wzmmmm/phycics_dataset · Datasets at Hugging Face

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	\[ \begin{align} \frac{1}{(z^{2}+1)^{2}}&=\frac{1}{(z - i)^{2}(z + i)^{2}}，\text{ 且 }\frac{1}{(z + i)^{2}}=-\frac{d}{dz}\left(\frac{1}{z + i}\right)，\\ \frac{1}{z + i}&=\frac{1}{2i+z - i}=\frac{1}{2i}\cdot\frac{1}{1+\frac{z - i}{2i}}=\frac{1}{2i}\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(z - i)^{n}}{(2i)^{n}}\quad【i=(-1)^{\frac{1}{2}}】\\ &=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{\frac{n - 1}{2}}(z - i)^{n}}{2^{n + 1}}\quad\|z - i\|\lt\|2i\| = 2。\\ \frac{1}{(z + i)^{2}}&=-\frac{d}{dz}\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{\frac{n - 1}{2}}(z - i)^{n}}{2^{n + 1}}=-\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{\frac{n - 1}{2}}n(z - i)^{n - 1}}{2^{n + 1}}，\\ \therefore\frac{1}{(z^{2}+1)^{2}}&=-\frac{1}{(z - i)^{2}}\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{\frac{n - 1}{2}}n(z - i)^{n - 1}}{2^{n + 1}}=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{\frac{n+1}{2}}n(z - i)^{n - 3}}{2^{n + 1}}\\ &=\sum_{n=-2}^{\infty}\frac{(-1)^{\frac{n}{2}}(n + 3)(z - i)^{n}}{2^{n + 4}}\quad0\lt\|z - i\|\lt2。 \end{align} \]
	b.$\because$ 当$\|z\|<\infty$ 时，$e^{z}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}$，
	a. $\frac{1}{(z^{2}+1)^{2}},z = i$【$\sum_{n = -\infty}^{\infty}a_{n}(z - i)^{n}$】; b. $(z - 1)^{2}e^{\frac{1}{1 - z}},z = 1$【$\sum_{n = -\infty}^{\infty}a_{n}(z - 1)^{n}$】。
	\(\therefore e^{\frac{1}{1 - z}}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{n!(1 - z)^{n}}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!(z - 1)^{n}}\quad 0<\|z - 1\|<\infty\)
	\[ \begin{align} \frac{2}{z^{2}+1}&=\frac{2}{z^{2}}\cdot\frac{1}{1 + \frac{1}{z^{2}}}=\frac{2}{z^{2}}\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{z^{2n}}=2\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n + 1}\frac{1}{z^{2n}}\\ \therefore\frac{z^{2}-2z + 5}{(z - 2)(z^{2}+1)}&=-\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{z^{n}}{2^{n+1}}-2\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n + 1}\frac{1}{z^{2n}} \end{align} \]
	解: a. \(z = i\) 的无心邻域为\(0 < \|z - i\| < R\)，
	\(n_{0}(x)=-\frac{\cos x}{x},\)
	$\mathrm{N}_{\nu}(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin \left(x-\frac{\nu \pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right) .$
	$\mathrm{I}_{0}(x)$ 和 $\mathrm{K}_{0}(x)$ 的渐近行为如图 14(b) 所示。
	\( \mathrm{I}_{\nu}(x) \sim \frac{\mathrm{e}^{x}}{\sqrt{2 \pi x}}, \quad-\frac{\pi}{2}<\arg x<\frac{\pi}{2} \)
	头三个球 Bessel 函数 \( \mathrm{j}_{l}(x) \) 的具体形式为
	\( \mathrm{j}_{1}(x)=\frac{\sin x}{x^{2}}-\frac{\cos x}{x} \)
	$J_0(x)$ 和 $N_0(x)$ 的渐近行为如图 14(a) 所示。
	\((6.5)\)
	\( \mathrm{J}_{\nu}(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x-\frac{\nu \pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right), \)
	\((6.3)\)
	\((6.8)\)
	\(j_2(x) = \left(\frac{3}{x^2}-1\right)\frac{\sin x}{x}-\frac{3\cos x}{x^2}\)
	\[ \mathrm{j}_{0}(x)=\frac{\sin x}{x}, \]
	\( \mathrm{K}_{\nu}(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2x}} \mathrm{e}^{-x}, \quad -\pi < \arg x < \pi \)
	它们的图像如图 15(a) 所示。
	当 \(x \to \infty\) 时，虚宗量 Bessel 函数 \(\mathrm{I}_{\nu}(x)\)、虚宗量 Hankel 函数 \(\mathrm{K}_{\nu}(x)\) 的渐近形式为
	头三个球 Neumann 函数 \(n_l(x)\) 的具体形式为
	当 \(x \to \infty\) 且 \(-\pi < \arg x < \pi\) 时, Bessel 函数 \(\mathrm{J}_{\nu}(x)\) 和 Neumann 函数 \(\mathrm{N}_{\nu}(x)\) 的渐近形式为
	对于传输线，有许多分析方法，如传输线公式、RLGC 模型，该模型将分布式系统改为 L、R、C、G 单位长度电路；参见\underline{图 14}。该图表示的是更普遍情况下的一个具体示例。
	通常，建立不同温度下的 RLGC 模型需要很长时间。然而，S 参数可以很容易地被提取出来。图 15显示了 4 英寸长、50\(\Omega\)传输线的史密斯图和\(S_{11}\)对数图，这是双绞线的基本模型。
	5 对双绞线的评估
	5.1 对双绞线进行分析的方法及重要理论
	这个水平回扫不是瞬间的，需要一定的时间将光束从右转到左，再在下一行开始前稳定光束。整个过程称为水平消隐间隔，由三个不同的部分组成。
	\[ f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n = 1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{2 n \pi}{a} x+b_{n} \sin \frac{2 n \pi}{a} x\right) \]
	\[f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n = 1}^{\infty}\left(a_{n}\cos\frac{n\pi}{T}x + b_{n}\sin\frac{n\pi}{T}x\right)\]
	\[\begin{align} \int_{0}^{a} \cos\frac{n\pi}{a}x\mathrm{d}x&= \begin{cases} a, &n = 0\\ 0, &n\neq 0 \end{cases}\\ \int_{0}^{a} \sin\frac{n\pi}{a}x\mathrm{d}x&= \begin{cases} 2a/(n\pi), &2\nmid n\\ 0, &2\mid n \end{cases}\\ \int_{0}^{a} \cos\frac{m\pi}{a}x\cos\frac{n\pi}{a}x\mathrm{d}x&= \begin{cases} a, &m = n = 0\\ a/2, &\|m\| = \|n\|\neq 0\\ 0, &\|m\|\neq \|n\| \end{cases}\\ \int_{0}^{a} \sin\frac{m\pi}{a}x\sin\frac{n\pi}{a}x\mathrm{d}x&= \begin{cases} 0, &m = n = 0\\ a/2, &m = n\neq 0\\ -a/2, &m = -n\neq 0\\ 0, &\|m\|\neq \|n\| \end{cases}\\ \int_{0}^{a} \cos\frac{m\pi}{a}x\sin\frac{n\pi}{a}x\mathrm{d}x&= \begin{cases} -\frac{2na}{(m^{2}-n^{2})\pi}, &2\nmid m - n\\ 0, &2\mid m - n \end{cases} \end{align}\]
	\[ a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x \mathrm{~d} x, \quad b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x \]
	\[ a_{n}=\frac{1}{T} \int_{-T}^{T} f(x) \cos \frac{n \pi}{T} x \mathrm{~d} x, \quad b_{n}=\frac{1}{T} \int_{-T}^{T} f(x) \sin \frac{n \pi}{T} x \mathrm{~d} x \]
	2.1.2.1 以区间长度为周期的Fourier 级数
	\[f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n = 1}^{\infty}(a_{n}\cos nx + b_{n}\sin nx)\]
	\[ \begin{cases} \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} - a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} = 0 & 0 < x < l,t > 0 \\ \left.u\right\|_{x = 0}=\mu(t),\ \left.u\right\|_{x = l}=v(t) & t\geq0 \\ \left.u\right\|_{t = 0}=0,\ \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right\|_{t = 0}=0 & 0\leq x\leq l \end{cases} \]
	\[ \begin{cases} \frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}=-\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}\right) \\ \left.w\right\|_{x = 0}=0, & \left.w\right\|_{x = l}=0 \\ \left.w\right\|_{t = 0}=-\left.v\right\|_{t = 0}, & \left.\frac{\partial w}{\partial t}\right\|_{t = 0}=-\left.\frac{\partial v}{\partial t}\right\|_{t = 0} \end{cases} \]
	根本原因：齐次边界条件所导致的本征函数的正交完备性，从而实现对方程的解和非齐次项的分解。
	为什么边界条件必须是齐次的? 根本原因：齐次边界条件所导致的本征函数的正交完备性，从而实现对方程的解和非齐次项的分解。
	\(u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)\)
	\[ \left.v\right\|_{x = 0}=\mu(t),\quad \left.v\right\|_{x = l}=v(t) \]
	\[ \left.w\right\|_{x = 0}=0,\quad \left.v\right\|_{x = l}=0 \]
	为了应用分离变量法，只有先将非齐次边界条件齐次化。令
	3.3 非齐次边界条件的齐次化
	取杆所在直线为\(x\)轴，固定端为原点\(x = 0\)，另一端对应\(x = l\)。以\(\bar{u}(x,t)\)表示小段的质心位移, 设 \(S\) 为杆的横截面积, \(\rho\) 为杆的质量密度, \(p(x,t)\) 是小段端点处所受的力. 由牛顿第二定律，有
	\(\rho\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=\frac{\partial p}{\partial x}=E\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\)
	当 $\Delta x \to 0$ 时 , $\bar{u} \to u,\frac{p(x+\Delta x,t)-p(x,t)}{\Delta x} \to \frac{\partial p}{\partial x}$, 又因为 $p = E\frac{\partial u}{\partial x}$, 故有
	$\left.u_x\right\|_{x = l}=0$
	另一端未受外力，于是有
	而 \(x = l\) 端拉离平衡位置使整个杆伸长了 \(b\)，故初始位移为
	令 \(a^{2}=\frac{E}{\rho}\)，可得振动方程为
	\[ [p(x + \Delta x, t) - p(x, t)]S = \rho S\Delta x \frac{\partial^{2}\bar{u}}{\partial t^{2}} \]
	由题意知，放手时即是振动的初始时刻，此时杆振动的速度为零，则
	解：首先按照题意建立合适的坐标系.
	$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$
	一均匀杆的原长为\(l\)，一端固定，另一端沿杆的轴线方向拉长\(b\)而静止，放手任其振动，试写出对应的定解问题。
	$\left.u\right\|_{t=0}=\frac{b}{l}x$
	2.1 定解问题的书写
	重要考点梳理
	$u_t\|_{t = 0} = 0$
	$u\big\|_{x = 0}=0$
	再看边界条件，一端固定即该端位移保持为 0，即
	本章主要介绍晶体的宏观物理性质是如何用张量来描述的，同时通过物理量在不同坐标系之间的变换来对张量作出准确定义，并区分极性和轴性张量．此外，还要介绍张量的一些基本运算方法，并讨论张量的对称性问题．
	描述物质宏观物理性质的物理量是由宏观的可测量的物理量之间的关系来定义．例如，物质的密度$\rho$是由质量$m$和体积$V$之间的关系
	来定义．又如电极化率$\chi$则由施加于材料上的电场强度$\boldsymbol{E}$和由此感生的电极化强度$\boldsymbol{P}$之间的关系（本书采用有理化实用单位制）
	1.1 晶体物理性质的张量表示法
	第1章张量及其基本运算$^{[1\sim5]}$
	$J_z(\vec{r})$：$z$方向的中子流密度（净中子流密度），表示$\mathbf{r}$处沿$z$方向的中子净流动速度。
	\[ \begin{align} J_z(\vec{r})&=J_z^+(\vec{r}) - J_z^-(\vec{r})\\ &=-\frac{\lambda_s}{3}\frac{\partial\phi(\vec{r})}{\partial z} \end{align} \]
	单位时间内沿着\(z\)方向穿过\(dA\)平面上单位面积的净中子数为：
	\(\sum_{n = 1}^{\infty} \\|x_n + y_n\\| \leqslant \sum_{n = 1}^{\infty} \\|[x_n]\\|_* + 1 < \infty,\)
	根据条件可知$\sum_{k = 1}^{\infty}(x_{n_{k + 1}} - x_{n_{k}})$收敛，而其部分和为$x_{n_{m}} = \sum_{k = 1}^{m - 1}(x_{n_{k + 1}} - x_{n_{k}})$，因此 Cauchy 列$\{x_{n}\}$存在收敛点列$\{x_{n_{k}}\}$，进而其收敛，故$X$完备．
	$\left\\|x_{n_{k}}-x_{n_{k+1}}\right\\|<\frac{1}{2^{k}} \Rightarrow \sum_{k=1}^{\infty}\left\\|x_{n_{k}}-x_{n_{k+1}}\right\\| \leqslant 1<\infty,$
	$(X,\\|\cdot\\|)$完备当且仅当对任意$\{x_n\}\subset X$, $\sum_{n = 1}^{\infty}\\|x_n\\|<\infty\Rightarrow\sum_{n = 1}^{\infty}x_n$收敛，或者说绝对收敛蕴含收敛.
	- $\ell^2$上有内积$\langle x,y\rangle=\sum_{n = 1}^{\infty}x_n\overline{y}_n$ - $L^2$上有内积$\langle f,g\rangle=\int f\overline{g}$.
	- 第一个位置的线性：$\langle ax_1 + bx_2, y\rangle = a\langle x_1, y\rangle + b\langle x_2, y\rangle$. - 共轭对称性：$\langle x, y\rangle = \overline{\langle y, x\rangle}$. - 正定性：$\langle x, x\rangle \geq 0$，当且仅当$x = 0$时取等.
	$\left\\|\sum_{k = 1}^{n} [x_{n}] - [x]\right\\|_{*} \leqslant \left\\|\sum_{k = 1}^{n} (x_{k} + y_{k}) - x\right\\| \to 0,$
	得证. 若$(X,\\|\cdot\\|)$ 完备, 只需证明商空间中所有绝对收敛级数都收敛, 设$\sum_{n = 1}^{\infty}\\|[x_n]\\|_<\infty$, 根据商范数定义可知存在$y_n\in X_0$使得$\\|x_n + y_n\\|\leq\\|[x_n]\\|_+1/2^n$, 因此
	证明 $\Rightarrow$：设 $\{x_n\} \subset X$ 满足 $\sum_{n = 1}^{\infty} \\|x_n\\| < \infty$，令 $y_n=\sum_{k = 1}^{n} x_k$，则对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$ 使得对任意 $n > N$ 有 $\sum_{n > N} \\|x_n\\| < \varepsilon$，因此对任意 $n > N,p \in \mathbb{N}$ 有
	注显然内积可以诱导范数$\\|x\\| = \langle x,x\rangle$，反过来范数能诱导内积当且仅当其满足平行四边形定则$\\|x + y\\|^{2}+\\|x - y\\|^{2}=2(\\|x\\|^{2}+\\|y\\|^{2})$．
	\(\left\\|y_{n}-y_{n + p}\right\\|=\left\\|\sum_{k = n + 1}^{n + p}x_{k}\right\\| \leqslant \sum_{k = n + 1}^{\infty}\left\\|x_{k}\right\\|<\varepsilon,\)
	设 \(n_1 = N(1/2)\)，则对任意 \(n > n_1\) 有 \(\\|x_n - x_{n_1}\\| < 1/2\)；再令 \(n_2=\max\{n_1,N(1/2^2)\}+1\)，则 \(n_1 < n_2\) 且对任意 \(n > n_2\) 有 \(\\|x_n - x_{n_2}\\| < 1/2^2\)，以此类推可得子列 \(\{x_{n_k}\}\) 满足
	1.4.3 内积空间
	即沿流线 $\frac{v^{2}}{2}+\frac{p}{\rho}+U$ 为常数，这就是伯努利方程。
	沿流线或涡线对两边积分，由于对涡线$(\nabla \times \vec{v}) \cdot \mathrm{d}\vec{l}=0$，对流线$\vec{v} \times \mathrm{d}\vec{l}=0$，无论对哪种都有
	* 也可从开尔文速度环量守恒推导，利用此观点，由于无旋流动任何流体线都是涡线，即有此时$\frac{v^{2}}{2}+\hat{P}+U$在整个流场中为常数，此时可利用 Laplace 方程可进一步求解速度场。
	若流场正压，设压力函数 $\nabla \hat{P}$，则类似得到沿流线 $\frac{v^{2}}{2}+\hat{P}+U$ 为常数。
	$\frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + \nabla \frac{v^{2}}{2} - \vec{v} \times (\nabla \times \vec{v}) = \vec{f} - \frac{1}{\rho}\nabla p$
	* 工程应用：通常取流管为控制体，不可压缩流动时流入流出体积流量相同，定常流动时流入流出质量流量相同，由此可以对管道流量进行估算。
	$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho \vec{v}) = 0$
	* 物理意义：沿流线或涡线机械能相等，即流体质点运动过程中机械能不变，本质是理想流体流动的机械能守恒方程。
	$\S4.2\ 伯努利方程$
	学习方法
	Arnold Sommerfeld , quotes from ``Order and Chaos --- Laws of En- ergy and Entropy'', S. W. Angrist and L. G. Helper (1967)
	- 从历史角度理解为什么要引入这些物理量 - 大量的讨论和练习
	注意到此积分是对 \(p - v\) 图纵轴进行，当 \(v\) 前进时，\(\mu\) 会在 \(\mathrm{MJ}\) 段减小，\(\mathrm{JN}\) 段增大，\(\mathrm{NK}\) 段增加。两点之间 \(\mu\) 的差距为过两点作平行于 \(v\) 轴的直线所夹的部分的有向面积。因此，欲在某一压强下达到平衡，如下图：
	观察可发现，存在临界温度 \(T_{c}\)，其下等温线单调性发生两次改变，其上恒单调减。于是 \((\frac{\partial p}{\partial v})_{T}\) 在 \(T_{c}\) 处恒小于等于 0，且必在某点处 \(p\) 对 \(V\) 的一阶、二阶导数都为零，由此可解得此点 \(p_{c}=\frac{a}{27b^{2}},v_{c}=3b,RT_{c}=\frac{8a}{27b}\)。 * 一二阶导数为 0 可以理解为 \(T < T_{c}\) 不断升高时，原本的两个单调性改变的导函数零点逐渐合为一个，由中值定理可知此处的二阶导也为 0。
	则需要 LU 下的面积与 UG 上的面积相等，在 L 到 G 的过程实际会沿水平线变化，此时系统化学势恒在 X 点，水平线上的 \(T,p\) 恒定，是气液平衡点。
	* 实际上，JN 段并不稳定，实际加压变化一般不会经过 J、N，而是直接从下方的 MXK 通过，X 即为两相平衡的位置。XJ 段称为过热液体，NX 则为过冷蒸汽

\[ \begin{align*} \frac{1}{(z^{2}+1)^{2}}&=\frac{1}{(z - i)^{2}(z + i)^{2}}，\text{ 且 }\frac{1}{(z + i)^{2}}=-\frac{d}{dz}\left(\frac{1}{z + i}\right)，\\ \frac{1}{z + i}&=\frac{1}{2i+z - i}=\frac{1}{2i}\cdot\frac{1}{1+\frac{z - i}{2i}}=\frac{1}{2i}\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(z - i)^{n}}{(2i)^{n}}\quad【i=(-1)^{\frac{1}{2}}】\\ &=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{\frac{n - 1}{2}}(z - i)^{n}}{2^{n + 1}}\quad|z - i|\lt|2i| = 2。\\ \frac{1}{(z + i)^{2}}&=-\frac{d}{dz}\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{\frac{n - 1}{2}}(z - i)^{n}}{2^{n + 1}}=-\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{\frac{n - 1}{2}}n(z - i)^{n - 1}}{2^{n + 1}}，\\ \therefore\frac{1}{(z^{2}+1)^{2}}&=-\frac{1}{(z - i)^{2}}\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{\frac{n - 1}{2}}n(z - i)^{n - 1}}{2^{n + 1}}=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{\frac{n+1}{2}}n(z - i)^{n - 3}}{2^{n + 1}}\\ &=\sum_{n=-2}^{\infty}\frac{(-1)^{\frac{n}{2}}(n + 3)(z - i)^{n}}{2^{n + 4}}\quad0\lt|z - i|\lt2。 \end{align*} \]

b.$\because$ 当$|z|<\infty$ 时，$e^{z}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}$，

a. $\frac{1}{(z^{2}+1)^{2}},z = i$【$\sum_{n = -\infty}^{\infty}a_{n}(z - i)^{n}$】; b. $(z - 1)^{2}e^{\frac{1}{1 - z}},z = 1$【$\sum_{n = -\infty}^{\infty}a_{n}(z - 1)^{n}$】。

$\therefore e^{\frac{1}{1 - z}}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{n!(1 - z)^{n}}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!(z - 1)^{n}}\quad 0<|z - 1|<\infty$

\[ \begin{align*} \frac{2}{z^{2}+1}&=\frac{2}{z^{2}}\cdot\frac{1}{1 + \frac{1}{z^{2}}}=\frac{2}{z^{2}}\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{z^{2n}}=2\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n + 1}\frac{1}{z^{2n}}\\ \therefore\frac{z^{2}-2z + 5}{(z - 2)(z^{2}+1)}&=-\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{z^{n}}{2^{n+1}}-2\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n + 1}\frac{1}{z^{2n}} \end{align*} \]

解: a. $z = i$ 的无心邻域为$0 < |z - i| < R$，

$n_{0}(x)=-\frac{\cos x}{x},$

$\mathrm{N}_{\nu}(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin \left(x-\frac{\nu \pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right) .$

$\mathrm{I}_{0}(x)$ 和 $\mathrm{K}_{0}(x)$ 的渐近行为如图 14(b) 所示。

$ \mathrm{I}_{\nu}(x) \sim \frac{\mathrm{e}^{x}}{\sqrt{2 \pi x}}, \quad-\frac{\pi}{2}<\arg x<\frac{\pi}{2} $

头三个球 Bessel 函数 $ \mathrm{j}_{l}(x) $ 的具体形式为

$ \mathrm{j}_{1}(x)=\frac{\sin x}{x^{2}}-\frac{\cos x}{x} $

$J_0(x)$ 和 $N_0(x)$ 的渐近行为如图 14(a) 所示。

$(6.5)$

$ \mathrm{J}_{\nu}(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x-\frac{\nu \pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right), $

$(6.3)$

$(6.8)$

$j_2(x) = \left(\frac{3}{x^2}-1\right)\frac{\sin x}{x}-\frac{3\cos x}{x^2}$

\[ \mathrm{j}_{0}(x)=\frac{\sin x}{x}, \]

$ \mathrm{K}_{\nu}(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2x}} \mathrm{e}^{-x}, \quad -\pi < \arg x < \pi $

它们的图像如图 15(a) 所示。

当 $x \to \infty$ 时，虚宗量 Bessel 函数 $\mathrm{I}_{\nu}(x)$、虚宗量 Hankel 函数 $\mathrm{K}_{\nu}(x)$ 的渐近形式为

头三个球 Neumann 函数 $n_l(x)$ 的具体形式为

当 $x \to \infty$ 且 $-\pi < \arg x < \pi$ 时, Bessel 函数 $\mathrm{J}_{\nu}(x)$ 和 Neumann 函数 $\mathrm{N}_{\nu}(x)$ 的渐近形式为

对于传输线，有许多分析方法，如传输线公式、RLGC 模型，该模型将分布式系统改为 L、R、C、G 单位长度电路；参见\underline{图 14}。该图表示的是更普遍情况下的一个具体示例。

通常，建立不同温度下的 RLGC 模型需要很长时间。然而，S 参数可以很容易地被提取出来。图 15显示了 4 英寸长、50$\Omega$传输线的史密斯图和$S_{11}$对数图，这是双绞线的基本模型。

5 对双绞线的评估

5.1 对双绞线进行分析的方法及重要理论

这个水平回扫不是瞬间的，需要一定的时间将光束从右转到左，再在下一行开始前稳定光束。整个过程称为水平消隐间隔，由三个不同的部分组成。

\[ f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n = 1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{2 n \pi}{a} x+b_{n} \sin \frac{2 n \pi}{a} x\right) \]

\[f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n = 1}^{\infty}\left(a_{n}\cos\frac{n\pi}{T}x + b_{n}\sin\frac{n\pi}{T}x\right)\]

\[\begin{align*} \int_{0}^{a} \cos\frac{n\pi}{a}x\mathrm{d}x&= \begin{cases} a, &n = 0\\ 0, &n\neq 0 \end{cases}\\ \int_{0}^{a} \sin\frac{n\pi}{a}x\mathrm{d}x&= \begin{cases} 2a/(n\pi), &2\nmid n\\ 0, &2\mid n \end{cases}\\ \int_{0}^{a} \cos\frac{m\pi}{a}x\cos\frac{n\pi}{a}x\mathrm{d}x&= \begin{cases} a, &m = n = 0\\ a/2, &|m| = |n|\neq 0\\ 0, &|m|\neq |n| \end{cases}\\ \int_{0}^{a} \sin\frac{m\pi}{a}x\sin\frac{n\pi}{a}x\mathrm{d}x&= \begin{cases} 0, &m = n = 0\\ a/2, &m = n\neq 0\\ -a/2, &m = -n\neq 0\\ 0, &|m|\neq |n| \end{cases}\\ \int_{0}^{a} \cos\frac{m\pi}{a}x\sin\frac{n\pi}{a}x\mathrm{d}x&= \begin{cases} -\frac{2na}{(m^{2}-n^{2})\pi}, &2\nmid m - n\\ 0, &2\mid m - n \end{cases} \end{align*}\]

\[ a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x \mathrm{~d} x, \quad b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x \]

\[ a_{n}=\frac{1}{T} \int_{-T}^{T} f(x) \cos \frac{n \pi}{T} x \mathrm{~d} x, \quad b_{n}=\frac{1}{T} \int_{-T}^{T} f(x) \sin \frac{n \pi}{T} x \mathrm{~d} x \]

2.1.2.1 以区间长度为周期的Fourier 级数

\[f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n = 1}^{\infty}(a_{n}\cos nx + b_{n}\sin nx)\]

\[ \begin{cases} \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} - a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} = 0 & 0 < x < l,t > 0 \\ \left.u\right|_{x = 0}=\mu(t),\ \left.u\right|_{x = l}=v(t) & t\geq0 \\ \left.u\right|_{t = 0}=0,\ \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t = 0}=0 & 0\leq x\leq l \end{cases} \]

\[ \begin{cases} \frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}=-\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}\right) \\ \left.w\right|_{x = 0}=0, & \left.w\right|_{x = l}=0 \\ \left.w\right|_{t = 0}=-\left.v\right|_{t = 0}, & \left.\frac{\partial w}{\partial t}\right|_{t = 0}=-\left.\frac{\partial v}{\partial t}\right|_{t = 0} \end{cases} \]

根本原因：齐次边界条件所导致的本征函数的正交完备性，从而实现对方程的解和非齐次项的分解。

为什么边界条件必须是齐次的? 根本原因：齐次边界条件所导致的本征函数的正交完备性，从而实现对方程的解和非齐次项的分解。

$u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)$

\[ \left.v\right|_{x = 0}=\mu(t),\quad \left.v\right|_{x = l}=v(t) \]

\[ \left.w\right|_{x = 0}=0,\quad \left.v\right|_{x = l}=0 \]

为了应用分离变量法，只有先将非齐次边界条件齐次化。令

3.3 非齐次边界条件的齐次化

取杆所在直线为$x$轴，固定端为原点$x = 0$，另一端对应$x = l$。以$\bar{u}(x,t)$表示小段的质心位移, 设 $S$ 为杆的横截面积, $\rho$ 为杆的质量密度, $p(x,t)$ 是小段端点处所受的力. 由牛顿第二定律，有

$\rho\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=\frac{\partial p}{\partial x}=E\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$

当 $\Delta x \to 0$ 时 , $\bar{u} \to u,\frac{p(x+\Delta x,t)-p(x,t)}{\Delta x} \to \frac{\partial p}{\partial x}$, 又因为 $p = E\frac{\partial u}{\partial x}$, 故有

$\left.u_x\right|_{x = l}=0$

另一端未受外力，于是有

而 $x = l$ 端拉离平衡位置使整个杆伸长了 $b$，故初始位移为

令 $a^{2}=\frac{E}{\rho}$，可得振动方程为

\[ [p(x + \Delta x, t) - p(x, t)]S = \rho S\Delta x \frac{\partial^{2}\bar{u}}{\partial t^{2}} \]

由题意知，放手时即是振动的初始时刻，此时杆振动的速度为零，则

解：首先按照题意建立合适的坐标系.

$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$

一均匀杆的原长为$l$，一端固定，另一端沿杆的轴线方向拉长$b$而静止，放手任其振动，试写出对应的定解问题。

$\left.u\right|_{t=0}=\frac{b}{l}x$

2.1 定解问题的书写

重要考点梳理

$u_t|_{t = 0} = 0$

$u\big|_{x = 0}=0$

再看边界条件，一端固定即该端位移保持为 0，即

本章主要介绍晶体的宏观物理性质是如何用张量来描述的，同时通过物理量在不同坐标系之间的变换来对张量作出准确定义，并区分极性和轴性张量．此外，还要介绍张量的一些基本运算方法，并讨论张量的对称性问题．

描述物质宏观物理性质的物理量是由宏观的可测量的物理量之间的关系来定义．例如，物质的密度$\rho$是由质量$m$和体积$V$之间的关系

来定义．又如电极化率$\chi$则由施加于材料上的电场强度$\boldsymbol{E}$和由此感生的电极化强度$\boldsymbol{P}$之间的关系（本书采用有理化实用单位制）

1.1 晶体物理性质的张量表示法

第1章张量及其基本运算$^{[1\sim5]}$

$J_z(\vec{r})$：$z$方向的中子流密度（净中子流密度），表示$\mathbf{r}$处沿$z$方向的中子净流动速度。

\[ \begin{align*} J_z(\vec{r})&=J_z^+(\vec{r}) - J_z^-(\vec{r})\\ &=-\frac{\lambda_s}{3}\frac{\partial\phi(\vec{r})}{\partial z} \end{align*} \]

单位时间内沿着$z$方向穿过$dA$平面上单位面积的净中子数为：

$\sum_{n = 1}^{\infty} \|x_n + y_n\| \leqslant \sum_{n = 1}^{\infty} \|[x_n]\|_* + 1 < \infty,$

根据条件可知$\sum_{k = 1}^{\infty}(x_{n_{k + 1}} - x_{n_{k}})$收敛，而其部分和为$x_{n_{m}} = \sum_{k = 1}^{m - 1}(x_{n_{k + 1}} - x_{n_{k}})$，因此 Cauchy 列$\{x_{n}\}$存在收敛点列$\{x_{n_{k}}\}$，进而其收敛，故$X$完备．

$\left\|x_{n_{k}}-x_{n_{k+1}}\right\|<\frac{1}{2^{k}} \Rightarrow \sum_{k=1}^{\infty}\left\|x_{n_{k}}-x_{n_{k+1}}\right\| \leqslant 1<\infty,$

$(X,\|\cdot\|)$完备当且仅当对任意$\{x_n\}\subset X$, $\sum_{n = 1}^{\infty}\|x_n\|<\infty\Rightarrow\sum_{n = 1}^{\infty}x_n$收敛，或者说绝对收敛蕴含收敛.

- $\ell^2$上有内积$\langle x,y\rangle=\sum_{n = 1}^{\infty}x_n\overline{y}_n$ - $L^2$上有内积$\langle f,g\rangle=\int f\overline{g}$.

- 第一个位置的线性：$\langle ax_1 + bx_2, y\rangle = a\langle x_1, y\rangle + b\langle x_2, y\rangle$. - 共轭对称性：$\langle x, y\rangle = \overline{\langle y, x\rangle}$. - 正定性：$\langle x, x\rangle \geq 0$，当且仅当$x = 0$时取等.

$\left\|\sum_{k = 1}^{n} [x_{n}] - [x]\right\|_{*} \leqslant \left\|\sum_{k = 1}^{n} (x_{k} + y_{k}) - x\right\| \to 0,$

得证. 若$(X,\|\cdot\|)$ 完备, 只需证明商空间中所有绝对收敛级数都收敛, 设$\sum_{n = 1}^{\infty}\|[x_n]\|_*<\infty$, 根据商范数定义可知存在$y_n\in X_0$使得$\|x_n + y_n\|\leq\|[x_n]\|_*+1/2^n$, 因此

证明 $\Rightarrow$：设 $\{x_n\} \subset X$ 满足 $\sum_{n = 1}^{\infty} \|x_n\| < \infty$，令 $y_n=\sum_{k = 1}^{n} x_k$，则对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$ 使得对任意 $n > N$ 有 $\sum_{n > N} \|x_n\| < \varepsilon$，因此对任意 $n > N,p \in \mathbb{N}$ 有

注显然内积可以诱导范数$\|x\| = \langle x,x\rangle$，反过来范数能诱导内积当且仅当其满足平行四边形定则$\|x + y\|^{2}+\|x - y\|^{2}=2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2})$．

$\left\|y_{n}-y_{n + p}\right\|=\left\|\sum_{k = n + 1}^{n + p}x_{k}\right\| \leqslant \sum_{k = n + 1}^{\infty}\left\|x_{k}\right\|<\varepsilon,$

设 $n_1 = N(1/2)$，则对任意 $n > n_1$ 有 $\|x_n - x_{n_1}\| < 1/2$；再令 $n_2=\max\{n_1,N(1/2^2)\}+1$，则 $n_1 < n_2$ 且对任意 $n > n_2$ 有 $\|x_n - x_{n_2}\| < 1/2^2$，以此类推可得子列 $\{x_{n_k}\}$ 满足

1.4.3 内积空间

即沿流线 $\frac{v^{2}}{2}+\frac{p}{\rho}+U$ 为常数，这就是伯努利方程。

沿流线或涡线对两边积分，由于对涡线$(\nabla \times \vec{v}) \cdot \mathrm{d}\vec{l}=0$，对流线$\vec{v} \times \mathrm{d}\vec{l}=0$，无论对哪种都有

* 也可从开尔文速度环量守恒推导，利用此观点，由于无旋流动任何流体线都是涡线，即有此时$\frac{v^{2}}{2}+\hat{P}+U$在整个流场中为常数，此时可利用 Laplace 方程可进一步求解速度场。

若流场正压，设压力函数 $\nabla \hat{P}$，则类似得到沿流线 $\frac{v^{2}}{2}+\hat{P}+U$ 为常数。

$\frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + \nabla \frac{v^{2}}{2} - \vec{v} \times (\nabla \times \vec{v}) = \vec{f} - \frac{1}{\rho}\nabla p$

* 工程应用：通常取流管为控制体，不可压缩流动时流入流出体积流量相同，定常流动时流入流出质量流量相同，由此可以对管道流量进行估算。

$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho \vec{v}) = 0$

* 物理意义：沿流线或涡线机械能相等，即流体质点运动过程中机械能不变，本质是理想流体流动的机械能守恒方程。

$\S4.2\ 伯努利方程$

学习方法

Arnold Sommerfeld , quotes from ``Order and Chaos --- Laws of En- ergy and Entropy'', S. W. Angrist and L. G. Helper (1967)

- 从历史角度理解为什么要引入这些物理量 - 大量的讨论和练习

注意到此积分是对 $p - v$ 图纵轴进行，当 $v$ 前进时，$\mu$ 会在 $\mathrm{MJ}$ 段减小，$\mathrm{JN}$ 段增大，$\mathrm{NK}$ 段增加。两点之间 $\mu$ 的差距为过两点作平行于 $v$ 轴的直线所夹的部分的有向面积。因此，欲在某一压强下达到平衡，如下图：

观察可发现，存在临界温度 $T_{c}$，其下等温线单调性发生两次改变，其上恒单调减。于是 $(\frac{\partial p}{\partial v})_{T}$ 在 $T_{c}$ 处恒小于等于 0，且必在某点处 $p$ 对 $V$ 的一阶、二阶导数都为零，由此可解得此点 $p_{c}=\frac{a}{27b^{2}},v_{c}=3b,RT_{c}=\frac{8a}{27b}$。 * 一二阶导数为 0 可以理解为 $T < T_{c}$ 不断升高时，原本的两个单调性改变的导函数零点逐渐合为一个，由中值定理可知此处的二阶导也为 0。

则需要 LU 下的面积与 UG 上的面积相等，在 L 到 G 的过程实际会沿水平线变化，此时系统化学势恒在 X 点，水平线上的 $T,p$ 恒定，是气液平衡点。

* 实际上，JN 段并不稳定，实际加压变化一般不会经过 J、N，而是直接从下方的 MXK 通过，X 即为两相平衡的位置。XJ 段称为过热液体，NX 则为过冷蒸汽