都从他们的手中脱落了。不幸之事从各方面来到他们头上。他们如何能不去找寻一只替罪羔羊呢？旧日的总检察官柴伐次基回忆道：“ 完全健全的人在战时那几年惊惶之中都倾向于疑心此处或彼处有人卖国，其实那些地方可信地甚至无疑地不会有卖国事情。我当总检察官时候受理的这类案件，大多数是虚构的。” 这些案件并非都是恶毒的侦探制造出来的，有时发昏了的市井小民也致成这类案件。但此时战争神经病已和革命前的政治热狂很快地配合，产生了更荒唐的果实。自由派和那些失败的将军，到处怀疑人有德国侦探作用。宫廷近悻派，被人视为亲德分子。拉斯布丁一派全体都被人相信为受波茨坦$^{\circ}$训令行事，至少自由派是如此宣布的。很多人公然指皇后做奸细。吉钦尼尔爵士来俄国时趁坐的船被德国击沉，连宫廷中人都归咎于皇后。$^{\circ}$不用说，右派也立刻遭了报应。柴伐次基记载，内政部次长贝列茨基于1916年初就图谋控告国民自由派实业家古契柯夫“ 犯那近于战时卖国之罪。” 柯尔洛夫，以前也是内政部一个次官，泄露了贝列茨基的计划，他问米留可夫说“ 他（米留可夫）收到20万卢布的‘ 芬兰’ 钱，替祖国做了什么光荣事业呢？——这钱是邮汇给他以他家看门人的名字收受的。” 这里芬兰两字加了括弧，意思是说：这是
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列宁说，“小生产是经常地、每日每时地、自发地和大批地产生着资本主义和资产阶级的”。工人阶级一部分，党员一部分，也有这种情况。
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现在到处讲和平，我看危险！第二次世界大战之后，头几年，不讲和平，不要说要缓和紧张，而现在大讲特讲！没有病，就不要看医生。有病，他就要看医生。现在地球害病，所以要讲缓和紧张，缓和国际紧张，要讲和平。现在给地球治病。我是持怀疑态度。国际会议这么多，美国这个国务卿[2]到处跑，相当怪！黄昏的时候，燕子忙，飞得低，雨要下了！
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疑心有德国奸细，这自然不纯然是梦呓。德国人在俄国进行侦探工作，比俄国人在德国做的好得多倍。只消回忆帝制时代陆军大臣苏洪姆林诺夫负了柏林亲信者嫌疑而被捕这个事实就够了。也无疑，德国奸细不仅混进宫廷和黑色百人团里面，而且混进左派分子里面。奥国和德国政府，从战事初起时便买好于分离派，首先买好于乌克兰和高加索亡命者。1917 年四月新招的爱莫伦科，就派过来做乌克兰分离运动，也是一件有趣味的事情。早在 1914 年秋天，列宁和托洛茨基在瑞士就在报纸上号召与那些革命家决裂，他们吞了德奥军国主义的钓饵。1917年初，托洛茨基又在纽约出版的报上，同样警告德国社会民主党左派，李卜克内西的信从者；英国大使馆密探正在设法同他们发生关系。但是德国政府虽然买好于分离派，不过要消弱俄国力量和威吓俄国皇帝而已，并不想推翻帝制。关于此点，最好的证据就是二月革命之后德国人在俄国战壕散发的一张传单，此传单曾于 3 月 11 日在彼得格勒苏维埃会议上宣读。“起初英国人同你们的皇帝携手；现在他们转过来反对他，因为他不答应他们的自私自利要求。他们推翻了你们的皇帝，推翻了上帝赐给你们的皇帝。为什么发生此事呢？因为他明白了而且泄露了英国人的虚伪而狡诈的诡计。”这个传单的形式和内容都可保证确是德国方面散发的。正如你不能仿效一个普鲁士少尉，你也不能仿效他的历史哲学。霍夫曼，一个戴将军头衔的普鲁士少尉，认为俄国革命是在英国计划的和准备的。这话虽然荒谬，但不如米留可夫和司徒卢威理论之甚，因为波茨坦始终希望和皇村单独媾和，而伦敦则比什么都害怕这个单独媾和。直到恢复帝位显然成为不可能以后，德国参谋部才转而希望以革命过程消耗俄国国力。就拿列宁经过德国回俄一件事来说，起意者也不在德国方面，而是列宁自己，——事实上，最初的办法还是孟什维克马尔托夫想出来的哩！德国参谋部不过允承此事而已，而且多分要迟疑了一会才决定的。鲁登道夫对自己说：救星或将从此方面来吧？
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命挑拨和德国奸细发生了什么作用呢？这个问题，现在很难得确定回答。我们必须等候确实调查的结果……但现在也可以确定地说：确实调查的结果将使人明白黑色百人团匪徒的工作，以及金钱，贿赂的作用，不论是德国钱或英国钱或百分之百的俄国钱或三种钱都有。但是无论何种司法调查都不能改变此次事变的政治意义。彼得格勒的工人和士兵群众，并未被人收买，也不能被人收买。他们并没有替德皇威廉，替英国大使布哈南，或替米留可夫办事……这次运动是受激发于战争，于即将到来的饿荒，于抬起头来的反动，于政府的彷徨无主，于冒险的前线进攻，于工人和士兵之政治的疑惧和革命的担忧……”一切档案材料，文件和回忆录，自从战争和两次革命以来公布于世的，都毫无疑义地证明了：德国奸细在俄国革命过程中之作用，从未有一个时候超出于军事警察领域以外而进入大政治领域。自从德国自己也发生了革命以后，上面那一点还需要多说么？那些被人认为万能的德国奸细，到了1918年秋天，当着德国工人和士兵面前，变成了何等可怜而无力！“我们的敌人送列宁到俄国来，这个算盘打得绝对正确，”米留可夫说。鲁登道夫自己估量这件事的效果，则完全不是这样。他提到俄罗斯革命，替自己辩护说：“我想不到它会成了我们自己权力的坟墓。”这话不异于表示，两个战略家——一个是鲁登道夫他允许列宁回国，一个是列宁，他接受这个允许——之中，还是列宁看得更远，更准些。
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亚王子直接承担指挥战争的责任，接着又负起管理国家的义务。乌托邦一迪普索德王室得到一个高贵的盟友，即思想坚定的新式僧侣若望修士，他诚挚、勇敢、食量过人，与人文主义者气质相同（第三十九章及其后）。第一部结尾处描写卡冈都亚和若望修士建立德廉美（Theleme, 意为“自由意志”）修道院的情景。德廉美修道院是建立在乌托邦中心地带的一个具有革命特征的机构，它不仅代替了过时的、腐朽的修道院体系，而且还是造就优秀人物的社会机构的雏型（第五十二章及其后）。拉伯雷构想的社会与文艺复兴时期其他作家所想象的不同，他主张一种开放的社会，在这个社会里，人们享有充分的自由，同时也进行必要的自我完善。既没有修道院的围墙，又不受时间的约束；相反，趣味、机智、自发性和良知决定了人们的日常活动，而且男人一般都顺从女人。正如要求人们贞洁、服从和保持清贫生活的清规戒律被破除一样，两性必须隔离的教规也被取消了。学生们可以结婚，可以发财致富，可以自由自在地生活。德廉美修道院决不是畸形的、低贱的、不合格的人们聚集的地方；更确切地说，它选择身材优美的、自然的、有才能的
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三点钟至四点钟之间，幕启了，克伦斯基出现于舞台，两个青年军官伴着他，
一个陆军，一个海军。象征着革命政府的权力；他们站得直直地，在内阁总理背
后，一动也不动，如同生了根在地板之上。为的不用“共和国”字眼来刺激右派
起见——这是预先约好的——克伦斯基以“俄罗斯国”政府之名向“俄罗斯国土
列位代表”致敬。我们的自由派历史家写道：“这篇演说一般口气并不表示尊严
和自负，却是受了最近几日影响之结果，表示出一种恐惧，演说者要隐藏这个心
境，但仍露了出来；他图谋以恐吓高调来隐藏它。”克伦斯基没有直接说出布尔
什维克派，但开始恐吓的话是指他们说的：再有什么举动反对政府，“就要用血
和铁来解决。”会场中左右两翼在暴风雨一般的掌声中融合起来。然后又对此时
尚未到会的科尔尼洛夫恐吓几句：“无论是谁，若向我提最后通牒，则我知道如
何叫他屈服于最高权力的意志，屈服于我，我就是最高权力的首脑。”这话虽然
激起狂热拍掌，但掌声仅仅从会场左半边来的。克伦斯基时时声明自己是“最高
的首脑”，他需要这样提醒人。“我告诉你们从前线来的人，我，你们的陆军部
长和最高领袖，告诉你们：军队中没有什么意志和权力高过于临时政府的意志和
权力。”民主派十分欢迎这类空炮。他们以为如此就可以避免使用实弹了。政府
首脑保证说：“人民和军队中的优秀分子，都把我们的军队在前线胜利，同俄罗
斯革命的胜利联结在一起，可是我们的希望被践踏在污泥之中，我们的信心被唾
弃。”这便是六月进攻之抒情诗般的总结。他，克伦斯基，自己无论如何是要继
续战争至于完全胜利的。说起那个牺牲俄国利益以媾和的危险时候，——这话是
暗指 8 月 4 日教皇和平建议说的——克伦斯基大称赞我们的同盟国的高贵的信
义。他添加几句说：“我以伟大的俄罗斯民族之名只要说一句话，即是；除此信
义以外，我们并未曾期待其他的事情，也不能期待其他的事情。”对协约国外交
家包厢的喝采，使大家站了起来，除了少数国际主义者和若干以工会代表资格出
席的布尔什维克派。军官包厢方面有人叫：“马尔托夫站起来！”为了他的荣誉，
说句实在话，马尔托夫确有勇气不肯向协约国的无私致敬。
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统治阶级被历史的必然性扼住了咽喉，不得不采用历史的化装跳舞手段。他们显然觉得，若能将他们的一切面具戴起来再一次出现于民众面前，则可以使他们更重要和更有力量。以国民良心的专家资格，他们叫四次国会的会体议员都上台来。这些人相互间的冲突以前激烈得很，如今和好了。资产阶级各党各派，现在毫不困难团结于那些名流提出的“不分党派不分阶级的政纲”，这些名流几天之前才打了一个电报，向科尔尼洛夫致敬哩。以第一国会——1906 年的！——之名，立宪民主党人纳博科夫发言攻击“那认为有单独媾和可能之假说”。这并不阻止这位自由派政客后来在他的回忆录上记载：他以及好多立宪民主党领袖，都认为单独媾和是唯一得救之道。同样，帝制时代其他几次国会之代表，向革命要求的，首先也是血的贡礼。
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其实我们每个人的生活都是一个世界，即使最平凡的人也要为他生活的那个世界而奋斗
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它们会释放气体和尘埃,呈现出独特的发光头部和尾部。有些彗星膨胀到行星大小,尾巴长达数百万公里。其它彗星撞击向太阳, 或者随着时间的推移而蒸发。彗星的碎片甚至可能将有机物和水带上行星,为太阳系内外带来生命的种子。
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在我们太阳系中数千颗已知的彗星中，哈雷彗星可能是同类彗星中最出名的。每75年左右可以从地球上观测到它一次。最近一次飞越地球是在1986年，下一次出现预计在2061年。作为太阳系早期的残余物，彗星通常有几公里宽，由不同含量的冰、岩石和宇宙尘埃组成。当彗星沿着轨道靠近太阳时
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孙子曰：凡用兵之法，驰车千驷，革车千乘，带甲十万，千里馈粮，则内外之费，宾客之用，胶漆之材车甲之奉，日费千金，然后十万之师举矣。
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故杀敌者，怒也；取敌之利者，货也。故车战，得车十乘以上，赏其先得者，\underline{人}而更其旌旗，车杂而乘之，卒善而养之，是谓胜敌而益强。
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“巨量算数” 是巨量引擎旗下内容消费趋势洞察品牌。基于今日头条、抖音、西瓜视频等生态的内容和数据，洞悉营销趋势和消费者内容关注，并开放算数指数、算数榜单、垂类洞察数据分析工具，满足营销、市场研究以及媒体从业者等内容消费趋势洞察需求。
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毛泽东选集
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\[
\begin{bmatrix}
-5 & 0 & 0 & -20 \\
0 & -5 & 0 & 15 \\
0 & 0 & -5 & -35 \\
0 & 0 & 0 & -5
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
4 \\
6 \\
4 \\
2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-60 \\
0 \\
-90 \\
-10
\end{bmatrix}
\]
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重庆
购买漫画
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但是，在这个时期，爱情与色情的定义开始一直无法变成一个黑与白的局面，更多时候都处在一个灰色地带中。擅长于女性写作的姚紫，瞬间成了众所矢之的对象。的确，姚紫对于女性形象的刻画非常鲜明，也擅长用男女主人翁之间深切的爱情故事作为故事的主干，但是，文学批评家们针对起了文本中女性形象的刻画，他们无限地放大了其中的字眼，如文章中出现的“乳房”、“大腿”等词句，而妄视其创作中的主题意义。方修在《战后马华文学史初稿》中直接点名姚紫为最成功的黄色作家，而姚紫的中篇小说<窝浪拉里>更是首当其冲，成为了姚紫小说中具有黄色色彩的作品代表。方修的说法，让姚紫的写作生涯中，染上了无以辩解的哀叹。
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- 与事件相关的热点有哪些？
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与 “国足战胜越南队” 事件相关的每个抖音实时热点的热点指数均接近千万，抖音生态的用户对该事件关注热度较高。
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#NAME?
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近距离观察著名的星座会是什么样子?虽然太空旅游仍处于早期阶段,但各式各样的航天飞机可能很快会成为我们天空中越来越熟悉的景象。除了主发动机,轨道飞行器(航天飞机的主要部分)还需要火箭推进器来产生足够的推力,以摆脱地球的引力。装饰你的明信片,让宇宙飞船升空,飞越大熊座(北斗七星)、仙后座、仙王座或小熊座！
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创意提示:可参考备选词的说明,或尝试你自己的设计。
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到一定的时候，我们就会变得有点儿象堂璜和堂杰罗尼莫，即四十九章里描述的那两位在小酒店里的绅士了。吉诃德看到他们在读阿维利亚纳达发表的《堂吉诃德》第二卷伪作，便上前把自己和桑丘介绍给他们，并仪态优雅地批驳那部伪造的故事。那两位文人学士满心高兴，对他的真实身份确信无疑。塞万提斯改变了“伪造的”（和“证实的”相对）作品的主题，这样，我们便暂时越过微妙的界线，到达了疯狂和幻想的一边，在这里，我们就会认为或强烈感到应当相信这部小说。吉诃德的理想主义的神秘感支配了我们，尽管故事的叙述具有自我批判的姿态，并经常促使读者进行自我批判。
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例1: 我又赶紧的问。“老了。”
莱尔译本: I asked apprehensively. ``she's aged away.''
杨宪益译本: I pressed. ``she's gone.''
戴乃迭夫妇译本: I quickly pressed on. ``she's gone.''
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\[
\begin{bmatrix}
c\alpha p_x + s\alpha p_y \\
-s\alpha p_x + c\alpha p_y \\
p_z \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
r s\beta \\
0 \\
r c\beta \\
1
\end{bmatrix}
\]
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\[
\begin{bmatrix}
ca & sa & 0 & 0 \\
-sa & ca & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
n_x & o_x & a_x & p_x \\
n_y & o_y & a_y & p_y \\
n_z & o_z & a_z & p_z \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
c\beta & 0 & s\beta & rs\beta \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-s\beta & 0 & c\beta & rc\beta \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
\[
\begin{bmatrix}
f_{11}(\boldsymbol{n}) & f_{11}(\boldsymbol{o}) & f_{11}(\boldsymbol{a}) & f_{11}(\boldsymbol{p}) \\
f_{12}(\boldsymbol{n}) & f_{12}(\boldsymbol{o}) & f_{12}(\boldsymbol{a}) & f_{12}(\boldsymbol{p}) \\
f_{13}(\boldsymbol{n}) & f_{13}(\boldsymbol{o}) & f_{13}(\boldsymbol{a}) & f_{13}(\boldsymbol{p}) \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
c\beta & 0 & s\beta & rs\beta \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-s\beta & 0 & c\beta & rc\beta \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
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国主义一道，坚持资产阶级压迫、剥削无产阶级的思想体系和资本主义的社会制度，反对马克思列宁主义的思想体系和社会主义的社会制度。他们是一群反共、反人民的反革命分子，他们同我们的斗争是你死我活的斗争，丝毫谈不到什么平等。因此，我们对他们的斗争也只能是一场你死我活的斗争，我们对他们的关系绝对不是什么平等的关系，而是一个阶级压迫另一个阶级的关系，即无产阶级对资产阶级实行独裁或专政的关系，而不能是什么别的关系，例如所谓平等关系、被剥削阶级同剥削阶级的和平共处关系、仁义道德关系等等。
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1. 5. 1920 年代戏剧
1920 年代戏剧重要作家及代表作品。
2. 1930 年代文学
2. 1. 左翼文学运动的兴起
中国左翼作家联盟。
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\[
\mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 10 \\
1 & 0 & 0 & 5 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
\[
\mathbf{d} = 1\mathbf{i}+ 0\mathbf{j}+0.5\mathbf{k}
\]
\[
\boldsymbol{\delta} = 0\mathbf{i}+ 0.1\mathbf{j}+0\mathbf{k}
\]
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“科幻小说一直是我的最爱。外太空非常棒！我喜欢探索由伟大创造者想象的新世界：弄清楚这些世界的规则，探索这些规则的含义……它是科学、工程和社会学进步的沙盒，而不仅仅是娱乐。最终，我们进入了太空，因为我们是一个好奇的物种，因为我们有能力。我对这款模型设定的目标是创造一件简约的乐高艺术品。将自己限制在简单的几何形状上，同时使每个场景都清晰明了，确实是一个相当大的挑战。我想尽可能限制色彩范围——每种颜色都有一个明确的目的：火箭飞船的火焰采用温暖的橙色，并使用很酷的背景进行衬托。在外星球环境中，这辆白色/灰色探测车被温暖的色彩所包围，感觉非常显眼。我想对所有支持这个项目的人表示感谢——我希望每个人都能从这款套装中获得太空的乐趣！”
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在约克郡爆发的起义，随后便归隐自己的庄园。内维尔的作品包括乌托邦小说《海神》、一系列讽刺女儿国的短文、对马基雅维里作品的翻译，以及他的主要政论文章《复活的柏拉图》(1681)。《潘恩岛》第二版是在第一版印行一个月后问世的，它加进一个使用笔名的著者角色—— 船长科纳留斯·万·斯洛顿。他给一位在伦敦的朋友送去一篇引人入胜的故事，这个故事是簿记员潘恩生前用第一人称写成、并由潘恩的任主教之职的长子和继承人抄写的。这种结构技巧更为直接地激励了格里美尔斯豪生在《痴儿历险记》第六卷里创造那个名叫艾俄恩·科纳利森的入侵者和见证人形象。
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是莎士比亚(William Shakespeare，1564—1616 )著名的 镜子说"，无论是德莱顿(John Dryden，1631—1700 )在《悲剧批评的基础》（The Grounds of Criticism in Tragedy，1679 )中阐述的悲剧 永远有必要酷似真实"的观点，还是爱迪生(JosephAddison，1672—1719 )、杨格(Edward Young，1683—1765 )和约翰逊(Samuel John-son，1709—1784 )等人对艺术作品必须真实地描写生活的本来面貌这一观点的认同，都表现出了一种倾向，即以追求真实为最高的创作艺术境界。这一传统深刻地影响了英国18世纪和19世纪的小说批评，即使到了20世纪，仍然以各种形式显示出了强大的生命力。从笛福（Daniel Defoe，1660？—1731 ）、菲尔丁( Henry Fielding，1707—1754 )倡导的模仿自然论到狄更斯和特罗洛普等人的真实观，从詹姆斯、史蒂文生(Robert Louis Stevenson，1850—1894 )和威尔斯(H.G. Wells，1866—1946 )等人有关艺术和生活之间关系的争论到劳伦斯(D.H. Lawrence，1885—1930 )提出的小说能反映 全部生活"的观点，从李维斯(F.R. Leavis，1895—1978 )对生活的崇敬态度到默多克(Iris Murdoch，1919—1999 )主张的 总体方式"与 个体方式"的融合，从威廉斯(Raymond Williams，1921—1988 )的 可知群体"到布雷德伯里(Malcolm Bradbury，1932—2000 )试图建立的虚构和现实之间的桥梁，我们始终可以发现 摹仿说"的线索。
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\[
\begin{align*}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_p}&=\sum_{i = p}^{n}\sum_{k = 1}^{i}\mathrm{Trace}\left(\frac{\partial\boldsymbol{T}_i}{\partial q_k}\boldsymbol{I}\frac{\partial\boldsymbol{T}_i^{\mathrm{T}}}{\partial q_p}\right)\ddot{q}_k + \boldsymbol{I}_{ap}\ddot{q}_p+\\
&\quad\sum_{i = p}^{n}\sum_{j = 1}^{i}\sum_{k = 1}^{i}\mathrm{Trace}\left(\frac{\partial^3\boldsymbol{T}_i}{\partial q_j\partial q_k\partial q_i}\boldsymbol{I}\frac{\partial\boldsymbol{T}_i^{\mathrm{T}}}{\partial q_i}\right)\dot{q}_j\dot{q}_k\\
&\quad\sum_{i = p}^{n}\sum_{j = 1}^{i}\sum_{k = 1}^{i}\mathrm{Trace}\left(\frac{\partial^3\boldsymbol{T}_i}{\partial q_p\partial q_k\partial q_i}\boldsymbol{I}\frac{\partial\boldsymbol{T}_i^{\mathrm{T}}}{\partial q_i}\right)\dot{q}_j\dot{q}_k\\
&=\sum_{i = p}^{n}\sum_{k = 1}^{i}\mathrm{Trace}\left(\frac{\partial\boldsymbol{T}_i}{\partial q_k}\boldsymbol{I}\frac{\partial\boldsymbol{T}_i^{\mathrm{T}}}{\partial q_p}\right)\ddot{q}_k + \boldsymbol{I}_{ap}\ddot{q}_p+\\
&\quad 2\sum_{i = p}^{n}\sum_{j = 1}^{i}\sum_{k = 1}^{i}\mathrm{Trace}\left(\frac{\partial^2\boldsymbol{T}_i}{\partial q_j\partial q_k}\boldsymbol{I}\frac{\partial\boldsymbol{T}_i^{\mathrm{T}}}{\partial q_p}\right)\dot{q}_j\dot{q}_k
\end{align*}
\]
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“可惜 ,我的鞭子够不着它。”
“我甚至觉得这条狗好像还是瘸的。” “怎么会不瘸？它只有
三条腿。”
“哟 ,可不是……你怎么套一条残废的狗来拉车呢？”
“你仔细看看 ,亲爱的伊隆卡 ,这十二只狗都是三条腿的。”
“唉 ,真怪可怜的。”
“你还不如可怜可怜我 ,伊隆卡！所有捉野狗的人我都找遍了 ,费了多大工夫才弄到了这十二只狗。”
“也许我不懂 ,但我想 ,正常的狗总要拉得快些 ,还可以多拉
贵远
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他把身子探出船舷，从鱼身上被鲨鱼咬过的地方撕下一块肉。他咀嚼着，觉得肉质很好，味道鲜美。又坚实又多汁，像牲口的肉，不过不是红色的。一点筋也没有，他知道在市场上能卖最高的价钱。可是没有办法让它的气味不散布到水里去，老人知道糟糕透顶的时刻就快来到。
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巡逻途中时常顺便来聊天的那位为人憨厚、脸色红润的派出所警察说：“世上有可怕的杀人罪，也有象抢劫啦、强奸啦那样的罪。但是要论什么罪可怕的话，那恐怕再没有比要颠覆日本这样的罪更可怕的了。”
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\[
\begin{align*}
\ddot{\boldsymbol{T}}_{33}&=\omega_{1}\boldsymbol{\theta}_{1}\dot{\boldsymbol{T}}_{33}+\omega_{3}\omega_{2}\boldsymbol{\phi}_{1}\boldsymbol{T}_{12}\boldsymbol{\theta}_{2}\boldsymbol{\phi}_{2}\boldsymbol{T}_{23}\boldsymbol{\theta}_{3}\boldsymbol{\phi}_{3}\boldsymbol{T}_{34}+\\
&\omega_{3}^{2}\boldsymbol{\phi}_{1}\boldsymbol{T}_{12}\boldsymbol{\phi}_{2}\boldsymbol{T}_{23}\boldsymbol{\theta}_{3}\boldsymbol{\theta}_{4}\boldsymbol{\phi}_{3}\boldsymbol{T}_{34}+\alpha_{3}/\omega_{3}\boldsymbol{T}_{33}\\
&=\cdots\\
&=\begin{bmatrix}
0&-(\omega_{3}\omega_{1}c_{1}+\alpha_{3}s_{1})s_{23}-\omega_{3}(\omega_{2}-\omega_{3})s_{1}c_{23}\\
0&-(\omega_{3}\omega_{1}s_{1}-\alpha_{3}c_{1})s_{23}+\omega_{3}(\omega_{2}-\omega_{3})c_{1}s_{23}\\
0&-\omega_{3}(\omega_{2}+\omega_{3})s_{23}+\alpha_{3}c_{23}\\
-(\omega_{3}\omega_{1}c_{1}+\alpha_{3}s_{1})c_{23}+\omega_{3}(\omega_{2}-\omega_{3})s_{1}s_{23}\\
-(\omega_{3}\omega_{1}s_{1}-\alpha_{3}c_{1})c_{23}-\omega_{3}+\omega_{3}(\omega_{2}-\omega_{3})c_{1}s_{23}\\
-\omega_{3}(\omega_{2}-\omega_{3})c_{23}-\alpha_{3}s_{23}\\
-L_{3}(\omega_{3}\omega_{1}c_{1}+\alpha_{3}s_{1})c_{23}+L_{3}\omega_{3}(\omega_{2}-\omega_{3})s_{1}s_{23}\\
-L_{3}(\omega_{3}\omega_{1}s_{1}-\alpha_{3}c_{1})c_{23}-L_{3}\omega_{3}(\omega_{2}-\omega_{3})c_{1}s_{23}\\
-L_{3}\omega_{3}(\omega_{2}+\omega_{3})c_{23}-L_{3}\alpha_{3}s_{23}\\
0
\end{bmatrix}
\end{align*}
\]
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威尔斯(Herbert George Wells，1866—1946)在英国小说批评史上的地位多半跟他和亨利·詹姆斯之间的争论有关。他俩曾经有过一段真诚的友谊，但是他们的小说观却发生了严重分歧，最后他们从私下辩论发展到公开论战，并且还把卢伯克和华尔波尔(Hugh Walpole，1884—1941)等人都卷了进去。\textsuperscript{\textcircled{1}}这场论战的余波在十几年以后仍然荡漾不已——福斯特的《小说面面观》就是良好的例证。\textsuperscript{\textcircled{2}}西方学者埃德尔(Leon Edel，1907—1997)和雷依(Gordon Ray，1915—1986)甚至认为威尔斯和詹姆斯分别代表了20世纪艺术家的两大阵营\textsuperscript{\textcircled{3}}。然而，威尔斯在我国所受到的重视远远不及詹姆斯。即便是仅仅从这一角度考虑，我们也应该专辟一章来对威尔斯的小说观作较为深入的探讨。
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福斯特的艺术观还深受弗洛伊德(Sigmund Freud, 1856--1939)、荣格和伯格森的影响。众所周知,弗洛伊德率先提出了艺术创作和艺术家的无意识之间的关系。荣格发展了弗氏的思想——他没有像弗氏那样把艺术视为被压抑的欲望的升华,而是更强调艺术产生于人类集体无意识中潜在的原型(archetypes)。他跟弗洛伊德一样重视睡梦在艺术创作中的地位,认为在那里"暗藏着人类取之不尽的宝藏"。\textcircled{7}跟弗、荣二人相仿的是,伯格森在《物质和记忆》(Matterand Memory,1896)一书中提出了"自觉记忆"(voluntary memory)和"不自觉记忆"(involuntary memory)的概念:前者指受意识控制的记忆,后者指人脑中不由自主地涌现出来的往事,其实也就是受无意识支配的记忆。福斯特有关创作的思想正好跟以上三位学者的思想一脉相承。除了《小说面面观》中有明显的印记之外,福氏的其他许多著述或评中也都有反映。例如,1931 年他在剑桥大学开设题为《作为批评家的创作者》(The Creator as Critic)的系列讲座,其中第一讲中进行了这样一段话:"我认为创作是一种活动,其中的一部分在睡梦中进行。它长——或通常有——清醒警觉的一面,但是它的根子却扎在睡梦生长的领域。这片领域有许多名字;荣格、弗洛伊德……这样一些心理分析学家已经向我们作了周详的介绍。创作这一活动选择并组合在睡梦中发现的形象,这是人类的一种普遍活动。伟大的作家跟常人的不同点在于:他能够恰如其分地进行选择和组合。"\textcircled{8}更重要的是,福斯特认为"无意识是艺术家能够借以发现自己跟全人类亲缘关系的一种状态",\textcircled{9}或者是"爱和同情心的一种隐蔽的源泉,而艺术正诞生于这一源泉"。\textcircled{10}这一思想在《小说面面观》中尤为明显:"当小说家停止设计他的人物,而开始创造人物时',爱情于'……变得重要起来……小说中爱情占主导地位的部分原因就在于此。"\textcircled{11}这段话中有两个词语值得留心:一是"设计"(design),二是"创
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\begin{enumerate}
\item 了解市场热点，把握行业发展趋势；
\item 寻找对标品牌，并进行深度分析；
\item 细分品类赛道选择，寻找市场空白点；
\item 学习/分析行业头部品牌成功案例，洞悉营销新玩法；
\item 产品名称挖掘对比，了解用户接受度
\end{enumerate}
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1. 电商大促/品牌big day环比热度查询，指导广告投放周期；
2. 分析影视综媒体资源相关情况，指导媒体资源合作
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从严格意义上讲，乔伊斯(James Joyce，1882—1941)和劳伦斯（David Herbert Lawrence，1885—1930）都称不上理论家，但是如果把他们从英国小说理论发展史上一笔勾销，那将是一个特大的错误。劳伦斯一生只写过一部文学批评方面的专著，即《美国经典文学研究》(Studies in Classic American Literature，1924)，然而他写过大量的文学评论文章，其中涉及小说理论问题的不在少数。而且，他的书信中几乎每一篇都要对自己或别人的作品加以评论，因而多多少少地反映了他的文学观，尤其是小说观。至于乔伊斯，即便他没有写过有关小说理论的只言片语，他的创作实践本身就是对小说理论的一种间接又巨大的贡献——即便把同时期的其他所有人的小说理论加在一起，也抵不过他的创作实践给整个20世纪的小说发展进程带来的影响，何况他确实实曾经把自己的理论观点付诸笔墨。因此，回顾一下他和劳伦斯各自的小说观是不无裨益的。鉴于他俩常常被同样贴上 “现代主义” 的标签，而他们各自的小说观却又大相径庭，把他们放在同一章中讨论似乎能够增添一层趣味。
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图书馆好书推荐
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联合国人口基金驻华代表处政策简报系列
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对于“NerveGear”，我想说的第二件事是我发现自己完全沉浸在游戏世界中。根据原著，游戏玩家从“Hajimari - no - machi”动身出发，“内部测试”始于城市广场。如上文所述，基于认知计算而创建的导游“Cog”已告诉我如何在VR世界中移动，因此，我很快便知道了游戏规则，可通过自己的脚板在“Hajimari - no - machi”周围自由地走动，同时通过臂部动作和手势来做出挥舞武器及打开菜单等动作。我注意到在VR世界中其他角色扮演者与者也实时地在边走边聊。尽管“NerveGear”之间的数据交换量极大，但都被IBM公司轻松处理。
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“IBM参与的首款虚拟现实大型多人在线游戏(VRMMO)《刀剑神域:起源(Sword Art Online: The Beginning)》”是日本刀剑神域动漫公司(SAO)与IBM日本公司联合开展的虚拟现实(VR)展示活动。从小说、到动漫和游戏，SAO旗下作品以各种形式风靡全球。
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在这次活动中，4位扮演者将同时开展联机游戏。IBM日本云事业部高级架构师兼IBM云计算大师(Cloud Evangelist) Tomoari Yasuda表示：“本次活动中使用的系统在高可扩展的环境中使用3D捕获数据，允许几千甚至几万名用户同时联机。”他表示，此类系统的一个显著的特点是它可通过IBM公有云的卓越技术将诸多“不可能”变为可能。
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“安徽的一个小县城，街上的车都是皖S开头，没有XX品牌，但有蜜雪冰城 这里一点都不繁华 可是我的牵挂都在这”，品牌A将自己与头部品牌做捆绑并引发用户共鸣，突出自己与头部品牌的差异点：品牌B不会开在偏远小县城但是品牌A会，将 “家乡” 与 “品牌A” 强结合，开始为品牌A后续指数增长蓄势。
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关于是否存在 $\aleph_0$ 和 $\aleph_1$ 之间基数的问题，是1900年希尔伯特在第二届国际数学家大会（ICM）的著名报告中提到的23个问题中的第一个。该问题首先由德国数学家康托(Cantor)提出。到1963年，Paul Cohen证明了连续统问题与现有的ZFC集合公理体系是相容的。即：无论“不存在集合 $A$ ，使得 $|\mathbb{N}| < |A| < |\mathcal{P}(\mathbb{N})|$”，还是“存在集合 $A$ ，使得 $|\mathbb{N}| < |A| < |\mathcal{P}(\mathbb{N})|$”，都可以作为公理（axiom）被加到现有的ZFC集合公理体系中而不会引起矛盾。
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问题 9.22 对于群 \(G\)，若非有限生成子群组成的集合族 \(\{H_i\}_{i\in I}\) 对包含关系作成全序集. 求证: \(\bigcup_{i\in I}H_i\) 是群, 且非有限生成. 并说明当一个群不是所有子群都有限生成时, 有极大非有限生成子群. (提示: 否则, \(\bigcup_{i\in I}H_i\) 的生成元散落在有限的 \(H_i\) 之中, 这与某个 \(H_i\) 的非有限生成性矛盾. 最后这是 Zorn 引理的标准运用. )
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其中 $\exists!$ 表示存在唯一. 称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的映射 (mapping) 或函数 (function), 记为 $f:X \to Y$. 称 $X$ 为定义域 (domain), $Y$ 为伴域 (codomain) 或陪域. 对于 $(x,y) \in f$, 记 $f(x)=y$, 称 $y$ 为 $x$ 的像 (image), $x$ 为 $y$ 的原像 (preimage). 整体可以记作
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$x\in A$，我们有 $f(x)\in f(A)=A_1$。因为 $x\notin A_1$ 且 $f$ 为单射，我们有 $f(x)\notin f(A_1)$ （若 $f(x)\in f(A_1)$，则存在 $y\in A_1$，使得 $f(x)=f(y)$。由于 $x\notin A_1$，我们有 $x\neq y$。但是 $f(x)=f(y)$ 与 $f$ 为单射矛盾）。故 $f(x)\in A_1 - f(A_1)$，从而 $f(A_1)\subseteq A_1$。
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例 2.
下面是一些具体的例子:
- $a \in \{a, e, i, o, u\}$。
- $a \notin \{\{a\}\}$。
- $\emptyset \notin \emptyset$, $\emptyset \in \{\emptyset\}$, $\emptyset \notin \{\{\emptyset\}\}$。
- $\{a, b, c\} \subseteq \{a, b, c, d\}$。
- $\emptyset \subseteq S$, $S \subseteq S$。
- $\{a, b, d, c\} = \{a, b, c, d\}$。
- $\{1, 2\} = \{x|x > 0 \land x^2 \leq 4\}$。
- $|\{a, b, c, \{f\}, \{1, 2, \{4, 5\}\}\}| = 5$。
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定理 11.
对于有限集合 $A$ 和 $B$，我们有：
\begin{itemize}
\item $|A \cap B| \leq |A| + |B|$.
\item $|A \cap B| \leq \min(|A|, |B|)$.
\item $|A - B| \geq |A| - |B|$.
\item $|A \oplus B| = |A| + |B| - 2|A \cap B|$.
\item $\mathcal{P}(A) = 2^{|A|}$.
\end{itemize}
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目前看来，我们介绍的集合论一切正常。但这样的集合论是否是没有问题的呐？
### 理发师悖论
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：
“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”
请问这位理发师能给自己刮脸吗？
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- 小写字母表示 “元素” 或 “方程”
- \(a, b, c\) for elements (元素)
- \(f, g\) for functions (函数)
- \(i, j, k\) for integer indices (下标)
- \(x, y, z\) for free variables (自由变量)
- English initial for variables with meanings
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补充 2.30 ($n$ 元运算) 当然，自然可以定义封闭的 $n$ 元运算的含义为
\[
X^n \to X
\]
特别地，$n = 0$ 时，我们需要定义 “零个” 集合的 Cartesius 积. 正如我们对连乘定义的，“零个” 集合的 Cartesius 积认为是单点集 $\{*\}$，那么零元运算就是指定元素.
这样，我们有更多例子，例如对复数取共轭，就是一个一元运算. 对三个点求重心，就是一个三元运算.
定义 2.31 (作用) 若运算 $f:X \times Y \to Z$，则称 $f$ 是 $X$ 在 $Y$ 上到 $Z$ 的一个左作用 (left-action)，简称作用. 也视为一种运算，记 $f(x, y)=xfy$.
若 $f:Y \times X \to Z$，称 $f$ 为 $X$ 在 $Y$ 上到 $Z$ 的一个右作用 (right-action). 也视为一种运算，记 $f(y, x)=yfx$.
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定义 2.39 (消去律) 已知 \(X\) 和 \(Y\) 到 \(Z\) 上的运算 “\(\cdot\)”，若
\[
\forall x \in X, y,z \in Y \quad x \cdot y = x \cdot z \iff y = z
\]
则称 “\(\cdot\)” 满足 左消去律 (left-cancellation property). 若
\[
\forall y,z \in X, x \in Y, \quad y \cdot x = z \cdot x \iff y = z
\]
则称 “\(\cdot\)” 满足 右消去律 (right-cancellation property). 同时满足左右两种消去律的被称其满足 消去律 (cancellation property).
例如, 矩阵环就不满足消去律, 考虑
\[
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
& 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
& 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
& 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
& 0
\end{pmatrix}
= \boldsymbol{O}
\]
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定义 3.1 (等势, 基数) 已知集合 \(X, Y\)，若存在双射 \(f: X \stackrel{1:1}{\leftrightarrow} Y\)，则称 \(X, Y\) 是等势的 (equipotent) 或有相同的基数 (cardinal)，记作 \(|X| = |Y|\) 或 \(\text{card}(X)=\text{card}(Y)\) 或 \(\#X = \#Y\)。
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定义 3.8 (可数集) 已知集合 \(X\)，若 \(|X| = |\mathbb{N}|\)，则称 \(X\) 为 可数 (count - able) 集或 可列集，记为 \(|X| = \aleph_0\) 或 \(\omega\)。有限集和可数集合称为 至多 (at most) 可数集。
毫无疑问，可数集的最大特点就是可以“列出来”。例如前面我们所证明的，\(\mathbb{Z}\)，\(\mathbb{N}^\)，\(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\) 都是可数集。
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抽屉原理：$n + 1$个物体放到$n$个抽屉里，则一定存在某一抽屉里面至少有两个物体。
抽屉原理强形式: 设 $m_1, m_2, \cdots, m_n$ 都是正整数,若把 $m_1 + m_2 + \cdots + m_n - n + 1$ 个物体放到 $n$ 个抽屉里, 则或第一个抽屉里至少有 $m_1$ 个物体, 或第二个抽屉里至少有 $m_2$ 个物体, $\cdots$, 或第 $n$ 个抽屉里至少有 $m_n$ 个物体。
说明:当 $m_1 = m_2 = \cdots = m_n = 2$ 时，$m_1 + m_2 + \cdots + m_n - n + 1 = n + 1$。抽屉原理是强形式的一种特殊情况。
推论 1：若有 $m$ 个物体放到 $n$ 个抽屉里，则一定存在某一个抽屉，它里面至少有 $\lceil (m - 1)/n\rceil + 1$ 个物体。
推论 2 若把 $n(m - 1)+1$ 个物体放进 $n$ 个抽屉，则一定存在一个抽屉，里面至少有 $m$ 个物体 此推论是强形式中，当 $m_1 = m_2 = \cdots = m_n = m$ 时的特殊情况。
推论 3 若 $m_1, m_2, \cdots, m_n$ 是 $n$ 个正整数，且 $(m_1 + m_2 + \cdots + m_n)/n > r - 1$，则 $m_1, m_2, \cdots, m_n$ 中 至少有一个大于或等于 $r$。
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Kenneth Kunen. \textit{Set Theory: Mathematical logic and Foundations}, College Publications, 2011.
郝兆宽、杨跃. \textit{集合论: 对无穷概念的探索}, 复旦大学出版社, 2014.
Ralf Schindler. \textit{Set Theory: Exploring Independence and Truth}, Springer, 2014.
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\begin{document}
Interpretable symbols
\begin{itemize}
\item variables: \(v_0, v_1, v_2, \ldots\)
\item connective: \(\neg, \land, \lor, \to, \leftrightarrow, \ldots\)
\item parentheses: \((,)\)
\item predicates: \(=, P_0^{k_0}, P_1^{k_1}, P_2^{k_2}, \ldots\)
\item function symbols: \(f_0^{k_0}, f_1^{k_1}, f_2^{k_2}, \ldots\)
\item quantifiers: \(\forall, \exists\)
\end{itemize}
\end{document}
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\begin{itemize}
\item variables: \(v_0, v_1, v_2, \ldots\)
\item connective: \(\neg, \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow, \ldots\)
\item parentheses: \((, )\)
\item predicates: \(=, P_0^{k_0}, P_1^{k_1}, P_2^{k_2}, \ldots\)
\item function symbols: \(f_0^{k_0}, f_1^{k_1}, f_2^{k_2}, \ldots\)
\item quantifiers: \(\forall, \exists\)
\end{itemize}
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Fix a language $\mathcal{L}$, and a $\mathcal{L}$-structure $\mathfrak{M}$, an \textcolor{yellow}{assignment} $s$ is a function, which assigns every variable an element in the \textcolor{green}{domain} $M$ of the structure, i.e. $s: V \to M$
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Even
\begin{itemize}
\item $1 + 1 = 2$
\item $x \notin x$
\end{itemize}
are not logically true
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Axiom of pair
\[
\forall x \forall y \exists Z \, Z = \{x, y\}
\]
where \(z \in \{x, y\}\) stands for \(z = x \vee z = y\)
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Separation schema: For each formula of the language of set theory $\varphi(x, v_1, \ldots, v_k)$, the following is an axiom of separation
\[
\forall A \exists B \forall x (x \in B \leftrightarrow x \in A \land \varphi(x, v_1, \ldots, v_k))
\]
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3.1 集合及其运算
3.2 二元关系
3.3 集合上的二元关系及其特性
3.4 关系的闭包运算
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例如：\(<\)北京，上海\(>\)
表示某火车行驶的起点和终点。
\(<\)北京，上海\(>\neq<\)上海，北京\(>\)
两个序偶\(<a_1, b_1>=<a_2,b_2>\)的充要条件是:
\(a_1 = a_2\)且\(b_1 = b_2\)
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【定理】如果集合\(A\)和\(B\)都是有限集，那么
\[
|A \times B| = |A| \cdot |B|
\]
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【例题】设 \(A\) 和 \(B\) 分别是学校的所有教师和所有课程构成的集合。设 \(R_1 = \{ \langle a, b \rangle \mid a \in A, b \in B，且 a 主讲 b\}\)，\(R_2 = \{ \langle a, b \rangle \mid a \in A, b \in B，且 a 辅导 b\}\)，解释关系 \(R_1 \cup R_2\)，\(R_1 \cap R_2\)，\(R_1 \oplus R_2\) 的含义。
解答：\(R_1 \cup R_2\) 由这样的序偶 \(\langle a, b \rangle\) 组成，即 \(b\) 是由教师 \(a\) 主讲课程或者辅导课程。
\(R_1 \cap R_2\) 由这样的序偶 \(\langle a, b \rangle\) 组成，即 \(b\) 是由教师 \(a\) 主讲和辅导的课程。
\(R_1 \oplus R_2\) 由这样的序偶 \(\langle a, b \rangle\) 组成，即教师 \(a\) 仅主讲但没有辅导课程 \(b\) 或者教师 \(a\) 仅辅导但没有主讲课程 \(b\)。
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【例题】设集合$A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{2, 3, 4\}$, $C = \{1, 2, 3\}$。
\[
R = \{ \langle x, y \rangle \mid x + y = 6, x \in A, y \in B\}
\]
\[
S = \{ \langle y, z \rangle \mid y - z = 1, y \in B, z \in C\}
\]
求$R$与$S$的复合关系$R \circ S$。
解答:
\[
R = \{ \langle 2, 4 \rangle, \langle 4, 2 \rangle, \langle 3, 3 \rangle \}
\]
\[
S = \{ \langle 2, 1 \rangle, \langle 3, 2 \rangle, \langle 4, 3 \rangle \}
\]
\[
R \circ S = \{ \langle 2, 3 \rangle, \langle 4, 1 \rangle, \langle 3, 2 \rangle \}
\]
\[
= \{ \langle x, z \rangle \mid x + z = 5, x \in A, z \in C\}
\]
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求\(R\)与\(S\)的复合关系\(R\circ S\)。
解答：
\[
R = \{<2,4>, <4,2>, <3,3>\}
\]
\[
S = \{<2,1>, <3,2>, <4,3>\}
\]
\[
R\circ S = \{<2,3>, <4,1>, <3,2>\}
\]
\[
= \{<x,z> \mid x + z = 5, x\in A, z\in C\}
\]
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【例题】设集合$A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{2, 3, 4\}$, $C = \{1, 2, 3\}$。
\[
R = \{ \langle x, y \rangle \mid x + y = 6, x \in A, y \in B\}
\]
\[
S = \{ \langle y, z \rangle \mid y - z = 1, y \in B, z \in C\}
\]
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【例题】设集合\(A = \{1, 2, 3, 4\}\)，\(B = \{2, 3, 4\}\)，\(C = \{1, 2, 3\}\)。
\(R=\{\langle x,y\rangle|x + y = 6, x\in A, y\in B\}=\{\langle 2,4\rangle,\langle 4,2\rangle,\langle 3,3\rangle\}\)
\(S=\{\langle y,z\rangle|y - z = 1, y\in B, z\in C\}=\{\langle 2,1\rangle,\langle 3,2\rangle,\langle 4,3\rangle\}\)
求\(R\)与\(S\)的逆关系\(R^c\)和\(S^c\)。
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求$R$与$S$的逆关系$R^c$和$S^c$。
解答：
\[
R^c = \{ \langle 4,2 \rangle, \langle 2,4 \rangle, \langle 3,3 \rangle \} = \{ \langle y,x \rangle \mid x + y = 6, x \in A, y \in B \}
\]
\[
S^c = \{ \langle 1,2 \rangle, \langle 2,3 \rangle, \langle 3,4 \rangle \} = \{ \langle z,y \rangle \mid y - z = 1, y \in B, z \in C \}
\]
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等价的描述方式：
\[
\begin{align*}
x\in A - (B\cup C)&\Leftrightarrow (x\in A)\land(x\notin (B\cup C))\Leftrightarrow x\in A\land x\notin B\land x\notin C\\
&\Leftrightarrow (x\in A\land x\notin B)\land(x\in A\land x\notin C)\\
&\Leftrightarrow (x\in (A - B))\land(x\in (A - C))\\
&\Leftrightarrow x\in (A - B)\cap(A - C)
\end{align*}
\]
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\[
\begin{align*}
A - B=\varnothing&\Rightarrow A\cap B = A: \\
A\cap B&=(A\cap B)\cup(A\cap\sim B)\\
&=A\cap(B\cup\sim B)=A\cap U = A
\end{align*}
\]
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- 广义并
- 设\(A\)为集合，\(A\)的所有元素的并，记为\(\cup A\)；定义为
\[
\cup A = \{x|\exists y\in A, x\in y\}
\]
- 广义交
- 设\(A\)为\(\textcolor{blue}{非空}\)集合，\(A\)的所有元素的交，记为\(\cap A\)，定义为：
\[
\cap A = \{x|\forall y\in A \rightarrow x\in y\}
\]
- 注意：限制条件为“\(A\)非空”，\(\cap \varnothing\)无意义
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