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image imagewidth (px) 44 2.33k	text stringlengths 1 14.3k
	*T < T_c 时的等温线，由单调性变化存在同一个 p 对应三个不同的 v，最小的是液态，最大的是气态，而中间点由于 $(\frac{\partial p}{\partial v})_T > 0$，并不是稳定状态。
	* 部分稳定在气态，部分稳定在液态，此时由之前平衡条件应有 \(T_G = T_L,p_G = p_L,\mu_G = \mu_L\)，其中 \(G,L\) 分别为气体、液体，\(\mu\) 若有大小差别则指示汽化/液化的方向
	考虑沿某条等温线运动，此时 $\mathrm{d}\mu = -s\mathrm{d}T + v\mathrm{d}p = v\mathrm{d}p$ (注意到已经同除以了粒子摩尔数)，于是 $\mu_Q = \mu_0 + \int_{0}^{Q} v\mathrm{d}p$，变化如图：
	(1)机械平衡(或称力平衡)：体系内部各处压力相等，体系与环境之间压力相等，体系的界面不发生移动。如果体系与环境之间是刚性壁隔开，可是不考虑环境的压力。
	3.孤立体系(isolated system)，又叫隔离体系。体系与环境之间既无物质交换，也无能量交换。
	1、敞开体系(\text{open system})，又叫开放体系。物系与环境之间既可有物质交换，又可有能量交换。
	2.封闭体系(closed system)，又叫关闭体系。物系与环境之间只有能量交换，而没有物质交换。
	在热力学中为了明确研究的对象，常常将所研究的这部分物质或空间，从周围其他的物质或空间中划分出来，而称之为体系(system),也称物系。
	B、环境对体系的作用、影响，是通过能量传递或物质传递来进行的。在以后讨论中，只去研究体系的变化情况，不去讨论环境的变化情况，就是说把环境当为成巨大的热库、功库、物质库，环境得到一点，消耗少一点都保持不变化。
	A、体系与环境都必须是由大量分子组成的，少数几个粒子，不能组成体系或环境；真空不能作为体系或环境。
	经典热力学研究的是处于热力学平衡态的体系。热力学平衡态时体系中各种物质的状态性质不随时间而改变，什么样状态是热力学平衡态呢？具体地说：
	$\S 1 - 1$ 热力学基本概念
	严格地讲，自然界并不存在孤立体系，地球上的物质受地心引力，绝热箱也不是绝对一点不散热，我们忽略了微小影响，近似当成孤立体系。
	(2)热平衡：体系内部各处温度相等。
	这里选择从上半平面积分是因为当 \(\|p\| \to \infty\) 时, \(f(p)\) 在上半平面一致收敛为 0. 因此, 两个无穷大 \(1/4\) 圆弧上积分值为 0; 再考虑到 \(im\) 处无穷小半圆弧上的积分值为 0, 我们就得到了笔记 (???) 式的第二行.
	\[ f(p)=\frac{p e^{i p r}}{\sqrt{p^{2}+m^{2}}}, \]
	\[ \begin{align} \int_{L_2} dp\ f(p)&=\int_{L_1} dp\ fp\\ &=\int_{\gamma_2} p\ f(p)+\int_{\gamma_1} dp\ f(p), \end{align} \]
	注意其中 \(p^{2}-m^{2}=(p^{0})^{2}-\mathbf{p}^{2}-m^{2}=(p^{0})^{2}-E_{\mathbf{p}}^{2}\).
	\[ \begin{align} \int_{L_2} dp\ f(p)&=\int_{L_1} dp\ fp\\ &=\int_{\gamma_2} p\ f(p)+\int_{\gamma_1} dp\ f(p), \end{align} \]
	点 \(p = \pm im\) 是 \(\sqrt{p^{2}+m^{2}}\) 的支点 (branch point). 从分支左侧到右侧时, 需要考虑图 ?? 中所示的分支切割 (branch cut), 此时 \(p^{2}+m^{2}\) 获得了 \(2\pi\) 的相位, 即 \(\sqrt{p^{2}+m^{2}}\) 获得了相位
	\[\begin{align} \gamma_1&: p(\rho)=i\rho,\rho\in[m,+\infty],\\ \gamma_2&: p(\rho)=i\rho,\rho\in[+\infty,m], \end{align}\]
	2.4 The Klein-Gordon Field in Space-Time
	3.2.1 像素、时钟和同步
	\[ \begin{align} V&=\sum_{i}n_{i}(\frac{\partial V}{\partial n_{i}})_{T,p,n_{j}}=\sum_{i}n_{i}v_{i}\\ U&=\sum_{i}n_{i}(\frac{\partial U}{\partial n_{i}})_{T,p,n_{j}}=\sum_{i}n_{i}u_{i}\\ S&=\sum_{i}n_{i}(\frac{\partial S}{\partial n_{i}})_{T,p,n_{j}}=\sum_{i}n_{i}s_{i}\\ G&=\sum_{i}n_{i}(\frac{\partial G}{\partial n_{i}})_{T,p,n_{j}}=\sum_{i}n_{i}\mu_{i} \end{align} \]
	\[ \begin{align} dU&=TdS - pdV+\sum_{i} \mu_{i}dn_{i}\\ dF&=-SdT - pdV+\sum_{i} \mu_{i}dn_{i}\\ dH&=TdS + Vdp+\sum_{i} \mu_{i}dn_{i}\\ dG&=-SdT + Vdp+\sum_{i} \mu_{i}dn_{i} \end{align} \]
	\[ T^{\alpha}=T^{\beta}, \quad p^{\alpha}=p^{\beta}, \quad \mu_{i}^{\alpha}=\mu_{i}^{\beta} \quad(i = 1, \cdots, k) \]
	则称这个函数为\(x_1,x_2,x_3\ldots x_k\)的 m 次齐函数，将 f 对 \(\lambda\) 求导后再令 \(\lambda = 1\)，可得:
	整个系统达到平衡时，两相中各组元的化学势必须分别相等。
	\[ SdT - Vdp + \sum_{i} n_{i}d\mu_{i} = 0 \]
	- 多元系：多元系是含有两种或两种以上化学组分的系统。（p90）
	- 欧拉定理：如果函数 \(f(x_1,x_2,x_3\ldots x_k)\) 满足以下关系：
	\(\sum_{i} x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} = m f\)
	第4章多元系的复相平衡和化学平衡热力学第三定律
	4.2 多元系的复相平衡条件
	4.1 多元热力学函数和热力学方程
	显然，任何广延量都是各组元物质的量的一次齐函数。
	其中\(\mu_i\) 定义为: \(\mu_i = \left(\frac{\partial U}{\partial n_i}\right)_{S,V,n_j} = \left(\frac{\partial H}{\partial n_i}\right)_{S,p,n_j} = \left(\frac{\partial F}{\partial n_i}\right)_{T,V,n_j} = \left(\frac{\partial G}{\partial n_i}\right)_{T,p,n_j}\)
	其定态解虽可解释玻尔给出的氢原子能谱，但是对精细结构的解释，不如索默菲公式的结果。
	$\left(\hbar^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-c^{2} \hbar^{2} \nabla^{2}+m^{2} c^{4}\right) \psi=0.$
	$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r},t)=\hat{H}\psi(\mathbf{r},t)$
	\(\hat{F}\psi \equiv (\hat{F}_t - \hat{F}_x) \psi = 0\)
	\(p \rightarrow -\mathrm{i}\hbar \frac{\partial }{\partial x}, \quad E \rightarrow \mathrm{i}\hbar \frac{\partial }{\partial t}\)
	2.4.1 薛定谔对其方程的“推导”（1926）
	\[ F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E^{1} & -E^{2} & -E^{3} \\ E^{1} & 0 & B^{3} & -B^{2} \\ E^{2} & -B^{2} & 0 & B^{1} \\ E^{3} & B^{2} & -B^{1} & 0 \end{pmatrix} \]
	\[ L = \frac{1}{2} \mu(\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}) - V(r) \]
	$\eta_{\mu\nu}m\ddot{x}^{\mu}=\frac{e}{c}\dot{x}^{\nu}F_{\mu\nu}$
	\(\{x^{\mu}\}=\{x^{0}=ct,x^{1}=x,x^{2}=y,x^{3}=z\}\)
	* 计算可验证当\(\mu = 1,2,3\)时即为三维中的\(m\ddot{\vec{r}} = e\vec{E}+\frac{e}{c}\dot{\vec{r}}\times \vec{B}\)，但\(\mu = 0\)对应第四维的洛伦兹力。
	利用矢量运算律 $\vec{r} \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla_{r}(\vec{r} \cdot \vec{A}) + (\vec{r} \cdot \nabla)\vec{A}$ 合并、整理即得
	\(m\ddot{\vec{r}} = e\vec{E} + \frac{e}{c}\dot{\vec{r}} \times \vec{B}\)
	考虑质心系中以极坐标表示，假设 \(V(\vec{r}) = V(r)\) 只与距离有关，与方向无关，则此时拉格朗日量为
	此时 $\theta$ 为循环坐标，对应的正则动量 $L = \mu r^{2}\dot{\theta}$ 守恒 (即角动量守恒)。
	由于 \(\vec{R}\) 为循环坐标，其对应正则动量守恒，计算得 \(\vec{\dot{R}}\) 守恒，因此退化为单体问题。
	考虑时空度规$\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(-1,1,1,1)$，则可用张量求和记号将右侧记作$\eta_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu}\mathrm{d}x^{\nu}$。此时，$\dot{x}$表示$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\tau}$，拉格朗日量事实上可以写作
	\(\vec{R}=\frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2},\ \vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1,\ \mu=\frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}\)
	\[ L = \frac{m}{2} \eta_{\mu\nu} \dot{x}^{\mu} \dot{x}^{\nu} + \frac{e}{c} \dot{x}^{\mu} A_{\mu} \]
	\[ L = \frac{1}{2} m \dot{\vec{r}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} m \dot{\vec{r}}_{2}^{2} - V(\vec{r}_{2} - \vec{r}_{1}) \]
	\[ L = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)\dot{\vec{R}}^{2}+\frac{1}{2}\mu\dot{\vec{r}}^{2}-V(\vec{r}) \]
	四向心力场中的运动
	$\S4.1$ 轨道方程
	\(\vec{m} = -\frac{e\hbar}{2m_e}(g_l \vec{L} + g_s \vec{S})/\hbar, \quad \vec{m}_N = \frac{e\hbar}{2m_p}(g_s \vec{S})/\hbar\)
	这里右侧 \((g_l\vec{L} + g_s\vec{S})/\hbar\) 代表无量纲总角动量，左侧系数即为量子力学中的 \(\mu\)。轨道角动量的贡献与经典情形一致，\(g_l = 1\)，而自旋角动量系数 \(g_s\) 依赖于粒子性质。
	\[A_{i}(x)\approx\frac{\mu}{4\pi\|\vec{x}\|}\int\mathrm{d}^{3}x'J_{i}(\vec{x}')+\frac{\mu x_{j}}{4\pi\|\vec{x}\|^{3}}\int\mathrm{d}^{3}x'J_{i}(\vec{x}')x_{j}'\]
	对平面电流圈，设其面积 \(S\)，电流强度 \(I\)，右手定则确定单位法向量 \(\vec{n}_{0}\)，即有 \(\vec{M} = SI\vec{n}_{0}\)，符合之前环形电流的结果。
	\[ x_{j} \int \mathrm{d}^{3} x^{\prime} \vec{J}(\vec{x}^{\prime}) x_{j}^{\prime}=-\vec{x} \times \vec{m}, \quad \vec{m}=\frac{1}{2} \int \mathrm{d}^{3} x^{\prime}(\vec{x}^{\prime} \times \vec{J}(\vec{x}^{\prime})) \]
	$\S3.3$ 磁多极展开
	* 利用高斯公式化到无穷远处可知 $\int \mathrm{d}^3 x' \partial_j (J_j(\vec{x}')x_i') = 0$，展开偏导并利用 $\nabla' \cdot \vec{J}(\vec{x}') = 0$ 即可得到上方第一项积分事实上为 0。
	凑积分为 0 的全微分后分母可改写为 $-\mathrm{d}\vec{l}_{1} \times (\mathrm{d}\vec{l}_{2} \times (\vec{x}_{1} - \vec{x}_{2}))$，从而有
	上方$\vec{m}$称为磁偶极矩 [简称磁矩]，由此可计算得
	考虑原点附近的电流分布与远处一点$\vec{x}$，仍假定充满磁导率$\mu$均匀介质，利用泰勒展开前两项
	\(\vec{B}(\vec{x}) = \frac{\mu}{4\pi} \left( \frac{3\vec{n}(\vec{n} \cdot \vec{m}) - \vec{m}}{\|\vec{x}\|^{3}} + \frac{8\pi}{3} \vec{m}\delta^{3}(\vec{x}) \right)\)
	若电流密度$\vec{J}(\vec{x})$由一系列带电$q_{i}$，速度$\vec{v}_{i}$的粒子提供，即$\vec{J}(\vec{x}) = \sum_{i} q_{i}\vec{v}_{i}\delta^{3}(\vec{x}-\vec{x}_{i})$，计算可知
	* 类似可知 $\int \mathrm{d}^{3}x' \partial_{k}'(J_{k}(\vec{x}') x_{i}' x_{j}') = 0$，展开化简可得到
	根据功能原理，\(\vec{F}_{2\rightarrow1}\) 可以写为两电流圈相互作用能对第一个电流圈坐标的正梯度 [由于保持电流不变而非磁矢势不变，这里的受力为正梯度而非负梯度]，也即
	\[\vec{A}(\vec{x}) = \frac{\mu}{4\pi} \frac{\vec{m} \times \vec{x}}{\|\vec{x}\|^{3}}, \quad \vec{B}(\vec{x}) = \frac{\mu}{4\pi} \left(\frac{3\vec{n}(\vec{n} \cdot \vec{m}) - \vec{m}}{\|\vec{x}\|^{3}} \right)\]
	\(\vec{m} = \frac{1}{2} \sum_{i} q_{i}(\vec{x}_{i} \times \vec{v}_{i}) = \sum_{i} \frac{q_{i}}{2M_{i}} \vec{L}_{i}\)
	\(\vec{F}_{2\rightarrow1} = \nabla_{\vec{x}_{1}} U = - \frac{\mu I_{1}I_{2}}{4\pi} \oint_{C_{1}} \oint_{C_{2}} \frac{(\vec{x}_{1} - \vec{x}_{2})(\mathrm{d}\vec{l}_{1} \cdot \mathrm{d}\vec{l}_{2})}{\|\vec{x}_{1} - \vec{x}_{2}\|^{3}}\)
	\(\vec{F}_{2\rightarrow1} = \oint_{C_1} I_1 \mathrm{d}\vec{l}_1 \times \vec{B}_{2\rightarrow1},\quad \vec{B}_{2\rightarrow1} = \frac{\mu}{4\pi} \oint_{C_2} \frac{I_2 \mathrm{d}\vec{l}_2 \times (\vec{x}_1 - \vec{x}_2)}{\|\vec{x}_1 - \vec{x}_2\|^3}\)
	这里 $\vec{L}_{i}$ 表示粒子角动量。若所有粒子 $q_{i},M_{i}$ 同为 $q,M$，即有 $\vec{m}=\frac{q}{2M}\vec{L}$，$\vec{L}$ 为总角动量 $\sum_{i} \vec{L}_{i}$。 * 量子力学中除了经典角动量外还有纯量子的自旋角动量 $\vec{S}$，原子磁矩与核子磁矩分别为
	$\frac{1}{\|\vec{x} - \vec{x}'\|} \approx \frac{1}{\|\vec{x}\|} + \frac{\vec{x} \cdot \vec{x}'}{\|\vec{x}\|^3}$
	Benjamin Franklin Henry Cavendish C. de Coulomb Alessandro Volta Jean - Baptiste Biot André - Marie Ampère Hans Christian Ørsted Carl Friedrich Gauss Georg Simon Ohm Michael Faraday Félix Savart Heinrich F. Emil Lenz James Clerk Maxwell Heinrich Hertz J. J. Thomson
	\begin{enumerate} \item 1706--1790 \item 1731--1810 \item 1736--1806 \item 1745--1827 \item 1774--1862 \item 1775--1836 \item 1777--1851 \item 1777--1855 \item 1789--1854 \item 1791--1867 \item 1791--1841 \item 1804--1865 \item 1831--1879 \item 1857--1894 \item 1856--1940 \end{enumerate}
	美国英国法国意大利法国法国丹麦德国德国英国法国俄/德国英国德国英国
	\(\gamma = \frac{\overline{xy} - \overline{x} \cdot \overline{y}}{\sqrt{(\overline{x^{2}} - \overline{x}^{2})(\overline{y^{2}} - \overline{y}^{2})}}\)
	单晶硅
	- 等离子体的参数范围很大，温度跨越了约7个量级，密度跨越约25个量级，这么大的范围类，等离子体物理都是适用的。
	等离子体的各种存在
	探索微观结构？
	如果把单个分子再加以分割，物质的物理性质和化学性质就会明显地变化。
	这表明物质微观结构与宏观结构不同，不能从宏观世界规律直接推广到微观来认识微观世界的规律性。
	\[f(v)=f\left(\sum_{k = 1}^{n}a_{k}v_{k}\right)=\sum_{k = 1}^{n}a_{k}w_{k}=0\]
	\[f(\lambda v_1 + \mu v_2)=f\left(\sum(\lambda a_k + \mu b_k)v_k\right)=\sum(\lambda a_k + \mu b_k)w_k=\lambda f(v_1)+\mu f(v_2)\]
	\[\prod_{k = 1}^{m} V_{k}=V_{1} \times \cdots \times V_{m}=\left\{\left(v_{1}, \cdots, v_{m}\right): v_{k} \in V_{k}\right\},\]
	甚至更好地，对于同构的线性空间\(V,W\)中的基\(v_1,\cdots ,v_n,\ w_1,\cdots ,w_n\)，我们必定存在一个同构映射\(f\)，使得\(f(v_i)=w_i,i = 1,\cdots ,n\)，并且这种映射是唯一的.
	根据\(w\)的线性无关性可知\(a_1 = \cdots = a_n = 0\)，因此\(\mathrm{Ker} f = \{0\}\)，故\(f\)单. 对于任意\(w = \sum a_k w_k \in W\)，都存在\(v = \sum a_k v_k \in V\)使得\(f(v) = w\)，故\(f\)满.
	容易验证，上面定义的确实是一个线性空间. 线性空间的积就是将一系列线性空间并置得到的新空间，比如通过域$\mathbb{R}$可以构造出空间$\mathbb{R}^n$，这是我们最熟悉的一类线性空间.
	唯一性：假设存在线性映射 \(f_1,f_2 \in \mathcal{L}(V,W)\) 满足条件，则令 \(g = f_1 - f_2 \in \mathcal{L}(V,W)\)，对于任意 \(v = \sum a_k v_k\) 都有 \(g(v)=\sum a_k g(v_k)=0\)，故 \(g = 0, f_1 = f_2\).
	设有限维线性空间 \(V \cong W\)，\(v_1,\cdots ,v_n\)，\(w_1,\cdots ,w_n\) 分别为 \(V,W\) 中的一组基，则存在唯一双射 \(f \in \mathcal{L}(V,W)\)，使得 \(f(v_i)=w_i,i = 1,\cdots ,n\).
	注乍看来上述推论的条件要求过高，但这一结论当 \(W = V\) 时有很好的应用，这一点在讨论线性变换（线性算子）时会涉及到.
	\(\sum_{k = 1}^{n} a_{k} v_{k} \longmapsto \sum_{k = 1}^{n} a_{k} w_{k}\)

*T < T_c 时的等温线，由单调性变化存在同一个 p 对应三个不同的 v，最小的是液态，最大的是气态，而中间点由于 $(\frac{\partial p}{\partial v})_T > 0$，并不是稳定状态。

* 部分稳定在气态，部分稳定在液态，此时由之前平衡条件应有 $T_G = T_L,p_G = p_L,\mu_G = \mu_L$，其中 $G,L$ 分别为气体、液体，$\mu$ 若有大小差别则指示汽化/液化的方向

考虑沿某条等温线运动，此时 $\mathrm{d}\mu = -s\mathrm{d}T + v\mathrm{d}p = v\mathrm{d}p$ (注意到已经同除以了粒子摩尔数)，于是 $\mu_Q = \mu_0 + \int_{0}^{Q} v\mathrm{d}p$，变化如图：

(1)机械平衡(或称力平衡)：体系内部各处压力相等，体系与环境之间压力相等，体系的界面不发生移动。如果体系与环境之间是刚性壁隔开，可是不考虑环境的压力。

3.孤立体系(isolated system)，又叫隔离体系。体系与环境之间既无物质交换，也无能量交换。

1、敞开体系(\text{open system})，又叫开放体系。物系与环境之间既可有物质交换，又可有能量交换。

2.封闭体系(closed system)，又叫关闭体系。物系与环境之间只有能量交换，而没有物质交换。

在热力学中为了明确研究的对象，常常将所研究的这部分物质或空间，从周围其他的物质或空间中划分出来，而称之为体系(system),也称物系。

B、环境对体系的作用、影响，是通过能量传递或物质传递来进行的。在以后讨论中，只去研究体系的变化情况，不去讨论环境的变化情况，就是说把环境当为成巨大的热库、功库、物质库，环境得到一点，消耗少一点都保持不变化。

A、体系与环境都必须是由大量分子组成的，少数几个粒子，不能组成体系或环境；真空不能作为体系或环境。

经典热力学研究的是处于热力学平衡态的体系。热力学平衡态时体系中各种物质的状态性质不随时间而改变，什么样状态是热力学平衡态呢？具体地说：

$\S 1 - 1$ 热力学基本概念

严格地讲，自然界并不存在孤立体系，地球上的物质受地心引力，绝热箱也不是绝对一点不散热，我们忽略了微小影响，近似当成孤立体系。

(2)热平衡：体系内部各处温度相等。

这里选择从上半平面积分是因为当 $|p| \to \infty$ 时, $f(p)$ 在上半平面一致收敛为 0. 因此, 两个无穷大 $1/4$ 圆弧上积分值为 0; 再考虑到 $im$ 处无穷小半圆弧上的积分值为 0, 我们就得到了笔记 (???) 式的第二行.

\[ f(p)=\frac{p e^{i p r}}{\sqrt{p^{2}+m^{2}}}, \]

\[ \begin{align*} \int_{L_2} dp\ f(p)&=\int_{L_1} dp\ fp\\ &=\int_{\gamma_2} p\ f(p)+\int_{\gamma_1} dp\ f(p), \end{align*} \]

注意其中 $p^{2}-m^{2}=(p^{0})^{2}-\mathbf{p}^{2}-m^{2}=(p^{0})^{2}-E_{\mathbf{p}}^{2}$.

\[ \begin{align*} \int_{L_2} dp\ f(p)&=\int_{L_1} dp\ fp\\ &=\int_{\gamma_2} p\ f(p)+\int_{\gamma_1} dp\ f(p), \end{align*} \]

点 $p = \pm im$ 是 $\sqrt{p^{2}+m^{2}}$ 的支点 (branch point). 从分支左侧到右侧时, 需要考虑图 ?? 中所示的分支切割 (branch cut), 此时 $p^{2}+m^{2}$ 获得了 $2\pi$ 的相位, 即 $\sqrt{p^{2}+m^{2}}$ 获得了相位

\[\begin{align*} \gamma_1&: p(\rho)=i\rho,\rho\in[m,+\infty],\\ \gamma_2&: p(\rho)=i\rho,\rho\in[+\infty,m], \end{align*}\]

2.4 The Klein-Gordon Field in Space-Time

3.2.1 像素、时钟和同步

\[ \begin{align*} V&=\sum_{i}n_{i}(\frac{\partial V}{\partial n_{i}})_{T,p,n_{j}}=\sum_{i}n_{i}v_{i}\\ U&=\sum_{i}n_{i}(\frac{\partial U}{\partial n_{i}})_{T,p,n_{j}}=\sum_{i}n_{i}u_{i}\\ S&=\sum_{i}n_{i}(\frac{\partial S}{\partial n_{i}})_{T,p,n_{j}}=\sum_{i}n_{i}s_{i}\\ G&=\sum_{i}n_{i}(\frac{\partial G}{\partial n_{i}})_{T,p,n_{j}}=\sum_{i}n_{i}\mu_{i} \end{align*} \]

\[ \begin{align*} dU&=TdS - pdV+\sum_{i} \mu_{i}dn_{i}\\ dF&=-SdT - pdV+\sum_{i} \mu_{i}dn_{i}\\ dH&=TdS + Vdp+\sum_{i} \mu_{i}dn_{i}\\ dG&=-SdT + Vdp+\sum_{i} \mu_{i}dn_{i} \end{align*} \]

\[ T^{\alpha}=T^{\beta}, \quad p^{\alpha}=p^{\beta}, \quad \mu_{i}^{\alpha}=\mu_{i}^{\beta} \quad(i = 1, \cdots, k) \]

则称这个函数为$x_1,x_2,x_3\ldots x_k$的 m 次齐函数，将 f 对 $\lambda$ 求导后再令 $\lambda = 1$，可得:

整个系统达到平衡时，两相中各组元的化学势必须分别相等。

\[ SdT - Vdp + \sum_{i} n_{i}d\mu_{i} = 0 \]

- 多元系：多元系是含有两种或两种以上化学组分的系统。（p90）

- 欧拉定理：如果函数 $f(x_1,x_2,x_3\ldots x_k)$ 满足以下关系：

$\sum_{i} x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} = m f$

第4章多元系的复相平衡和化学平衡热力学第三定律

4.2 多元系的复相平衡条件

4.1 多元热力学函数和热力学方程

显然，任何广延量都是各组元物质的量的一次齐函数。

其中$\mu_i$ 定义为: $\mu_i = \left(\frac{\partial U}{\partial n_i}\right)_{S,V,n_j} = \left(\frac{\partial H}{\partial n_i}\right)_{S,p,n_j} = \left(\frac{\partial F}{\partial n_i}\right)_{T,V,n_j} = \left(\frac{\partial G}{\partial n_i}\right)_{T,p,n_j}$

其定态解虽可解释玻尔给出的氢原子能谱，但是对精细结构的解释，不如索默菲公式的结果。

$\left(\hbar^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-c^{2} \hbar^{2} \nabla^{2}+m^{2} c^{4}\right) \psi=0.$

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r},t)=\hat{H}\psi(\mathbf{r},t)$

$\hat{F}\psi \equiv (\hat{F}_t - \hat{F}_x) \psi = 0$

$p \rightarrow -\mathrm{i}\hbar \frac{\partial }{\partial x}, \quad E \rightarrow \mathrm{i}\hbar \frac{\partial }{\partial t}$

2.4.1 薛定谔对其方程的“推导”（1926）

\[ F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E^{1} & -E^{2} & -E^{3} \\ E^{1} & 0 & B^{3} & -B^{2} \\ E^{2} & -B^{2} & 0 & B^{1} \\ E^{3} & B^{2} & -B^{1} & 0 \end{pmatrix} \]

\[ L = \frac{1}{2} \mu(\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}) - V(r) \]

$\eta_{\mu\nu}m\ddot{x}^{\mu}=\frac{e}{c}\dot{x}^{\nu}F_{\mu\nu}$

$\{x^{\mu}\}=\{x^{0}=ct,x^{1}=x,x^{2}=y,x^{3}=z\}$

* 计算可验证当$\mu = 1,2,3$时即为三维中的$m\ddot{\vec{r}} = e\vec{E}+\frac{e}{c}\dot{\vec{r}}\times \vec{B}$，但$\mu = 0$对应第四维的洛伦兹力。

利用矢量运算律 $\vec{r} \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla_{r}(\vec{r} \cdot \vec{A}) + (\vec{r} \cdot \nabla)\vec{A}$ 合并、整理即得

$m\ddot{\vec{r}} = e\vec{E} + \frac{e}{c}\dot{\vec{r}} \times \vec{B}$

考虑质心系中以极坐标表示，假设 $V(\vec{r}) = V(r)$ 只与距离有关，与方向无关，则此时拉格朗日量为

此时 $\theta$ 为循环坐标，对应的正则动量 $L = \mu r^{2}\dot{\theta}$ 守恒 (即角动量守恒)。

由于 $\vec{R}$ 为循环坐标，其对应正则动量守恒，计算得 $\vec{\dot{R}}$ 守恒，因此退化为单体问题。

考虑时空度规$\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(-1,1,1,1)$，则可用张量求和记号将右侧记作$\eta_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu}\mathrm{d}x^{\nu}$。此时，$\dot{x}$表示$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\tau}$，拉格朗日量事实上可以写作

$\vec{R}=\frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2},\ \vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1,\ \mu=\frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}$

\[ L = \frac{m}{2} \eta_{\mu\nu} \dot{x}^{\mu} \dot{x}^{\nu} + \frac{e}{c} \dot{x}^{\mu} A_{\mu} \]

\[ L = \frac{1}{2} m \dot{\vec{r}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} m \dot{\vec{r}}_{2}^{2} - V(\vec{r}_{2} - \vec{r}_{1}) \]

\[ L = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)\dot{\vec{R}}^{2}+\frac{1}{2}\mu\dot{\vec{r}}^{2}-V(\vec{r}) \]

四向心力场中的运动

$\S4.1$ 轨道方程

$\vec{m} = -\frac{e\hbar}{2m_e}(g_l \vec{L} + g_s \vec{S})/\hbar, \quad \vec{m}_N = \frac{e\hbar}{2m_p}(g_s \vec{S})/\hbar$

这里右侧 $(g_l\vec{L} + g_s\vec{S})/\hbar$ 代表无量纲总角动量，左侧系数即为量子力学中的 $\mu$。轨道角动量的贡献与经典情形一致，$g_l = 1$，而自旋角动量系数 $g_s$ 依赖于粒子性质。

\[A_{i}(x)\approx\frac{\mu}{4\pi|\vec{x}|}\int\mathrm{d}^{3}x'J_{i}(\vec{x}')+\frac{\mu x_{j}}{4\pi|\vec{x}|^{3}}\int\mathrm{d}^{3}x'J_{i}(\vec{x}')x_{j}'\]

对平面电流圈，设其面积 $S$，电流强度 $I$，右手定则确定单位法向量 $\vec{n}_{0}$，即有 $\vec{M} = SI\vec{n}_{0}$，符合之前环形电流的结果。

\[ x_{j} \int \mathrm{d}^{3} x^{\prime} \vec{J}(\vec{x}^{\prime}) x_{j}^{\prime}=-\vec{x} \times \vec{m}, \quad \vec{m}=\frac{1}{2} \int \mathrm{d}^{3} x^{\prime}(\vec{x}^{\prime} \times \vec{J}(\vec{x}^{\prime})) \]

$\S3.3$ 磁多极展开

* 利用高斯公式化到无穷远处可知 $\int \mathrm{d}^3 x' \partial_j (J_j(\vec{x}')x_i') = 0$，展开偏导并利用 $\nabla' \cdot \vec{J}(\vec{x}') = 0$ 即可得到上方第一项积分事实上为 0。

凑积分为 0 的全微分后分母可改写为 $-\mathrm{d}\vec{l}_{1} \times (\mathrm{d}\vec{l}_{2} \times (\vec{x}_{1} - \vec{x}_{2}))$，从而有

上方$\vec{m}$称为磁偶极矩 [简称磁矩]，由此可计算得

考虑原点附近的电流分布与远处一点$\vec{x}$，仍假定充满磁导率$\mu$均匀介质，利用泰勒展开前两项

$\vec{B}(\vec{x}) = \frac{\mu}{4\pi} \left( \frac{3\vec{n}(\vec{n} \cdot \vec{m}) - \vec{m}}{|\vec{x}|^{3}} + \frac{8\pi}{3} \vec{m}\delta^{3}(\vec{x}) \right)$

若电流密度$\vec{J}(\vec{x})$由一系列带电$q_{i}$，速度$\vec{v}_{i}$的粒子提供，即$\vec{J}(\vec{x}) = \sum_{i} q_{i}\vec{v}_{i}\delta^{3}(\vec{x}-\vec{x}_{i})$，计算可知

* 类似可知 $\int \mathrm{d}^{3}x' \partial_{k}'(J_{k}(\vec{x}') x_{i}' x_{j}') = 0$，展开化简可得到

根据功能原理，$\vec{F}_{2\rightarrow1}$ 可以写为两电流圈相互作用能对第一个电流圈坐标的正梯度 [由于保持电流不变而非磁矢势不变，这里的受力为正梯度而非负梯度]，也即

\[\vec{A}(\vec{x}) = \frac{\mu}{4\pi} \frac{\vec{m} \times \vec{x}}{|\vec{x}|^{3}}, \quad \vec{B}(\vec{x}) = \frac{\mu}{4\pi} \left(\frac{3\vec{n}(\vec{n} \cdot \vec{m}) - \vec{m}}{|\vec{x}|^{3}} \right)\]

$\vec{m} = \frac{1}{2} \sum_{i} q_{i}(\vec{x}_{i} \times \vec{v}_{i}) = \sum_{i} \frac{q_{i}}{2M_{i}} \vec{L}_{i}$

$\vec{F}_{2\rightarrow1} = \nabla_{\vec{x}_{1}} U = - \frac{\mu I_{1}I_{2}}{4\pi} \oint_{C_{1}} \oint_{C_{2}} \frac{(\vec{x}_{1} - \vec{x}_{2})(\mathrm{d}\vec{l}_{1} \cdot \mathrm{d}\vec{l}_{2})}{|\vec{x}_{1} - \vec{x}_{2}|^{3}}$

$\vec{F}_{2\rightarrow1} = \oint_{C_1} I_1 \mathrm{d}\vec{l}_1 \times \vec{B}_{2\rightarrow1},\quad \vec{B}_{2\rightarrow1} = \frac{\mu}{4\pi} \oint_{C_2} \frac{I_2 \mathrm{d}\vec{l}_2 \times (\vec{x}_1 - \vec{x}_2)}{|\vec{x}_1 - \vec{x}_2|^3}$

这里 $\vec{L}_{i}$ 表示粒子角动量。若所有粒子 $q_{i},M_{i}$ 同为 $q,M$，即有 $\vec{m}=\frac{q}{2M}\vec{L}$，$\vec{L}$ 为总角动量 $\sum_{i} \vec{L}_{i}$。 * 量子力学中除了经典角动量外还有纯量子的自旋角动量 $\vec{S}$，原子磁矩与核子磁矩分别为

$\frac{1}{|\vec{x} - \vec{x}'|} \approx \frac{1}{|\vec{x}|} + \frac{\vec{x} \cdot \vec{x}'}{|\vec{x}|^3}$

Benjamin Franklin Henry Cavendish C. de Coulomb Alessandro Volta Jean - Baptiste Biot André - Marie Ampère Hans Christian Ørsted Carl Friedrich Gauss Georg Simon Ohm Michael Faraday Félix Savart Heinrich F. Emil Lenz James Clerk Maxwell Heinrich Hertz J. J. Thomson

\begin{enumerate} \item 1706--1790 \item 1731--1810 \item 1736--1806 \item 1745--1827 \item 1774--1862 \item 1775--1836 \item 1777--1851 \item 1777--1855 \item 1789--1854 \item 1791--1867 \item 1791--1841 \item 1804--1865 \item 1831--1879 \item 1857--1894 \item 1856--1940 \end{enumerate}

美国英国法国意大利法国法国丹麦德国德国英国法国俄/德国英国德国英国

$\gamma = \frac{\overline{xy} - \overline{x} \cdot \overline{y}}{\sqrt{(\overline{x^{2}} - \overline{x}^{2})(\overline{y^{2}} - \overline{y}^{2})}}$

单晶硅

- 等离子体的参数范围很大，温度跨越了约7个量级，密度跨越约25个量级，这么大的范围类，等离子体物理都是适用的。

等离子体的各种存在

探索微观结构？

如果把单个分子再加以分割，物质的物理性质和化学性质就会明显地变化。

这表明物质微观结构与宏观结构不同，不能从宏观世界规律直接推广到微观来认识微观世界的规律性。

\[f(v)=f\left(\sum_{k = 1}^{n}a_{k}v_{k}\right)=\sum_{k = 1}^{n}a_{k}w_{k}=0\]

\[f(\lambda v_1 + \mu v_2)=f\left(\sum(\lambda a_k + \mu b_k)v_k\right)=\sum(\lambda a_k + \mu b_k)w_k=\lambda f(v_1)+\mu f(v_2)\]

\[\prod_{k = 1}^{m} V_{k}=V_{1} \times \cdots \times V_{m}=\left\{\left(v_{1}, \cdots, v_{m}\right): v_{k} \in V_{k}\right\},\]

甚至更好地，对于同构的线性空间$V,W$中的基$v_1,\cdots ,v_n,\ w_1,\cdots ,w_n$，我们必定存在一个同构映射$f$，使得$f(v_i)=w_i,i = 1,\cdots ,n$，并且这种映射是唯一的.

根据$w$的线性无关性可知$a_1 = \cdots = a_n = 0$，因此$\mathrm{Ker} f = \{0\}$，故$f$单. 对于任意$w = \sum a_k w_k \in W$，都存在$v = \sum a_k v_k \in V$使得$f(v) = w$，故$f$满.

容易验证，上面定义的确实是一个线性空间. 线性空间的积就是将一系列线性空间并置得到的新空间，比如通过域$\mathbb{R}$可以构造出空间$\mathbb{R}^n$，这是我们最熟悉的一类线性空间.

唯一性：假设存在线性映射 $f_1,f_2 \in \mathcal{L}(V,W)$ 满足条件，则令 $g = f_1 - f_2 \in \mathcal{L}(V,W)$，对于任意 $v = \sum a_k v_k$ 都有 $g(v)=\sum a_k g(v_k)=0$，故 $g = 0, f_1 = f_2$.

设有限维线性空间 $V \cong W$，$v_1,\cdots ,v_n$，$w_1,\cdots ,w_n$ 分别为 $V,W$ 中的一组基，则存在唯一双射 $f \in \mathcal{L}(V,W)$，使得 $f(v_i)=w_i,i = 1,\cdots ,n$.

注乍看来上述推论的条件要求过高，但这一结论当 $W = V$ 时有很好的应用，这一点在讨论线性变换（线性算子）时会涉及到.

$\sum_{k = 1}^{n} a_{k} v_{k} \longmapsto \sum_{k = 1}^{n} a_{k} w_{k}$